2022年高考数学一轮复习《椭圆》基础强化练习卷（含解析）

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这是一份2022年高考数学一轮复习《椭圆》基础强化练习卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)=1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)=1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)=1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)=1或eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1
曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k＜9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)=1 B.x2＋eq \f(y2,6)=1 C.eq \f(x2,6)＋y2=1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)=1
如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)=1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)=1 C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)=1
设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2=1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
若直线y=x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)=1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A. (－∞，0)∪(1，＋∞) B. (1,3)∪(3，＋∞)
C. (－∞，－3)∪(－3,0) D. (1,3)
如图所示，A、B、C分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC=90°，
则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(－1＋\r(5),2) B.1－eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2)－1 D.eq \f(\r(2),2)
二、填空题
椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，
∠F1PF2的大小为________．
已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m)=1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________.
若直线y=2x＋b与椭圆eq \f(x2,4)＋y2=1无公共点，则b的取值范围为________.
已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________.
三、解答题
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为eq \f(5,13)，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
求经过点A(eq \r(3)，－2)和点B(－2eq \r(3)，1)的椭圆的标准方程.
已知椭圆4x2＋y2=1及直线y=x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积.
已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2=1，求过点P(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))且被P平分的弦所在直线的方程.
如图，圆C：(x＋1)2＋y2=16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，
求点M的轨迹方程.
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2=1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点.
(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－eq \f(1,3)，求椭圆C的离心率.
已知点M(eq \r(6)，eq \r(2))在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，
顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积.
\s 0 答案解析
答案为：C
解析：当m>4时，m－4=1，∴m=5；当0综上，m的值为5或3.
答案为：B
解析：若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)=1表示椭圆，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2故“2 答案为：B；
解析：因为a=4，e=eq \f(3,4)，所以c=3，所以b2=a2－c2=16－9=7.因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)=1.
答案为：D；
解析：曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，
离心率为eq \f(4,5).曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2eq \r(25－k)，
短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)) .对照选项，知D正确.故选D.
答案为：B；
解析：椭圆9x2＋4y2=36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)=1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)=1(a＞b＞0)，则c=eq \r(5).
又2b=2，即b=1，所以a2=b2＋c2=6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)=1.
答案为：C；
解析：由题意可得c=5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，
∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P=∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′=90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=eq \r(|FF′|2－|PF|2)=eq \r(102－62)=8，
由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|=2a=6＋8=14，从而a=7，得a2=49，
于是b2=a2－c2=72－52=24，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1，故选C.
答案为：D
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=eq \r(3).
故e=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)=eq \f(\r(3),3).故选D.
答案为：B；
解析：因为点P(5,2)在椭圆上，
所以|PF1|＋|PF2|=2a，|PF2|=eq \r(5)，|PF1|=5eq \r(5)，所以2a=6eq \r(5)，即a=3eq \r(5)，c=6，
则b=3，故椭圆的短轴长为6，故选B.
答案为：C.
解析：由题意知m2=36，解得m=±6.当m=6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a=eq \r(6)，b=1，c=eq \r(5)，则e=eq \f(\r(30),6)；
当m=－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a=1，b=eq \r(6)，c=eq \r(7)，则e=eq \r(7).故选C.
答案为：A.
解析：由|PF1|＋|PF2|=4，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，
所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.
答案为：B
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1))消去y，
整理得(3＋m)x2＋4mx＋m=0.若直线与椭圆有两个公共点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋m≠0，,Δ＝4m2－4m3＋m>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠－3，,m<0或m>1.))
由eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)=1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m>1且m≠3，故选B.
答案为：A
解析：由(a＋c)2=a2＋2b2＋c2，∵b2=a2－c2，∴c2＋ac－a2=0，
∵e=eq \f(c,a)，∴e2＋e－1=0，∴e=eq \f(－1＋\r(5),2).
答案为：2,120°
解析：∵a2=9，b2=2，∴c=eq \r(a2－b2)=eq \r(9－2)=eq \r(7)，∴|F1F2|=2eq \r(7).
又|PF1|=4，|PF1|＋|PF2|=2a=6，
∴|PF2|=2.由余弦定理得cs∠F1PF2=eq \f(22＋42－2\r(7)2,2×2×4)=－eq \f(1,2)，∴∠F1PF2=120°.
答案为：16或34
解析：∵2c=6，∴c=3.
当焦点在x轴上时，a2=25，∴m=16.当焦点在y轴上时，b2=25，∴m=34.
答案为：(－∞，－eq \r(17))∪(eq \r(17)，＋∞).
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得eq \f(x2,4)＋(2x＋b)2=1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4=0.Δ=(16b)2－4×17(4b2－4)<0，
解得b>eq \r(17)或b<－eq \r(17).
答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：设AF1=1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|=2，|F1F2|=eq \r(3)，
所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|AF1|＋|AF2|)=eq \f(\r(3),3).
