还剩61页未读，
继续阅读
2021年广东省深圳市布心中学中考模拟试卷 解析版
展开
这是一份2021年广东省深圳市布心中学中考模拟试卷 解析版，共64页。
2021年广东省深圳市布心中学中考模拟试卷
一．选择题（共1小题）
1．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
2．如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ ．
3．如图，直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段AB为边，在线段AB的左侧作正方形ABCD，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移 个单位长度时，正方形ABCD的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
5．如图，反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ．
6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共15小题）
7．如图，点A（m，4），B （﹣4，n）在反比例函数（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D
（1）若m＝2，完成下列填空
①n＝ ，k＝
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为
③若正比例函数y＝ax（a＞0）与反比例函数y＝交于点M、N，以MN为斜边作等腰Rt△EMN，则点E所在的图象的函数解析式为
（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝1，求点O到直线AB的距离．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l1相交于P．点E为直线l1上一点，反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．
①如图1，过E作EC垂直于x轴交x轴于C点，当C点异于A点时，说明△OEF的面积等于四边形ECAF的面积．
②若k＞2，且△OEF的面积为△PEF面积的2倍，请直接写出点E的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
10．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移 个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
（3）在（2）的情况下，连接AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），
①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．
②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣6，5），将A，B两点绕原点O顺时针旋转90°至C，D两点．
（1）请在图1中的坐标系中画出线段CD并直接写出C，D两点的坐标；
（2）以CD为边作▱DCOF交x轴正半轴于F点，若反比例函数y＝的图象经过▱DCOF的顶点C和边DF上的一点E，求E点坐标；
（3）若P是第二问反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与▱DCOF的一边交于点N．设点P的横坐标为a，当＝时，则a的值为 ．
12．如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B 作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y＝ax2+bx﹣3和反比例函数（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．
（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
14．如图，点D在反比例函数y＝（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）
15．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（﹣3，0），（1，0）、（0，4），顶点C在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OC，若点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，且以点P，O，D为顶点的三角形面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
（3）如图2，将▱ABCD从图1的位置开始沿x轴向右平移，反比例函数y＝（x＞0）的图象与折线C﹣D﹣A相交于点E，与BC边相交于点F，过点F作x轴的平行线，交AD边于点G，在▱ABCD沿x轴向右平移的过程中，探究下列问题：
①当四边形ABFG为菱形时，求点A的坐标；
②线段BE，FG能否相等？若能，请直接写出相应的点A的坐标；若不能，请说明理由．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将（2）中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
17．如图1，平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）判断四边形OBAC的形状，并证明；
（2）直接写出反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（3）如图2，将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S．探究下列问题．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求m的值，并直接写出此时S的值；
B：若S＝S△OAB，求m的值；
（4）如图3，连接BC，交AO于点D．点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的一点．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：在x轴上是否存在点Q，使得以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；
B：在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
18．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
19．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
20．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下且a＞0，当t≤x≤t+1时有最小值，求t的值．
21．如图1，反比例函数图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．
2021年广东省深圳市布心中学中考模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先判断出△AEM∽EDN得出ME，EN，AB，再过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．
【解答】解：如图，
过点E作EM⊥y轴于M，交BC延长线于N，
∵∠AME＝∠DNE＝90°，∠AEM＝∠EDN，
∴△AEM∽EDN，
∴①，
设AM＝BN＝m，ME＝n，
∴EN＝MN﹣ME＝3﹣n，DN＝BN﹣BD＝m﹣3，
代入①得，②，
根据勾股定理得，m2+n2＝（3）2③，
由②③得n1＝3，m1＝0（舍），
n2＝2，m2＝5，
∵点A的坐标为（0，4），点D（3，1），
∴DE＝BD＝3，
∴AB＝3，AF＝2，E（2，﹣1）．
过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP＝PH+EH＝DC+EH＝2，
∵∠AFG＝∠ABD＝90°，∠FAG＝∠BAD，
∴△AFG∽△ABD．
∴，
即：＝，
∴FG＝2．
∴EG＝EF﹣FG＝3．
∴点G的纵坐标为2．
∵y＝ax2﹣4ax+10＝a（x﹣2）2+（10﹣20a），
∴此抛物线y＝ax2﹣4ax+10的顶点必在直线x＝2上．
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上．
∴﹣1＜10﹣20a＜2，
∴．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
2．如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质表示出点C的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
平移后的解析式为y＝，可得，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PC＝PA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴＝＝＝，
∴PH＝k，CH＝2，
∴OH＝k﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y＝﹣上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
3．如图，直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段AB为边，在线段AB的左侧作正方形ABCD，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移 或4 个单位长度时，正方形ABCD的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．
