2021年河北省保定市莲池区中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年河北省保定市莲池区中考数学一模试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省保定市莲池区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．（2a）2＝2a2
C．3×30＝3 D．
3．（3分）若用科学记数法表示1.18×10﹣11为，则n的值是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（3分）方程30（x﹣1）＝x（x﹣1）的解为（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤4 D．﹣5≤a≤﹣4
8．（3分）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为60米，则这栋楼的高度BC为（　　）

A．米 B．90米 C．80米 D．60米
9．（3分）如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　）

A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1）
C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4）
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
11．（2分）某农科所为了考察水稻穗长的情况，在一块试验田里随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），穗长的频数分布直方图如图所示：
穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.0，6.2，6.4，则样本中位数为（　　）

A．6.2 B．6.15 C．6.1 D．6.35
12．（2分）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x+3）﹣b≤0的解集为（　　）

A．x≤5 B．x≤﹣1 C．x≥﹣1 D．x≥5
13．（2分）嘉淇用有一些完全相同的△ABC纸片，已知六个△ABC纸片按照如图所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若仍用n个△ABC纸片拼接，还可以外轮廓的图案是（　　）

A．正十二边形 B．正十边形 C．正九边形 D．正八边形
14．（2分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AE＝1.5，BC＝4，则CD的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．5
15．（2分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，若AB＝8，则OE的最小值为（　　）

A．2 B．2 C． D．2
16．（2分）如图，点M为量角器半圆的中点，∠EMF＝45°，当∠EMF在量角器内部转动时，边ME和MF分别与直径AB交于点C，D，设AB＝3，AD＝x，BC＝y，则y与x之间的函数关系用图像表示大致为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共3个小题.17-18小题各3分.19小题每空2分，共10分；请把答案填在答题纸上）
17．（3分）＝　 　．
18．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　 　．

19．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若干个半径为2个单位长度，圆心角是60°扇形按图中的方式摆放，动点K从原点O出发，沿着“半径OA→弧AB→弧BC→半径CD→半径DE…”的曲线运动，若点K在线段上运动的速度为每秒2个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第n秒运动到点Kn（n为自然数），则K3的坐标是 　 　；K2021的坐标是 　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤）
20．（8分）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．

（1）如果小玲想的数是﹣8，请你通过计算帮助她告诉魔术师结果；
（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为75，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 　 　；
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为a，请你按照魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话说出这个魔术的奥妙．
21．（8分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
（1）若x⊕（﹣2）＝4，求x的值；
（2）若2⊕a的值小于5，请判断方程﹣x2+bx+a＝0的根的情况．
22．（12分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 　 　名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的4名同学（2名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP．
（1）当⊙P经过PC的中点时，PC的长为 　 　；
（2）当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系，说明理由，并求出PD的长．

24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（2，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y1＝的图象上，求m的值；
（2）若点A，B在同一个一次函数y2＝ax+b的图象上，
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x＞2时，不等式mx+1＜ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝15，∠ABC＝90°，点D为线段BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）当∠CAD＝25°时，求∠E的度数；
（3）点P是△CAD的外心，当点D在线段BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．

26．（12分）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌底部的距离）是1米，当喷射出的水流距离喷灌架水平距离为20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．

（1）求水流运行轨迹满足的函数关系式；
（2）若将喷灌向后移动5米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？
（3）设喷射水流与坡面OA之间的铅直高度为h，求h的表达式，并求出x为何值时，h有最大值，h最大值是多少？

2021年河北省保定市莲池区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．（2a）2＝2a2
C．3×30＝3 D．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，零指数幂，负整数指数幂的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A不符合题意；
B、（2a）2＝4a2，故B不符合题意；
C、3×30＝3×1＝3，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
3．（3分）若用科学记数法表示1.18×10﹣11为，则n的值是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：因为1.18×10﹣11＝0.000000000118，
所以n的值是11．
故选：C．
4．（3分）方程30（x﹣1）＝x（x﹣1）的解为（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵30（x﹣1）＝x（x﹣1），
∴（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（1﹣x）＝0，
∴x﹣1＝0或1﹣x＝0，
解得x1＝x2＝1，
故选：B．
5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
7．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤4 D．﹣5≤a≤﹣4
【分析】解不等式组可得a＜x＜1，再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解x的不等式组得：a＜x＜1，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，
∴﹣4≤a＜﹣3，
故选：B．
8．（3分）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为60米，则这栋楼的高度BC为（　　）

