2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷2，共27页。

A．＝a+bB．＝a2+1
C．＝•D．＝
2．（2021秋•青浦区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣＝0B．x2﹣2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．ax2+bx+c＝0
3．（2021秋•青浦区校级期中）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝45B．x（x﹣1）＝
C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45
4．（2021秋•黄浦区校级期中）如果关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根是0，那么a的值是（ ）
A．1或﹣1B．1C．﹣1D．0
5．（2021秋•青浦区校级期中）函数y＝k1x和y＝（k1＞0，且k1k2＜0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021秋•黄浦区校级期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2＝0B．x2﹣x+2＝0C．x2+x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0
7．（2021秋•松江区期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021秋•嘉定区期中）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（ ）
A．4B．25C．4或6D．24或25
9．（2021秋•青浦区校级期中）二次三项式2x2﹣8x+5在实数范围内因式分解为（ ）
A．（x+）（x+）B．（x﹣）（x﹣）
C．2（x+）（x﹣）D．2（x﹣）（x﹣）
10．（2021秋•嘉定区期中）下列说法正确的个数是（ ）
①是x的函数；
②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；
③在函数y＝﹣2x中，y随x的增大而增大；
④已知ab＜0，则直线y＝﹣x经过第二、四象限．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•嘉定区期中）若二次根式与是同类二次根式，则a＝ ．
12．（2021秋•青浦区校级期中）一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的根的情况是 ．
13．（2021秋•长宁区期中）计算：＝ ，＝ ．
14．（2021秋•嘉定区期中）如果有意义，那么a的取值范围是 ．
15．（2021秋•嘉定区期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．（2021秋•青浦区校级期中）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m（m﹣2）的值是 ．
17．（2021秋•浦东新区期中）＝ ．
18．（2021秋•浦东新区期中）＝ ．
19．（2021秋•长宁区期中）对于正比例函数y＝（1﹣k）x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
20．（2021秋•长宁区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•嘉定区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）
22．（2021秋•浦东新区期中）计算：
23．（2021秋•嘉定区期中）计算：+﹣3﹣．
24．（2021秋•长宁区期中）计算：2÷•．
25．（2021秋•松江区期中）已知x＝，y＝，求x2+3xy+y2的值．
26．（2021秋•嘉定区期中）用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．
27．（2021秋•松江区期中）关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x+m＝1，其根的判别式的值为1，求m的值及这个方程的根．
28．（2021秋•青浦区校级期中）表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽高、轴距、排量、功率、扭矩、转速、百公里油耗等等．为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
①根据上表可知，每小时耗油 升；
②根据上表的数据，写出用Q与t的关系式： ；
③汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了 小时．
29．（2021秋•青浦区校级期中）如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？
30．（2021秋•浦东新区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC＝ 米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•嘉定区期中）下列各式中，一定成立的是（ ）
A．＝a+bB．＝a2+1
C．＝•D．＝
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：A、＝|a+b|，故本选项错误；
B、＝|a2+1|＝a2+1|，故本选项正确；
C、只有a+1≥0，a﹣1≥0时该等式才能力，故本选项错误；
D、只有当b＞0时该等式才能力，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简．解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a＜0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
②性质：＝|a|．
2．（2021秋•青浦区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣＝0B．x2﹣2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．ax2+bx+c＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程是分式方程，故本选项不符合题意．
B、该方程是无理方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．（2021秋•青浦区校级期中）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝45B．x（x﹣1）＝
C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】设x人参加聚会，根据每两人都握手一次且共握手45次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设x人参加聚会，
依题意，得：x（x﹣1）＝45．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•黄浦区校级期中）如果关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根是0，那么a的值是（ ）
A．1或﹣1B．1C．﹣1D．0
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，
解得a＝±1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2021秋•青浦区校级期中）函数y＝k1x和y＝（k1＞0，且k1k2＜0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】正比例函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】首先根据k1＞0且k1k2＜0，可得k2＜0，再根据正比例函数的性质可得y＝k1x的图象在第一三象限，根据反比例函数y＝的性质可得y＝的图象在第二四象限，进而可选出答案．
【解答】解：∵k1＞0且k1k2＜0，
∴k2＜0，
∴y＝k1x的图象在第一三象限，
y＝的图象在第二四象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质．
6．（2021秋•黄浦区校级期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2＝0B．x2﹣x+2＝0C．x2+x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：（A）∵x2+2＝0，