【分析】正方形ABCD沿x轴正方向向右平移使一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．只能点A或点D，因此分两种情况进行解答；需要求出点A、D的坐标，可根据正方形的性质、全等三角形得以求出；要想求出向右平移几个单位使点A、D落在图象上，还需求出反比例函数的关系式，因此还需求出点C的坐标，仍可根据正方形性质和全等三角形得证；本题考查正方形的性质，三角形全等，一次函数图象和性质，反比例函数的图象和性质以及将坐标与线段的长的相互转化等知识．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3，∴A（0，3），即OA＝3；
当y＝0时，即0＝﹣3x+3，
∴x＝1，∴B（1，0），即OB＝1；
过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥y轴，垂足为F，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°
又∵CE⊥x轴
∴∠CEB＝90°＝∠AOB，
∴∠ECB+∠CBE＝90°
∴∠ECB＝∠ABO，
∴△AOB≌△BEC （AAS）
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
同理可证△ADF≌△ABO，得DF＝AO＝3，AF＝OB＝1
∴C（﹣2，﹣1）D（﹣3，2）
将C（﹣2，﹣1）代入y＝得：k＝2
∴y＝；
（1）当y＝3时，即3＝，∴x＝，
即当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移个单位，点A落在反比例函数的图象上；
（2）当y＝2时，即2＝，∴x＝1，D沿着x轴向右平移1+3＝4个单位落在反比例的图象上
即当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移4个单位，点D落在反比例函数的图象上；
故答案为：或4
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．
【解答】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
5．如图，反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 （2，﹣） ．
【分析】根据待定系数法求得反比例函数的解析式；连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，先由AAS证明△OAM≌△CON，得出OM＝CN，AM＝ON，再由三角形的角平分线性质得出，根据平行线的性质得出比例式：，设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x，根据题意得出方程：x•x＝2，解方程求出CN、ON，即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），
∴k＝﹣1×（﹣2）＝2，
∴反比例函数为y＝，
连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，如图所示：
则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
根据题意得：点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB为斜边，
∴OC⊥AB（三线合一），OC＝AB＝OA，AC＝BC，AB＝BC，
∴∠AOC＝90°，
即∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠OAM＝∠CON，
在△OAM和△CON中，
，
∴△OAM≌△CON（AAS），
∴OM＝CN，AM＝ON，
∵BP平分∠ABC，
由三角形面积公式可得，，
∵AM∥CN，
∴，
设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x，
∵点A在反比例函数y＝上，
∴OM•AM＝2，
即x•x＝2，
解得：x＝，
∴CN＝，ON＝2，
∴点C的坐标为：（2，﹣）；
故答案为：（2，﹣）．
6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ ．
【分析】①由折叠直接得到结论；
②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；
③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE＝CQ，得到S△PCQ＝CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD＝CF，即可；
④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．
⑤当D，C，Q共线时，可以证明∠PQB＝90°，求出此时AD的值即可．
【解答】解：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP＝CD＝CQ．故①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，
∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°，
∴∠PCQ的大小不变．故②正确；
③如图1中，
过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ＝120°，
∴∠QCE＝60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE＝，
∴QE＝CQ×sin∠QCE＝CQ×sin60°＝CQ，
∵CP＝CD＝CQ
∴S△PCQ＝CP×QE＝CP×CQ＝CD2，
∴CD最短时，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴CF＝BC＝2，
即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小＝CD2＝×22＝，故③错误，
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AD，∠ADP＝60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，
∴∠PDQ＝60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD＝BD，
∴PD＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形．故④正确，
⑤如图2中，
当D，C，Q共线时，∵BQ＝BD，∠QBD＝60°，
∴△BDQ是等边三角形，
∴∠QDB＝∠PAD＝60°，
∴PA∥DQ，
∴∠ACD＝∠PAC＝∠CAD＝30°，
∴PA＝AD＝CD＝PC，
∴四边形ADCP是菱形，
∴PA＝CD＝CQ，
∴四边形APQC是平行四边形，
∴∠PQC＝∠PAC＝30°，
∴∠PQB＝90°，
过点C作CF⊥AB于F，则AF＝FB＝BC•cos30°＝2，
∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°，
∴BD＝2CD＝2AD，
∴AD＝AB＝，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
三．解答题（共15小题）
7．如图，点A（m，4），B （﹣4，n）在反比例函数（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D
（1）若m＝2，完成下列填空
①n＝ ﹣2 ，k＝ 8
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为 y＝+3
③若正比例函数y＝ax（a＞0）与反比例函数y＝交于点M、N，以MN为斜边作等腰Rt△EMN，则点E所在的图象的函数解析式为 y＝﹣
（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝1，求点O到直线AB的距离．
【分析】（1）①根据点A坐标，利用待定系数法求出k，再求出B的坐标即可；
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y＝+3；
③如图1中，作MP⊥y轴于P．EQ⊥x轴于Q．由△OPM≌△OQE，推出S△OPM＝S△OEQ＝4，设点E坐标为（x，y），可得x（﹣y）＝4，即y＝﹣；
（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图2，在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝，而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，所以 +＝1，又m+n＝0，于是可解得m＝2，n＝﹣2，从而得到A（2，4），B（﹣4，﹣2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式，求出C、D坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）①∵A（2，4），
∴4＝，
∴k＝8，
∵B（﹣4，n）在y＝上，
∴n＝﹣2，
故答案为﹣2，8．
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y＝+3．
故答案为y＝+3．
③如图1中，作MP⊥y轴于P．EQ⊥x轴于Q．
易知△OPM≌△OQE，
∴S△OPM＝S△OEQ＝4，设点E坐标为（x，y），
∴x（﹣y）＝4，
∴y＝﹣，
故答案为y＝﹣．
（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图2中，
在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，
在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝，
而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，
所以 +＝1，
而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2，
则A（2，4），B（﹣4，﹣2），
设直线AB的解析式为y＝px+q，
把A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入得 ，解得 ，
所以直线AB的解析式为y＝x+2．
∴C（﹣1，0），D（0，1），CD＝，
∴点O到直线AB的距离＝．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l1相交于P．点E为直线l1上一点，反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．