A．米 B．90米 C．80米 D．60米
【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，α＝30°，β＝60°，AD＝60米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝60米，
∴tanα＝＝＝，
∴BD＝20（米），
在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝60米，
∴tanβ＝＝＝，
∴CD＝60（米），
∴BC＝BD+CD＝20+60＝80（米），
即这栋楼的高度BC是80米．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　）

A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1）
C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，A（3，2），
∴点A′的坐标是（3×2，2×2）或（3×（﹣2），2×（﹣2）），即（6，4）或（﹣6，﹣4），
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝∠DAB＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
故选：D．
11．（2分）某农科所为了考察水稻穗长的情况，在一块试验田里随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），穗长的频数分布直方图如图所示：
穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.0，6.2，6.4，则样本中位数为（　　）

A．6.2 B．6.15 C．6.1 D．6.35
【分析】根据穗长在6≤x＜6.5这一组数据和中位数的定义求解即可．
【解答】解：因为50个数据的中位数是第25，26两个数的平均数，
所以样本中位数为＝6.1．
故选：C．
12．（2分）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x+3）﹣b≤0的解集为（　　）

A．x≤5 B．x≤﹣1 C．x≥﹣1 D．x≥5
【分析】先把（2，0）代入y＝kx﹣b得b＝2k，则不等式化为k（x+3）﹣2k＞0，然后在k＜0的情况下解不等式即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣b的图象经过点（2，0），
∴2k﹣b＝0，b＝2k．
∵函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0；
∴关于x的不等式k（x+3）﹣b≤0可化为k（x+3）﹣2k≤0，
移项得：kx≤﹣3k+2k，
即kx≤﹣k，
两边同时除以k得：x≥﹣1，
故选：C．
13．（2分）嘉淇用有一些完全相同的△ABC纸片，已知六个△ABC纸片按照如图所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若仍用n个△ABC纸片拼接，还可以外轮廓的图案是（　　）

A．正十二边形 B．正十边形 C．正九边形 D．正八边形
【分析】先根据正六边形计算一个内角为120度，可知△ABC各角的度数，从而知图中正多边形的内角的度数，可得结论．
【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°，
∴∠ACB＝120°﹣80°＝40°，
∴∠CAB＝180°﹣120°＝60°，
∴图中正多边形的每一个内角为60°+80°＝140°，
∵＝9，
∴可以得到外轮廓的图案是正九边形．
故选：C．
14．（2分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AE＝1.5，BC＝4，则CD的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．5
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE＝1.5，DA＝DC，DE⊥AC，再证明DA＝DB，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到AD的长．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AC，
∴AE＝CE＝1.5，DA＝DC，DE⊥AC，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠B，
∴DC＝DB，
∴DA＝DB，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝5，
∴AD＝AB＝2.5．
故选：B．
15．（2分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，若AB＝8，则OE的最小值为（　　）

A．2 B．2 C． D．2
【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．
【解答】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝AC，∠ABD＝30°，
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝30°＝∠ABD，
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°，
∴OE最小值＝OC＝AB＝2，
故选：A．
16．（2分）如图，点M为量角器半圆的中点，∠EMF＝45°，当∠EMF在量角器内部转动时，边ME和MF分别与直径AB交于点C，D，设AB＝3，AD＝x，BC＝y，则y与x之间的函数关系用图像表示大致为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AM、BM，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AMB＝90°，把△ACM绕点M逆时针旋转90°得到△BMP，根据旋转的性质可得MC＝MP，∠MBE＝∠A＝45°，从而得到∠DBE＝90°，再求出∠DMP＝45°，从而得到∠DMP＝∠DMC，然后利用“边角边”证明△MCD和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得DM＝CD，然后表示出AC、BD、CD，再利用勾股定理列式整理得到y与x的函数关系式，最后选择答案即可．
【解答】解：连接AM、BM，