∴Δ＝0﹣4×2＝﹣8＜0，故选项A无实数根；
（B）∵x2﹣x+2＝0，
∴Δ＝1﹣8＜0，故选项B没有实数根；
（C）∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝1﹣8＝﹣7＜0，故选项C没有实数根；
（D）∵x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝1+8＝9＞0，故选项D有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
7．（2021秋•松江区期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐一判断可得．
【解答】解：A．÷＝3÷＝3，此选项计算正确，符合题意；
B．3×3＝9，此选项计算错误，不符合题意；
C．2与4不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D．＝3，此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其运算性质．
8．（2021秋•嘉定区期中）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（ ）
A．4B．25C．4或6D．24或25
【考点】一元二次方程的解；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．
【解答】解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，腰长为10÷2＝5，
即底边长为4或6，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
9．（2021秋•青浦区校级期中）二次三项式2x2﹣8x+5在实数范围内因式分解为（ ）
A．（x+）（x+）B．（x﹣）（x﹣）
C．2（x+）（x﹣）D．2（x﹣）（x﹣）
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】解关于x的一元二次方程，因式分解即可．
【解答】解：把2x2﹣8x+5＝0看作是关于x的一元二次方程，
△＝（﹣8）2﹣4×2×5＝24，
∴x1＝＝，x2＝＝，
∴2x2﹣8x+5＝2（x﹣）（x﹣）．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数范围内分解因式，掌握利用一元二次方程进行因式分解的方法是解题的关键．
10．（2021秋•嘉定区期中）下列说法正确的个数是（ ）
①是x的函数；
②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；
③在函数y＝﹣2x中，y随x的增大而增大；
④已知ab＜0，则直线y＝﹣x经过第二、四象限．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】正比例函数的性质；等腰三角形的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】根据函数的概念、等腰三角形的性质、一次函数的性质判断即可．
【解答】解：①是x的函数，正确；
②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比例，错误；
③在函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，错误；
④已知ab＜0，则直线y＝﹣x经过第一、三象限，错误；
故选：A．
【点评】此题考查正比例函数的性质，关键是根据函数的概念、等腰三角形的性质、一次函数的性质判断．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•嘉定区期中）若二次根式与是同类二次根式，则a＝ 5 ．
【考点】最简二次根式；同类二次根式．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同列方程求解即可．
【解答】解：∵二次根式与是同类二次根式，
∴4+a＝2a﹣1
解得a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
12．（2021秋•青浦区校级期中）一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的根的情况是 有两个不相等的实根 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝m2+8＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实根，此题得解．
【解答】解：a＝1，b＝﹣m，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8．
∵m2≥0，
∴m2+8＞0，
∴一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0有两个不相等的实根．
故答案为：有两个不相等的实根．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．（2021秋•长宁区期中）计算：＝ a2b ，＝ ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算，先把中的二次根式化简，然后合并即可．
【解答】解：＝＝a2b；
＝+＝．
故答案为a2b；．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．（2021秋•嘉定区期中）如果有意义，那么a的取值范围是 a≥ ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2a﹣1≥0，
解得，a≥，
故答案为：a≥．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
15．（2021秋•嘉定区期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜且k≠2 ．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠且Δ＝（﹣3）2﹣4（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k﹣2）＞0
解得k＜且k≠2．
故答案为k＜且k≠2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．（2021秋•青浦区校级期中）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m（m﹣2）的值是 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】将m代入已知方程可以求得（m2﹣2m）的值，然后将其整体代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴m（m﹣2）＝m2﹣2m＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想．
17．（2021秋•浦东新区期中）＝ a ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用二次根式除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：∵a＞0，
∴原式＝＝＝|a|＝a，
故答案为：a
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2021秋•浦东新区期中）＝ ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】常规题型．
【分析】首先化简两个二次根式，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝+＝+＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加法，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
19．（2021秋•长宁区期中）对于正比例函数y＝（1﹣k）x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞1 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式1﹣k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵正比例函数 y＝（1﹣k）x，中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴1﹣k＜0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