①如图1，过E作EC垂直于x轴交x轴于C点，当C点异于A点时，说明△OEF的面积等于四边形ECAF的面积．
②若k＞2，且△OEF的面积为△PEF面积的2倍，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）把点P（1，2）代入y＝即可解决问题．
（2）①根据S△OEF＝S四边形OEFA﹣S△OFA＝S△EOC+S四边形ECAF﹣S△FOA，因为S△EOC＝S△FOA，由此即可解决问题．
②如图2中，作EM⊥OA于M，利用①结论列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
由题意点P坐标（1，2），
当E、P重合时，P（1，2）代入y＝得k＝2．
（2）①∵S△OEF＝S四边形OEFA﹣S△OFA
＝S△EOC+S四边形ECAF﹣S△FOA，
∵S△EOC＝S△FOA，
∴S△EOF＝S四边形ECAF．
②如图2中，作EM⊥OA于M．
设点E坐标（m，2）．∵S△OEF＝2S△PEF，
∴S四边形FAME＝2S△PEF，
∴（2+2m）（m﹣1）＝2×（m﹣1）（2m﹣2），
∴m＝3或1，
∵k＞2，m＝1不合题意，
∴m＝3，
∴点E坐标（3，2）．
9．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则，即可求解；
（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；
（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，
∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，
如图1，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，
∴，
∵OC＝2，
∴OE＝3，∴；
（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，
∴，
∴，
∵A，D在同一反比例函数上，
∴，
解得：m＝1，
∴OC＝1；
（3）由（2）得：∴，
∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，
∴，
∵D1在反比例函数上，
∴
同理：，，
∴，
∴，
∵xP＝xA＝﹣3，P在反比例函数上，
∴，
①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，
过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，
过点D作DG⊥l1，
则△A1PF∽△PDG，
，
解得：；
②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，
过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，
则△A1DH∽△DPG，
，，
解得：k＝0（舍），
综上：存在．
10．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移 3 个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
（3）在（2）的情况下，连接AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），
①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．
②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC，再由全等三角形的性质可求出OE的长，进而得出C点坐标．把点坐标代入反比例函数y＝即可得出其解析式；
（2）根据A（0，4）可知OA＝4，再把y＝4代入反比例函数的解析式求出x的值即可；
（3）①先根据点A与点Q关于原点对称，再根据勾股定理求出AQ的长，由矩形的对角线相等即可得出P点坐标；
②设P（x，0），再根据△AOF∽△PAF与△AOF∽△APF两种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）如图1所示，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠AOB＝∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠EBC＝90°，
又∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝OA＝4，CE＝OB＝2，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴点C的坐标为（6，2）．
将C（6，2）代入y＝，得 2＝，解得 k＝12，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）∵A（0，4），
∴OA＝4，
当y＝4时，x＝＝3，
∴将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：3；
（3）①当点P的坐标为（﹣5，0）时，四边形ABQP是矩形．
理由如下：
∵由（2）知A（3，4），B（5，0），双曲线上各点关于原点对称，
∴点A与点Q关于原点对称，
∴Q（﹣3，﹣4），
∴AO＝AQ＝＝5，
又∵PO＝OB＝5，
∴四边形ABQP是平行四边形，
又∵PB＝AQ＝10，
∴四边形ABQP是矩形；
②∵A（3，4），F（3，0），
∴OA＝5，
设P（x，0），
当△AOF∽△PAF时，＝，即＝，解得x＝﹣或x＝，
∴P（﹣，0）或（，0）；
当△AOF∽△APF时，
∵AF＝AF，
∴OF＝PF，
∴P（6，0），
故点P的坐标为（﹣，0）或（，0）或（6，0）．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣6，5），将A，B两点绕原点O顺时针旋转90°至C，D两点．
（1）请在图1中的坐标系中画出线段CD并直接写出C，D两点的坐标；
（2）以CD为边作▱DCOF交x轴正半轴于F点，若反比例函数y＝的图象经过▱DCOF的顶点C和边DF上的一点E，求E点坐标；
（3）若P是第二问反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与▱DCOF的一边交于点N．设点P的横坐标为a，当＝时，则a的值为 或或或 ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质和待定系数法求函数的解析式即可得到结论；
（3）根据平行四边形的性质和双曲线的性质，确定出PM，PN即可．
【解答】解：（1）如图1，C（2，6），D（5，6）；
（2）∵反比例函数y＝的图象经过▱DCOF的顶点C，
∴6＝，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵四边形DCOF是平行四边形，
∴OF＝CD＝3，
∴F（3，0），
∴直线DF的解析式为：y＝3x﹣9，
∵点E在边DF上，
∴解得，，（不合题意舍去），
∴E（4，3）
（3）①如图2，点N在OC上，
∵C（2，6）．
即0＜t＜2，
直线OC的解析式为y＝3x，
设点P的横坐标为a，
∴P（a，），
∵过点P作直线l⊥x轴于点M．
∴N（a，3at），M（a，0），
∴PN＝﹣3a，PM＝，
∵＝，
∴＝，
∴a＝或a＝﹣（舍），
②如图3，
当点N在CD上时，
∵B（5，6），
∴2≤t≤5，
由题意知，P（a，）．N（a，6），M（a，0），
∵＝时，
∴4（6﹣）＝
∴a＝
③如图5，5，
当点N在DF上时，（3＜t≤5）
∵D（5，6），F（3，0），
∴直线DF解析式为y＝3x﹣9，
∴P（a，），N（a，3a﹣9），M（a，0），
∵＝，
∴4|﹣3a+9|＝，
∴a＝或a＝（舍）或a＝或a＝（舍）
∴a的值为，，或．
故答案为：或或或．
12．如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B 作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y＝ax2+bx﹣3和反比例函数（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．
（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
【分析】（1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义可求出k，从而可求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，由此可求出对称轴方程；
（2）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2，易证BC∥OA，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ＝AB，只需QE＝AD＝1，由此即可求出t的值；②如图2，易证△MFP≌△MGQ，则有MF＝MG，从而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四边形ABPQ，并运用割补法就可得到S关于t的函数解析式，然后只需利用该函数的增减性就可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，
∵四边形OCBD的面积是6，
∴k＝xy＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点B（2，m），
∴2m＝﹣6，
解得m＝﹣3．
∴B（2，﹣3）．
将点A（3，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，得
解得：，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
则抛物线的对称轴为x＝﹣＝1；
（2）①由题意可知：BP＝OQ＝0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ＝AB．
即QE＝AD＝1．
又QE＝OE﹣OQ＝（2﹣0.1t）﹣0.1t＝2﹣0.2t，
∴2﹣0.2t＝1．
解得t＝5，
∴当t＝5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC、x轴的交点分别为F、G，如图2．