三、解答题
解：(1)由焦距是4可得c=2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
由椭圆的定义知，2a=eq \r(32＋2＋22)＋eq \r(32＋2－22)=8，
所以a=4，所以b2=a2－c2=16－4=12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)=1.
(2)由题意知，2a=26，即a=13，又e=eq \f(c,a)=eq \f(5,13)，所以c=5，
所以b2=a2－c2=132－52=144，
因为焦点可能在x轴上，也可能在y轴上
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)=1或eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)=1.
解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0).
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝15，,b2＝5.))
所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)=1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)=1(a>b>0).
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝15.))
因为a解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))
所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)=1.
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))
得5x2＋2mx＋m2－1=0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ=4m2－20(m2－1)≥0.解得－eq \f(\r(5),2)≤m≤eq \f(\r(5),2).
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1=0，
由根与系数的关系得x1＋x2=－eq \f(2m,5)，x1x2=eq \f(1,5)(m2－1).
设弦长为d，且y1－y2=(x1＋m)－(x2＋m)=x1－x2，
∴d====eq \f(2,5)eq \r(10－8m2).
∴当m=0时，d最大，此时直线方程为y=x.
解：(1)由eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1，知a=eq \r(3)，b=eq \r(2)，c=1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y=x＋1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1，))消去y得5x2＋6x－3=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，
则x1＋x2=－eq \f(6,5)，x1x2=－eq \f(3,5)，x0=eq \f(x1＋x2,2)=－eq \f(3,5)，y0=eq \f(y1＋y2,2)=eq \f(x1＋1＋x2＋1,2)=eq \f(x1＋x2,2)＋1=eq \f(2,5)
(或y0=x0＋1=－eq \f(3,5)＋1=eq \f(2,5))，∴中点坐标为M(－eq \f(3,5)，eq \f(2,5)).
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d=eq \f(|1－0＋1|,\r(12＋12))=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2)，
|AB|=eq \r(1＋k\\al(2,l))·eq \r(x1＋x22－4x1x2)=eq \f(8\r(3),5)，
∴S△ABF2=eq \f(1,2)|AB|d=eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),5)×eq \r(2)=eq \f(4\r(6),5)，
△ABF2的周长=4a=4eq \r(3).
解法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－eq \f(1,2)=k(x－eq \f(1,2))，
即y=kx＋eq \f(1,2)－eq \f(1,2)k.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋\f(1,2)－\f(1,2)k，))得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4=0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2=－eq \f(4k1－k,2＋4k2)=1，解之得k=－eq \f(1,2).
∴直线方程为2x＋4y－3=0.
解法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，
则x1＋x2=1，y1＋y2=1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),2)＋y\\al(2,1)＝1，,\f(x\\al(2,2),2)＋y\\al(2,2)＝1，))得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)=－eq \f(1,2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)=－eq \f(1,2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)=－eq \f(1,2)，即k=－eq \f(1,2)，
∴直线方程为y－eq \f(1,2)=－eq \f(1,2)(x－eq \f(1,2))，
即2x＋4y－3=0.
解：由垂直平分线性质可知
|MQ|=|MA|，
∴|CM|＋|MA|=|CM|＋|MQ|=|CQ|，
又|CQ|=4，
∴|CM|＋|MA|=4.
又|AC|=2，∴M点轨迹为椭圆.
由椭圆的定义知：a=2，c=1，
∴b2=a2－c2=3.
∴所求轨迹方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1.
解：(1)S△FAB=eq \f(1,2)|OF|·|yA－yB|≤|OF|=eq \r(a2－1)=1，
所以a=eq \r(2).
(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，
则eq \f(x2,a2)＋y2=1，eq \f(x\\al(2,0),a2)＋yeq \\al(2,0)=1，
kMA·kMB=eq \f(y－y0,x－x0)·eq \f(y＋y0,x＋x0)=eq \f(y2－y\\al(2,0),x2－x\\al(2,0))=eq \f(1－\f(x2,a2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2))),x2－x\\al(2,0))=eq \f(－\f(1,a2)x2－x\\al(2,0),x2－x\\al(2,0))=－eq \f(1,a2)=－eq \f(1,3)，
所以a2=3，所以a=eq \r(3)，所以c=eq \r(a2－b2)=eq \r(2)，
所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(2),\r(3))=eq \f(\r(6),3).
解：(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝12，,b2＝4.))
故椭圆C的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)=1.
(2)设直线l的方程为y=x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12=0，
则x0=eq \f(x1＋x2,2)=－eq \f(3,4)m，y0=x0＋m=eq \f(1,4)m，即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)m，\f(1,4)m)).
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k=eq \f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))=－1，解得m=2.
此时x1＋x2=－3，x1x2=0，
则|AB|=eq \r(2)|x1－x2|=eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)=3 eq \r(2)，
又点P到直线l：x－y＋2=0的距离为d=eq \f(3,\r(2))，
所以△PAB的面积为S=eq \f(1,2)|AB|·d=eq \f(1,2)×3 eq \r(2)×eq \f(3,\r(2))=eq \f(9,2).

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