由题意可知，∠AMB＝90°，∠MAB＝∠MBD＝45°，
把△ACM绕点M逆时针旋转90°得到△BMP，
由旋转的性质可得MC＝MP，∠MBP＝∠A＝45°，
∴∠DBP＝90°，
由旋转知，∠DMP＝∠DMC，
在△MCD和△MPD中，
，
∴△MCD≌△MPD（SAS），
∴DP＝CD，
∵AB＝3，AD＝x，BC＝y，
∴BP＝AC＝3﹣y，BD＝3﹣x，
CD＝AD﹣AC＝x﹣（3﹣y）＝x+y﹣3，
在Rt△DBP中，由勾股定理可得，BD2+BP2＝DP2，
即（3﹣x）2+（3﹣y）2＝（x+y﹣3）2，整理得，y＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题.17-18小题各3分.19小题每空2分，共10分；请把答案填在答题纸上）
17．（3分）＝　+　．
【分析】首先化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣+2﹣2
＝+．
故答案为：+．
18．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　（﹣2.5，2）　．

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，0），点D在y轴上，
∴AB＝AD＝2.5＝CD，
∴DO＝＝＝2，
∵CD∥AB，
∴点C的坐标是：（﹣2.5，2）．
故答案为（﹣2.5，2）．
19．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若干个半径为2个单位长度，圆心角是60°扇形按图中的方式摆放，动点K从原点O出发，沿着“半径OA→弧AB→弧BC→半径CD→半径DE…”的曲线运动，若点K在线段上运动的速度为每秒2个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第n秒运动到点Kn（n为自然数），则K3的坐标是 　（3，﹣）　；K2021的坐标是 　（2021，）　．

【分析】设第n秒运动到点Kn（n为自然数），根据点K的运动规律找出部分Kn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“K4n+1（4n+1，），K4n+2（4n+2，0），K4n+3（4n+3，﹣），K4n+4（4n+4，0）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：设第n秒运动到点Kn（n为自然数），
观察，发现规律：K1（1，），K2（2，0），K3（3，﹣），K4（4，0），K5（5，），…，
∴K4n+1（4n+1，），K4n+2（4n+2，0），K4n+3（4n+3，﹣），K4n+4（4n+4，0）．
∵2021＝4×505+1，
∴K2021为（2021，）．
故答案为：（3，﹣），（2021，）．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤）
20．（8分）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．

（1）如果小玲想的数是﹣8，请你通过计算帮助她告诉魔术师结果；
（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为75，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 　70　；
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为a，请你按照魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话说出这个魔术的奥妙．
【分析】（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；
（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于75，得出一元一次方程，即可求出；
（3）结合（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律．
【解答】解：（1）（﹣8×3﹣6）÷3+7＝3；
（2）设这个数为x，
（3x﹣6）÷3+7＝75；
解得：x＝70；
故答案为：70；
（3）设观众想的数为a．+7＝a+5．
因此，魔术师只要将最终结果减去5，就能得到观众想的数了．
21．（8分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
（1）若x⊕（﹣2）＝4，求x的值；
（2）若2⊕a的值小于5，请判断方程﹣x2+bx+a＝0的根的情况．
【分析】（1）根据新定义得出一元二次方程，解一元二次方程即可；
（2）先根据新定义得出关于a的一元一次不等式，解一元一次不等式求出a的范围，再根据a的范围，判断方程﹣x2+bx+a＝0根的判别式的符号，即可判断根的情况．
【解答】解：（1）∵a⊕b＝a（a﹣b）+1，x⊕（﹣2）＝4，
∴x（x+2）+1＝4，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴x的值为1或﹣3；
（2）由题意得：2（2﹣a）+1＜5，
解得：a＞0，
∴b2﹣4×（﹣1）×a＝b2+4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
22．（12分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 　80　名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的4名同学（2名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；
（3）由360°乘以A组所占的百分比即可；
（4）画出树状图，共有12种等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），
把条形统计图补充完整如图：

（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；
（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有6种，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为＝．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP．
（1）当⊙P经过PC的中点时，PC的长为 　3　；
（2）当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系，说明理由，并求出PD的长．

【分析】（1）先判断出PC＝2PD，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
（2）先判断出PH＝PD，再求出AC，进而求出CH，得出AH，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4.5，∠ADC＝90°，
∵⊙P经过PC的中点，
∴PC＝2PD，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，PC2﹣PD2＝CD2，
∴（2PD）2﹣PD2＝CD2，
∴3PD2＝4.52，
∴PD＝，
∴PC＝2PD＝3，
故答案为：3；