∵对称轴x＝1是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF＝OG＝1．
又∵BP＝OQ，
∴PF＝QG．
∵BC∥OA，
∴∠GQM＝∠FPM．
在△MFP和△MGQ中，
∴△MFP≌△MGQ，
∴MF＝MG，
∴S△BPN＝PB•MF═PB•FG
＝×0.1t×
＝t．
∵S四边形ABPQ＝（BP+AQ）•FG
＝（0.1t+3﹣0.1t）•3
＝，
∴S＝S四边形ABPQ﹣S△BPN
＝﹣t．
∵BC＝2，OA＝3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要2÷0.1＝20秒，
∴0≤t≤20．
∵﹣＜0，
∴当t＝20秒时，面积S有最小值3．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OB，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
14．如图，点D在反比例函数y＝（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）
【分析】（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，由三角形ODC为等腰直角三角形，利用三线合一得到G为OC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DG与OG的长，确定出D坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将B的横坐标1代入反比例解析式中求出y的值，确定出B的纵坐标，由折叠的性质得到△BOA′≌△BOA，即为BA与BA′的长相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形对应边相等得到A′F＝EF，由OE＝EF+OF＝4，得到A′F+OF＝4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2＝OF2，设OF＝x，则A′F＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF的长，进而得出F的坐标，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，将B与F的坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线A′B的解析式；
（3）满足题意的P点有三个位置，如图所示，四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，由题意得出△FA′O∽△OMA′，由相似得比例求出A′M与OM的长，确定出A′的坐标，根据平行四边形的对边相等得到A′P1＝OA＝1，确定出P1的坐标，由A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），利用线段中点坐标公式求出P2与P3的坐标．
【解答】解：（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，
∵△ODC为等腰直角三角形，
∴G为OC的中点，即DG为斜边上的中线，
∴DG＝OG＝OC＝2，
∴D（2，2），
代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，
则反比例解析式为y＝；
（2）∵点B是y＝上一点，B的横坐标为1，
∴y＝＝4，
∴B（1，4），
由折叠可知：△BOA′≌△BOA，
∵OA＝1，AB＝4，
∴BE＝A′O＝1，OE＝BA′＝4，
又∵∠OAB＝90°，∠A′FO＝∠BFE，
∴∠BA′O＝∠OEB＝90°，
∴△OA′F≌△BFE（AAS），
∴A′F＝EF，
∵OE＝EF+OF＝4，
∴A′F+OF＝4，
在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2＝OF2，
设OF＝x，则A′F＝4﹣x，
∴12+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴OF＝，即F（0，），
设直线BA′解析式为y＝kx+b，
将B（1，4）与F（0，）坐标代入得：，
解得：，
则线BA′解析式为y＝x+；
（3）如图所示：四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，
∵∠A′OM+∠A′OF＝90°，∠A′OM+∠MA′O＝90°，
∴∠A′OF＝∠MA′O，
∵∠A′MO＝∠FA′O＝90°，
∴△FA′O∽△OMA′，
∴＝，即＝，
∴OM＝，根据勾股定理得：OM＝，
∴A′（﹣，），
∵A′P1＝OA＝1，
∴P1（，），
∵A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），
∴P2（﹣，），P3（，﹣）．
15．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（﹣3，0），（1，0）、（0，4），顶点C在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OC，若点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，且以点P，O，D为顶点的三角形面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
（3）如图2，将▱ABCD从图1的位置开始沿x轴向右平移，反比例函数y＝（x＞0）的图象与折线C﹣D﹣A相交于点E，与BC边相交于点F，过点F作x轴的平行线，交AD边于点G，在▱ABCD沿x轴向右平移的过程中，探究下列问题：
①当四边形ABFG为菱形时，求点A的坐标；
②线段BE，FG能否相等？若能，请直接写出相应的点A的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先求出△OBC的面积，根据△POD与△OBC的面积相等，先求出点P的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标；
（3）①作CM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，作HK⊥x轴于K，求出KN的长度即可确定▱ABCD向右平移的距离，得出点A的坐标；
②当BE＝FG＝4时，A与原点O重合．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（1，0）、D（0，4），四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝＝5，
∴C（4，4），
把点C（4，4）代入y＝，
得：k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设点P（a，b），
∵OB＝1，OD＝4，
∴S△OBC＝，1×4＝2，S△POD＝×4×a＝2，
∴a＝1，
∵ab＝16，
∴b＝16，
∴P（1，16）；
（3）①如图所示：
当四边形ABFG为菱形时，BF＝AB＝FG＝4，点E坐标为（4，4），
作CM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，作HK⊥x轴于K，则CM∥FN，
∴，即，
∴FN﹣，
∵点F在函数y＝的图象上，
∴ON＝5，
∴F（5，），
∴HK＝，
∵HB1＝FB＝4，KB1＝＝，
∴KN＝5﹣1﹣＝，即▱ABCD向右平移了个单位长度，3﹣＝，
∴点A的坐标为（﹣，0）；
②线段BE，FG能相等；
根据题意得：当BE＝FG＝4时，BE⊥x轴，
∵C（4，4），
∴A与原点O重合，坐标为（0，0）．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将（2）中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题；
（2）设OB＝a，则点A的坐标（a，2），由题意CE＝1．DE＝，可得D（3+a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a＝（3+a），清楚a即可；
（3）分两种情形：①如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．
②如图2中，利用勾股定理的逆定理，构建方程分别求解；
【解答】解：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．
∵∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
根据对称性可知：DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CDE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝1，DE＝，
∴OE＝OB+BC+CE＝5，
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB＝a，则点A的坐标（a，2），
由题意CE＝1．DE＝，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a＝（3+a），
∴a＝3，
∴OB＝3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝2，
∴AA1＝＝4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°，
∴PA＝，
∴PB＝，
由（2）可知P（3，），
∴k＝10．
②如图2中，由题意D（6，），设P（3，），A1（3+h，2），D1（6+h，），
则PD2＝32+（﹣）2，DA12＝（3﹣h）2+（）2，PA12＝h2+（﹣2）2，
当∠PA1D＝90°时，32+（﹣）2＝（3﹣h）2+（）2+h2+（﹣2）2，
又∵（6+h）＝3，
可得k＝10，
当∠PDA1＝90°时，同法可得k＝12，
综上所述，k的值为10或12．
17．如图1，平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）判断四边形OBAC的形状，并证明；
（2）直接写出反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（3）如图2，将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S．探究下列问题．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求m的值，并直接写出此时S的值；
