高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教案

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1. 知识与技能
能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；
掌握求函数单调区间的方法和步骤.
2. 过程与方法
通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.
总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.
3. 情感、态度与价值观
通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.
【要点梳理】
要点一：函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性.
已知函数的图象如图所示，
由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：
考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到：
在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数.
在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数.
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若，则在这个区间上为增函数；
（2）若，则在这个区间上为减函数；
（3）若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
①因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减；
②若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似.
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立.
= 3 \* GB3 ③在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间.
在区间(,b)内，（或）是在区间(，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件.
例如：而f()在R上递增.
= 4 \* GB3 ④只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
= 5 \* GB3 ⑤注意导函数图象与原函数图象之间的关系.
要点二：利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法：
设函数在区间（，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（，b）内为常数函数.
要点诠释：
①若函数在区间（，b）内单调递增，则，若函数在（，b）内单调递减，则；
②或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或.
要点三：利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间.
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号.
要点诠释：
①求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集；
②求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确.
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1. 求函数的单调区间．
【思路点拨】按照求单调区间的步骤一步步进行，注意求函数的定义域.
【解析 】第一步：确定函数的定义域：
函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)；
第二步：求导：
；
第三步：
方法一：解不等式确定单调增区间：
令，利用穿线法解不等式，得或.
方法二：令得，.
当变化时，、的变化状态如下表：
第四步：确定单调区间：
函数的单调增区间是（-1，0)和（1，+∞)，减区间是(-∞，-1)和(0，1)．
【总结升华】
（1）在方法一求函数的减区间的过程中，无需通过解不等式求解，因为我们已经获得了函数的单调增区间，而在定义域内将增区间排除自然是减区间. 只需在最后加以说明即可.
（2）在方法二的表格判断正负的过程中，采用合适的方法将减少失误，常用方法有三个：
①不等式法：根据给定的各个的区间，判断中各项因式的符号，从而确定的符号；
②特殊值法：由于函数的零点已经确定，故在各个区间的符号是一致的，只需要取区间内一合适的值严重的正负即可；
③图象法：画出导函数的图象，轴上方的图象为正，下方图象为负.
（3）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”，并且在定义域内的区间端点可“开”可“闭”.比如，在本题中，两个增区间“（-1，0)”，“（1，+∞)”之间是用“和”连接的，而增区间（-1，0)也可写为[-1，0).
【变式1】确定函数的单调区间.
【答案】函数的定义域为R，
由于，
令，得＜0或＞2，
因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）.
【变式2】求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）该函数的定义域为R.
令，解得=1或，
当变化时，、的变化状态如下表：
因此，该函数的单调递增区间为和（1，+∞），单调递减区间为.
（2）函数的定义域为（0，+∞），
令，解得.
当变化时，、的变化状态如下表：
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）令.
解得或，∵0≤≤2π，解得，，.
则区间[0，2π]被分成三个子区间，、的变化状态如下表所示：
所以该函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
例2. 已知函数，求导函数，并确定的单调区间.
【思路点拨】利用导数将求函数的单调区间转化为解二次不等式的问题，由于函数含参，注意讨论.
【解析】第一步：确定函数的定义域：
的定义域为；
第二步：求导：
；
第三步：解不等式，求单调增区间：
令，得，
同解于.
当，即，不等式的解为；
当，即，不等式的解为空集；
当，即，不等式的解为.
综上，当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
【变式1】已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性.
【答案】该函数的定义域为，
，
令，即，等价于，讨论如下：

当时，解不等式①得，由于,故无解；
当时，解得,结合函数的定义域，可得.
综上所述，当时，的单调增区间是，无减区间；
当时，的单调减区间是，无增区间；
当时，的单调增区间是，减区间为.
【答案】.
（ⅰ）当=0时，
若＜0，则；若＞0，则.
（ⅱ）当＞0时，
由2+2＞0，解得或＞0；由2+2＜0，解得.
（ⅲ）当＜0时，
由2+2＞0，解得；由2+2＜0，解得＜0或.
综上所述，当=0时，函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；当＞0时，函数在区间和（0，+∞）内为增函数，在区间内为减函数；
当＜0时，函数在区间（－∞，0）和内为减函数，在区间内为增函数.
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．证明不等式，其中.
【思路点拨】考虑用导数法证明不等式，构造新的函数，注意到，用导数研究其单调性.
【解析】设，
，
，
在内为单调增函数.
又，当时，，
即，.
【变式1】当时，求证：函数是单调递减函数.
【答案】
，∴，，∴
故函数在上是单调递减函数.
【变式2】设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
【答案】D
【变式3】是的导函数，的图象如右图所示，则的图象可能是（ ）

【答案】 D
【解析】 由题图知在区间[，b]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D．
例4．设，讨论函数的单调性.
【解析】,
当时 ,
（1）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（2）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增.
（3）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减.
【变式】已知函数，, ＞0 ，w讨论的单调性.
【答案】由于
令
当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
当,即时
由得或
或或
又由得
综上 当时, 在上都是增函数.
当时, 在上是减函数，在上都是增函数.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5. 若函数在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，+∞)上为增函数，试求实数的取值范围．
【解析】解法一：，
当-1≤1，即≤2时，函数在(1，+∞)上为增函数，不合题意．
当-1＞1，即＞2时，函数在(-∞，1)上是增函数，在(1，-1)上为减函数，在(-1，l+∞)上为增函数，
依题意应有 解得5≤≤7，故的取值范围为5≤≤7．
解法二：由，
又在(1，4)上为减函数，在(6，+∞)上为增函数，
∴ 解得5≤≤7．
故的取值范围为5≤≤7．
解法三：，
∵ 在(1，4)上为减函数，
∴ 在(1，4)上恒成立．
∴ ，即＞1+在(1，4)上恒成立．
∴ ．
又在(6，+∞)上为增函数，
∴ 在(6，+∞)上恒成立．
∴ ，即在(6，+∞)上恒成立，
∴ ．
综上，的取值范围为5≤≤7．
【变式1】 已知函数，，若在上是增函数，求的取值范围.
【答案】 由已知得， ∵在（0，1]上单调递增，
∴，即在∈（0，1]上恒成立。
令，又在（0，1]上单调递增，
∴，∴＞－1。
当=－1时 ，对∈（0，1）也有，
∴=－1时，在（0，1]上也是增函数。
∴综上，在（0，1]上为增函数，
∴的取值范围是[－1，+∞）.
【变式2】已知函数 在区间上是增函数，求实数的取
值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
【变式3】已知, g()=4+22+2且F()=g()-(), 试问：是否存在实数，使F()在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【答案】假设存在实数满足题设.
F()=g()-f()=(4+22+2)-(2+1)=4-(-2)2+(2-),
F()=43-2(-2),
令43-2(-2)=0,
（1）若≤2，则=0.
当∈(-∞,0)时，F()0.
∴F()在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若>2，则=0或，
当时，F()0；
当时，F()0.
∴F()的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F()在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即=4.
故存在实数=4，使F()在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.(-∞，-1)
-1
(-1，0)
(0，1)
1
(1，+∞)
-
0
+
-
0
+
↘
1
↗
↘
1
↗
(-∞,)
，1
1
(1，+∞)
+
0
-
0
+
↗
…
↘
…
↗
(0，)
(，+∞)
-
0
+
↘
…
↗
0
π
…
+
0
－
0
－
0
+
…
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