（2）如图，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝，
过点P作PH⊥AC于H，
∵CP平分∠ACD，
∴PH＝PD，
∴AC切⊙P于H，
∴△PHC≌△PDC（AAS），
∴CH＝CD＝4.5，
∴AH＝AC﹣CH＝3，
设PD＝x，则PH＝x，AP＝AD﹣PD＝6﹣x，
在Rt△APH中，根据勾股定理得，AP2﹣PH2＝AH2，
∴（6﹣x）2﹣x2＝32，
∴x＝，
即PD的长为．

24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（2，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y1＝的图象上，求m的值；
（2）若点A，B在同一个一次函数y2＝ax+b的图象上，
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x＞2时，不等式mx+1＜ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由点A的坐标得到反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入可得m的值；
（2）①把A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得答案；
②在坐标系中画出图象，根据图象可得取值范围．
【解答】解：（1）把A（3，4）代入y1＝可得k＝3×4＝12，
所以反比例函数的解析式是y1＝，
当x＝2时，m＝6．
（2）①当m＝2时，A（3，4），B（2，2）．
代入y2＝ax+b中得：，
解得：．
答：这个一次函数的解析式是y2＝2x﹣2．
②如图：

直线y＝mx+1与直线x＝2的交点在B点或其下方，
应该是x＝2时2m+1≤m，解得：m≤﹣1．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝15，∠ABC＝90°，点D为线段BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）当∠CAD＝25°时，求∠E的度数；
（3）点P是△CAD的外心，当点D在线段BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．

【分析】（1）根据边角边即可证明△ABD≌△CBE；
（2）分两种情况点D在线段BC上时，点D在BC延长线上时，根据∠CAD＝25°，即可求∠BEC的度数；
（3）根据点P是△CAD的外心，可得点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据点P恰好在△ABC的内部，可得BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，根据勾股定理即可求出BF的长．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）若点D在线段BC上时，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°＝∠EBD，BE＝BD，
∴∠CAB＝45°＝∠ACB＝∠BDE＝∠DEB，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝70°，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠ADB＝∠BEC＝70°，
若点D在BC延长线上时，如图2，

∵△ABD≌△CBE，
∴∠BEC＝∠ADB＝∠ACB﹣∠CAD＝45°﹣25°＝20°，
综上所述：∠BEC的度数为70°或20°；
（3）∵点P是△CAD的外心，
∴点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，
如图2，过点B作BF⊥AC于点F，
∵点P恰好在△ABC的内部，
∴BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，
∵AC＝，
∴BF＝．
即点P的运动路径为．
26．（12分）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌底部的距离）是1米，当喷射出的水流距离喷灌架水平距离为20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．

（1）求水流运行轨迹满足的函数关系式；
（2）若将喷灌向后移动5米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？
（3）设喷射水流与坡面OA之间的铅直高度为h，求h的表达式，并求出x为何值时，h有最大值，h最大值是多少？
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，用待定系数法求得解析式；
（2）先写出喷灌移动后的函数解析式，再求x＝30时，y的值，求出点B的纵坐标进行比较即可；
（3）写出水流与坡面OA之间的铅直高度为h的函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+k，
将（0，1），（20，11）分别代入，
得：，
解得：，
∴y＝﹣（x﹣20）2+11＝﹣x2+x+1，
∴水流运行轨迹满足的函数关系式y＝﹣+x+1；
（2）移动后的解析式为y＝﹣+11＝﹣（x﹣15）2+11，
将x＝30代入得：y＝﹣×152+11＝11﹣5.625＝5.375（m），
∵坡度为1：10，
∴B点纵坐标为2.3+3＝5.3（m），
∵5.375m＞1.3m，
∴可避开对这棵石榴树的喷灌；
（3）∵坡度为1：10，
∴直线OA的解析式为y＝0.1x，
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h＝﹣x2+x+1﹣0.1x
＝﹣x2+x+1
＝﹣（x﹣18）2+9.1，
∵﹣＜0，
∴当x＝18时，h有最大值，最大值为9.1m．