B：若S＝S△OAB，求m的值；
（4）如图3，连接BC，交AO于点D．点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的一点．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：在x轴上是否存在点Q，使得以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；
B：在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）如图1，过点A作AE⊥OB于E，由勾股定理可求AB＝OB＝5，由折叠的性质可得AB＝AC，BO＝CO，可证四边形ABOC是菱形；
（2）由菱形的性质可求点C坐标，即可求解；
（3）A：先求m的值，通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；
B：通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；
（4）A：分OD为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；
B：分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：（1）四边形ABOC是菱形，
理由如下：如图1，过点A作AE⊥OB于E，
∵A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0），且AE⊥BO，
∴BO＝5，BE＝3，AE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴AB＝BO，
∵将△OAB沿OA翻折，
∴AB＝AC，BO＝CO，
∴AB＝AC＝BO＝CO，
∴四边形ABOC是菱形；
（2）∵四边形ABOC是菱形，
∴AC∥BO，且A点坐标（﹣2，4），AC＝AB＝5，
∴点C（3，4）
∵点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数表达式为y＝；
（3）A：∵将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，
∴点B'的横坐标为﹣5，
∴y＝﹣，
∴m＝，
连接AA'，并延长AA'交BO于点E，
∴AE＝4，AA'＝，
∴A'E＝，
∵S△ABO＝×5×4＝10，且将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，
∴S△A'B'O'＝10，
∵BO∥B'O'，
∴△ANP∽△A'B'O'，
∴＝（）2，
∴S＝10×＝；
B：∵BO∥B'O'，
∴△ANP∽△A'B'O'，
∴＝（）2＝
∴m＝4﹣2；
（4）A：∵四边形ABOC是菱形，
∴AD＝OD，
∵A（﹣2，4），点O（0，0），
∴点D（﹣1，2），
若OD为边，则点P在纵坐标为2或﹣2，
∴y＝＝6或y＝＝﹣6，
∴点P（6，2）或（﹣6，﹣2），
如图3，当P（6，2）时，
∵四边形ODPQ是平行四边形，
∴DP＝OQ＝7，
∴点Q（7，0），
如图4，当P（﹣6，﹣2）时，
∵四边形ODQP是平行四边形，
∴OQ与PD互相平分，
∴点H（﹣，0）
∴点Q（﹣7，0），
若DO为对角线，
∵四边形QOPD是平行四边形，
∴PQ与OD互相平分，
∵OD中点坐标（﹣，1）
∴点P纵坐标为2，
∴点P坐标为（6，2）
∴点Q坐标为（﹣7，0）
综上所述：当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，当点P（﹣6，﹣2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；
B：若以AO为对角线，在坐标平面内不存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形；
若以AO为边，如图5，过点Q作QE⊥AC于E，过点P作HP⊥BO于H，
∵A点坐标（﹣2，4），点O坐标（0，0），
∴直线AO解析式为：y＝﹣2x，
∵以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形，
当∠AOP＝90°，
∴直线OP解析式为：y＝x，
直线AQ解析式为：y＝x+5，
∴
∴
∴点P（2，）或（﹣2，﹣），
∴OH＝2，PH＝，
∵四边形AOPQ是矩形，
∴AQ＝OP，AQ∥OP，
∴∠QAO＝∠AOP＝90°，
∵AC∥BO，
∴∠CAO+∠AOH＝180°，
∴90°﹣∠QAE+90°+∠POH＝180°，
∴∠QAE＝∠POH，且AQ＝OP，∠QEA＝∠PHO＝90°，
∴△AQE≌△OPH（AAS）
∴QE＝PH＝，AE＝OH＝2，
∴点Q（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣），
当∠P'AO＝90°，同理可求点Q（4，2）或（﹣10，﹣5）；
综上所述：当点Q（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣）或（4，2）或（﹣10，﹣5）时，以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形．
18．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
【分析】问题背景
由等边三角形的性质得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，证得△ACD≌△AEB（SAS），由旋转的概念可得出答案；
尝试应用
证明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性质得出BF＝DF，则可得出答案；
拓展创新
过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE的长，则可得出答案．
【解答】问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC＝90°，PA＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠PAE＝∠CAD，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
当且仅当P、E、B三点共线时取等号，
∴BP的最大值为+1．
19．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2和DE2，变形后可得当a＝x时，有最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵AF2＝CG•CD，
∴＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE＝＝，
Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF＝，
∴EF＝﹣＝，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴＝，
∵MN＝DE＝，
∴FN＝，
∴S△CEF＝＝＝；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝x，EH＝x，
∴DH＝a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a﹣x）2+（x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝a，AN＝a，
∴CN＝BC﹣BN＝a，
∴EN＝EC+CN＝a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（a）2+（a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴＝＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣（a＞0，x＞0），
∴当＝时，即x＝a时，有最小值，
则此时＝1﹣＝，
∴＝．
20．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下且a＞0，当t≤x≤t+1时有最小值，求t的值．
【分析】（1）由对称轴公式即可求解；
（2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
（3）分t＜1，t＞2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝2；
（2）该二次函数的图象经过点（1，3），
∴a﹣4a+3+b＝3，
∴b＝3a，
把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，
得4＜a+3|a|＜9．
当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜，
而a为整数，
∴a＝2，则b＝6，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；
当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则﹣＜a＜﹣2．
而a为整数，
∴a＝﹣3或﹣4，
则对应的b＝﹣9或﹣12，
∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；
（3）∵a＞0，
则函数表达式为y＝2x2﹣8x+9＝2（x﹣2）2+1，
则函数顶点坐标为（2，1），开口向上，
当t+1＜2，即t＜1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x＝t+1时，y有最小值，
即2（t+1﹣2）2+1＝，
解得：t＝或t＝（舍）；
当t＞2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x＝t时，y有最小值，
即2（t﹣2）2+1＝，
解得：t＝（舍）或t＝；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为或．
21．如图1，反比例函数图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．