20．（2021秋•长宁区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•嘉定区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】二次根式．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：•（﹣）÷（a＞0）
＝﹣•a2b÷
＝﹣9a2
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
22．（2021秋•浦东新区期中）计算：
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：原式＝5××3＝5．
【点评】考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简．化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
23．（2021秋•嘉定区期中）计算：+﹣3﹣．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝2+﹣3×﹣
＝2+﹣﹣3+3
＝﹣2+．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
24．（2021秋•长宁区期中）计算：2÷•．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：原式＝2×6
＝12
＝8．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
25．（2021秋•松江区期中）已知x＝，y＝，求x2+3xy+y2的值．
【考点】分母有理化；二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先将x、y的值分母有理化，再将化简后的x的值代入原式＝（x+y）2+xy计算可得．
【解答】解：∵x＝＝＝＝2﹣，
y＝＝＝＝2+，
∴原式＝（x+y）2+xy
＝（2﹣+2+）2+（2﹣）（2+）
＝42+4﹣3
＝17．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化的能力．
26．（2021秋•嘉定区期中）用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：3x2﹣5x﹣2＝0，
3x2﹣5x＝2，
x2﹣x＝，
x2﹣x+（）2＝+（）2，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x1＝﹣，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等．
27．（2021秋•松江区期中）关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x+m＝1，其根的判别式的值为1，求m的值及这个方程的根．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：原方程化为：mx2﹣（m﹣1）x+m﹣1＝0，
由题意可知：Δ＝（m﹣1）2﹣4m×（m﹣1）＝1，
∴m＝0（舍去）或m＝2，
∴原方程为：2x2﹣x＝0，
∴x＝0或x＝
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
28．（2021秋•青浦区校级期中）表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽高、轴距、排量、功率、扭矩、转速、百公里油耗等等．为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
①根据上表可知，每小时耗油 6 升；
②根据上表的数据，写出用Q与t的关系式： Q＝100﹣6t ；
③汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了 7.5 小时．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】①根据表中数据即可得到结论；
②由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得t与Q的关系式；
③求汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行使了多少小时即是求当Q＝55时，t的值．
【解答】解：（1）据上表可知，每小时耗油100﹣94＝6 升；
（2）关键题意得：Q＝100﹣6t；
（3）当Q＝55时，55＝100﹣6t，
6t＝45，
t＝7.5．
答：汽车行使了7.5小时．
故答案为：①6；②Q＝100﹣6t；③7.5．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是列出表达式．
29．（2021秋•青浦区校级期中）如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32﹣2x+2）米，根据矩形面积公式可列出方程，求出答案．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32﹣2x+2）米，
由题意得x•（32﹣2x+2）＝140，
整理，得x2﹣17x+70＝0，
解得x1＝10，x2＝7，
当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32﹣14+2＝20（米）＞16米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32﹣20+2＝14（米）；
答：仓库的长和宽分别为10米，14米．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32﹣2x+2）米．
30．（2021秋•浦东新区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC＝ （48﹣3x） 米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【解答】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10
【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
考点卡片
1．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
4．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
5．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
6．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
7．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
11．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
13．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
14．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
15．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
16．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
17．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
18．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
19．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
20．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
21．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
23．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．汽车行驶时间t（h）
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