【分析】（1）由△OAB为等边三角形及OA＝2，可得出OM，BM的长，进而可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；
（2）过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通过解直角三角形可求出AC，CM′的长，进而可得出OC的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数图象与直线CM′交点的纵坐标，将其与点M′的纵坐标比较后即可得出结论；
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，进而可得出点B1的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出MD，B1D，AD的长，再结合＝﹣S△BMA﹣即可求出△ABB1的面积．
【解答】解：（1）∵△OAB为等边三角形，OA＝2，
∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，
∴点B的坐标为（1，）．
∵反比例函数图象经过点B，
∴k＝．
（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下：
过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．
由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，
∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．
在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，
∴∠AM′C＝30°，
∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．
∴OC＝OA+AC＝，
∴点M′的坐标为（，）．
当x＝时，y＝＝，
∵＜，
∴该反比例函数图象是从点M'的下方经过．
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，如图2所示．
设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，
∴点B1的坐标为（2+a，a）．
∵点B1在该反比例函数y＝的图象上，
∴（2+a）•a＝，
解得：a1＝﹣2﹣2（舍去），a2＝2﹣2，
∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝﹣，AD＝a＝﹣1，
∴＝﹣S△BMA﹣，
＝（BM+B1D）•MD﹣BM•AM﹣B1D•AD，
＝（+﹣）×﹣××1﹣×（﹣）×（﹣1），
＝﹣．
2021年广东省深圳市布心中学中考模拟试卷
一．选择题（共1小题）
1．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
2．如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ ．
3．如图，直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段AB为边，在线段AB的左侧作正方形ABCD，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移 个单位长度时，正方形ABCD的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
5．如图，反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ．
6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共15小题）
7．如图，点A（m，4），B （﹣4，n）在反比例函数（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D
（1）若m＝2，完成下列填空
①n＝ ，k＝
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为
③若正比例函数y＝ax（a＞0）与反比例函数y＝交于点M、N，以MN为斜边作等腰Rt△EMN，则点E所在的图象的函数解析式为
（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝1，求点O到直线AB的距离．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l1相交于P．点E为直线l1上一点，反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．
①如图1，过E作EC垂直于x轴交x轴于C点，当C点异于A点时，说明△OEF的面积等于四边形ECAF的面积．
②若k＞2，且△OEF的面积为△PEF面积的2倍，请直接写出点E的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
10．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移 个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
（3）在（2）的情况下，连接AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），
①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．
②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣6，5），将A，B两点绕原点O顺时针旋转90°至C，D两点．
（1）请在图1中的坐标系中画出线段CD并直接写出C，D两点的坐标；
（2）以CD为边作▱DCOF交x轴正半轴于F点，若反比例函数y＝的图象经过▱DCOF的顶点C和边DF上的一点E，求E点坐标；
（3）若P是第二问反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与▱DCOF的一边交于点N．设点P的横坐标为a，当＝时，则a的值为 ．
12．如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B 作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y＝ax2+bx﹣3和反比例函数（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．
（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
14．如图，点D在反比例函数y＝（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）
15．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（﹣3，0），（1，0）、（0，4），顶点C在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OC，若点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，且以点P，O，D为顶点的三角形面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
（3）如图2，将▱ABCD从图1的位置开始沿x轴向右平移，反比例函数y＝（x＞0）的图象与折线C﹣D﹣A相交于点E，与BC边相交于点F，过点F作x轴的平行线，交AD边于点G，在▱ABCD沿x轴向右平移的过程中，探究下列问题：
①当四边形ABFG为菱形时，求点A的坐标；
②线段BE，FG能否相等？若能，请直接写出相应的点A的坐标；若不能，请说明理由．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将（2）中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
17．如图1，平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）判断四边形OBAC的形状，并证明；
（2）直接写出反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（3）如图2，将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S．探究下列问题．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求m的值，并直接写出此时S的值；
B：若S＝S△OAB，求m的值；
（4）如图3，连接BC，交AO于点D．点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的一点．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：在x轴上是否存在点Q，使得以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；
B：在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
18．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
19．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
20．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下且a＞0，当t≤x≤t+1时有最小值，求t的值．
21．如图1，反比例函数图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．
2021年广东省深圳市布心中学中考模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先判断出△AEM∽EDN得出ME，EN，AB，再过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．
【解答】解：如图，
过点E作EM⊥y轴于M，交BC延长线于N，
∵∠AME＝∠DNE＝90°，∠AEM＝∠EDN，
∴△AEM∽EDN，
∴①，
设AM＝BN＝m，ME＝n，
∴EN＝MN﹣ME＝3﹣n，DN＝BN﹣BD＝m﹣3，
代入①得，②，
根据勾股定理得，m2+n2＝（3）2③，
由②③得n1＝3，m1＝0（舍），
n2＝2，m2＝5，
∵点A的坐标为（0，4），点D（3，1），
∴DE＝BD＝3，
∴AB＝3，AF＝2，E（2，﹣1）．
过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP＝PH+EH＝DC+EH＝2，
∵∠AFG＝∠ABD＝90°，∠FAG＝∠BAD，
∴△AFG∽△ABD．
∴，
即：＝，
∴FG＝2．
∴EG＝EF﹣FG＝3．
∴点G的纵坐标为2．
∵y＝ax2﹣4ax+10＝a（x﹣2）2+（10﹣20a），
∴此抛物线y＝ax2﹣4ax+10的顶点必在直线x＝2上．
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上．
∴﹣1＜10﹣20a＜2，
∴．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
2．如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质表示出点C的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
平移后的解析式为y＝，可得，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PC＝PA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴＝＝＝，
∴PH＝k，CH＝2，
∴OH＝k﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y＝﹣上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
3．如图，直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段AB为边，在线段AB的左侧作正方形ABCD，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移 或4 个单位长度时，正方形ABCD的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．
【分析】正方形ABCD沿x轴正方向向右平移使一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．只能点A或点D，因此分两种情况进行解答；需要求出点A、D的坐标，可根据正方形的性质、全等三角形得以求出；要想求出向右平移几个单位使点A、D落在图象上，还需求出反比例函数的关系式，因此还需求出点C的坐标，仍可根据正方形性质和全等三角形得证；本题考查正方形的性质，三角形全等，一次函数图象和性质，反比例函数的图象和性质以及将坐标与线段的长的相互转化等知识．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3，∴A（0，3），即OA＝3；
当y＝0时，即0＝﹣3x+3，
∴x＝1，∴B（1，0），即OB＝1；
过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥y轴，垂足为F，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°
又∵CE⊥x轴
∴∠CEB＝90°＝∠AOB，
∴∠ECB+∠CBE＝90°
∴∠ECB＝∠ABO，
∴△AOB≌△BEC （AAS）
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
同理可证△ADF≌△ABO，得DF＝AO＝3，AF＝OB＝1
∴C（﹣2，﹣1）D（﹣3，2）
将C（﹣2，﹣1）代入y＝得：k＝2
∴y＝；
（1）当y＝3时，即3＝，∴x＝，
即当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移个单位，点A落在反比例函数的图象上；
（2）当y＝2时，即2＝，∴x＝1，D沿着x轴向右平移1+3＝4个单位落在反比例的图象上
即当正方形ABCD沿x轴正方向向右平移4个单位，点D落在反比例函数的图象上；
故答案为：或4
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．
【解答】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
5．如图，反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 （2，﹣） ．
【分析】根据待定系数法求得反比例函数的解析式；连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，先由AAS证明△OAM≌△CON，得出OM＝CN，AM＝ON，再由三角形的角平分线性质得出，根据平行线的性质得出比例式：，设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x，根据题意得出方程：x•x＝2，解方程求出CN、ON，即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），
∴k＝﹣1×（﹣2）＝2，
∴反比例函数为y＝，
连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，如图所示：
则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
根据题意得：点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB为斜边，
∴OC⊥AB（三线合一），OC＝AB＝OA，AC＝BC，AB＝BC，
∴∠AOC＝90°，
即∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠OAM＝∠CON，
在△OAM和△CON中，
，
∴△OAM≌△CON（AAS），
∴OM＝CN，AM＝ON，
∵BP平分∠ABC，
由三角形面积公式可得，，
∵AM∥CN，
∴，
设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x，
∵点A在反比例函数y＝上，
∴OM•AM＝2，
即x•x＝2，
解得：x＝，
∴CN＝，ON＝2，
∴点C的坐标为：（2，﹣）；
故答案为：（2，﹣）．
6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为．其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ ．
【分析】①由折叠直接得到结论；
②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；
③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE＝CQ，得到S△PCQ＝CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD＝CF，即可；
④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．
⑤当D，C，Q共线时，可以证明∠PQB＝90°，求出此时AD的值即可．
【解答】解：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP＝CD＝CQ．故①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，
∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°，
∴∠PCQ的大小不变．故②正确；
③如图1中，
过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ＝120°，
∴∠QCE＝60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE＝，
∴QE＝CQ×sin∠QCE＝CQ×sin60°＝CQ，
∵CP＝CD＝CQ
∴S△PCQ＝CP×QE＝CP×CQ＝CD2，
∴CD最短时，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴CF＝BC＝2，
即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小＝CD2＝×22＝，故③错误，
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AD，∠ADP＝60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，
∴∠PDQ＝60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD＝BD，
∴PD＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形．故④正确，
⑤如图2中，
当D，C，Q共线时，∵BQ＝BD，∠QBD＝60°，
∴△BDQ是等边三角形，
∴∠QDB＝∠PAD＝60°，
∴PA∥DQ，
∴∠ACD＝∠PAC＝∠CAD＝30°，
∴PA＝AD＝CD＝PC，
∴四边形ADCP是菱形，
∴PA＝CD＝CQ，
∴四边形APQC是平行四边形，
∴∠PQC＝∠PAC＝30°，
∴∠PQB＝90°，
过点C作CF⊥AB于F，则AF＝FB＝BC•cos30°＝2，
∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°，
∴BD＝2CD＝2AD，
∴AD＝AB＝，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
三．解答题（共15小题）
7．如图，点A（m，4），B （﹣4，n）在反比例函数（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D
（1）若m＝2，完成下列填空
①n＝ ﹣2 ，k＝ 8
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为 y＝+3
③若正比例函数y＝ax（a＞0）与反比例函数y＝交于点M、N，以MN为斜边作等腰Rt△EMN，则点E所在的图象的函数解析式为 y＝﹣
（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝1，求点O到直线AB的距离．
【分析】（1）①根据点A坐标，利用待定系数法求出k，再求出B的坐标即可；
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y＝+3；
③如图1中，作MP⊥y轴于P．EQ⊥x轴于Q．由△OPM≌△OQE，推出S△OPM＝S△OEQ＝4，设点E坐标为（x，y），可得x（﹣y）＝4，即y＝﹣；
（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图2，在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝，而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，所以 +＝1，又m+n＝0，于是可解得m＝2，n＝﹣2，从而得到A（2，4），B（﹣4，﹣2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式，求出C、D坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）①∵A（2，4），
∴4＝，
∴k＝8，
∵B（﹣4，n）在y＝上，
∴n＝﹣2，
故答案为﹣2，8．
②将反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y＝+3．
故答案为y＝+3．
③如图1中，作MP⊥y轴于P．EQ⊥x轴于Q．
易知△OPM≌△OQE，
∴S△OPM＝S△OEQ＝4，设点E坐标为（x，y），
∴x（﹣y）＝4，
∴y＝﹣，
故答案为y＝﹣．
（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图2中，
在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，
在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝，
而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，
所以 +＝1，
而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2，
则A（2，4），B（﹣4，﹣2），
设直线AB的解析式为y＝px+q，
把A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入得 ，解得 ，
所以直线AB的解析式为y＝x+2．
∴C（﹣1，0），D（0，1），CD＝，
∴点O到直线AB的距离＝．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l1相交于P．点E为直线l1上一点，反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．
①如图1，过E作EC垂直于x轴交x轴于C点，当C点异于A点时，说明△OEF的面积等于四边形ECAF的面积．
②若k＞2，且△OEF的面积为△PEF面积的2倍，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）把点P（1，2）代入y＝即可解决问题．
（2）①根据S△OEF＝S四边形OEFA﹣S△OFA＝S△EOC+S四边形ECAF﹣S△FOA，因为S△EOC＝S△FOA，由此即可解决问题．
②如图2中，作EM⊥OA于M，利用①结论列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
由题意点P坐标（1，2），
当E、P重合时，P（1，2）代入y＝得k＝2．
（2）①∵S△OEF＝S四边形OEFA﹣S△OFA
＝S△EOC+S四边形ECAF﹣S△FOA，
∵S△EOC＝S△FOA，
∴S△EOF＝S四边形ECAF．
②如图2中，作EM⊥OA于M．
设点E坐标（m，2）．∵S△OEF＝2S△PEF，
∴S四边形FAME＝2S△PEF，
∴（2+2m）（m﹣1）＝2×（m﹣1）（2m﹣2），
∴m＝3或1，
∵k＞2，m＝1不合题意，
∴m＝3，
∴点E坐标（3，2）．
9．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则，即可求解；
（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；
（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，
∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，
如图1，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，
∴，
∵OC＝2，
∴OE＝3，∴；
（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，
∴，
∴，
∵A，D在同一反比例函数上，
∴，
解得：m＝1，
∴OC＝1；
（3）由（2）得：∴，
∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，
∴，
∵D1在反比例函数上，
∴
同理：，，
∴，
∴，
∵xP＝xA＝﹣3，P在反比例函数上，
∴，
①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，
过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，
过点D作DG⊥l1，
则△A1PF∽△PDG，
，
解得：；
②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，
过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，
则△A1DH∽△DPG，
，，
解得：k＝0（舍），
综上：存在．
10．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移 3 个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
（3）在（2）的情况下，连接AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），
①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．
②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC，再由全等三角形的性质可求出OE的长，进而得出C点坐标．把点坐标代入反比例函数y＝即可得出其解析式；
（2）根据A（0，4）可知OA＝4，再把y＝4代入反比例函数的解析式求出x的值即可；
（3）①先根据点A与点Q关于原点对称，再根据勾股定理求出AQ的长，由矩形的对角线相等即可得出P点坐标；
②设P（x，0），再根据△AOF∽△PAF与△AOF∽△APF两种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）如图1所示，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠AOB＝∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠EBC＝90°，
又∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝OA＝4，CE＝OB＝2，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴点C的坐标为（6，2）．
将C（6，2）代入y＝，得 2＝，解得 k＝12，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）∵A（0，4），
∴OA＝4，
当y＝4时，x＝＝3，
∴将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：3；
（3）①当点P的坐标为（﹣5，0）时，四边形ABQP是矩形．
理由如下：
∵由（2）知A（3，4），B（5，0），双曲线上各点关于原点对称，
∴点A与点Q关于原点对称，
∴Q（﹣3，﹣4），
∴AO＝AQ＝＝5，
又∵PO＝OB＝5，
∴四边形ABQP是平行四边形，
又∵PB＝AQ＝10，
∴四边形ABQP是矩形；
②∵A（3，4），F（3，0），
∴OA＝5，
设P（x，0），
当△AOF∽△PAF时，＝，即＝，解得x＝﹣或x＝，
∴P（﹣，0）或（，0）；
当△AOF∽△APF时，
∵AF＝AF，
∴OF＝PF，
∴P（6，0），
故点P的坐标为（﹣，0）或（，0）或（6，0）．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣6，5），将A，B两点绕原点O顺时针旋转90°至C，D两点．
（1）请在图1中的坐标系中画出线段CD并直接写出C，D两点的坐标；
（2）以CD为边作▱DCOF交x轴正半轴于F点，若反比例函数y＝的图象经过▱DCOF的顶点C和边DF上的一点E，求E点坐标；
（3）若P是第二问反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与▱DCOF的一边交于点N．设点P的横坐标为a，当＝时，则a的值为 或或或 ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质和待定系数法求函数的解析式即可得到结论；
（3）根据平行四边形的性质和双曲线的性质，确定出PM，PN即可．
【解答】解：（1）如图1，C（2，6），D（5，6）；
（2）∵反比例函数y＝的图象经过▱DCOF的顶点C，
∴6＝，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵四边形DCOF是平行四边形，
∴OF＝CD＝3，
∴F（3，0），
∴直线DF的解析式为：y＝3x﹣9，
∵点E在边DF上，
∴解得，，（不合题意舍去），
∴E（4，3）
（3）①如图2，点N在OC上，
∵C（2，6）．
即0＜t＜2，
直线OC的解析式为y＝3x，
设点P的横坐标为a，
∴P（a，），
∵过点P作直线l⊥x轴于点M．
∴N（a，3at），M（a，0），
∴PN＝﹣3a，PM＝，
∵＝，
∴＝，
∴a＝或a＝﹣（舍），
②如图3，
当点N在CD上时，
∵B（5，6），
∴2≤t≤5，
由题意知，P（a，）．N（a，6），M（a，0），
∵＝时，
∴4（6﹣）＝
∴a＝
③如图5，5，
当点N在DF上时，（3＜t≤5）
∵D（5，6），F（3，0），
∴直线DF解析式为y＝3x﹣9，
∴P（a，），N（a，3a﹣9），M（a，0），
∵＝，
∴4|﹣3a+9|＝，
∴a＝或a＝（舍）或a＝或a＝（舍）
∴a的值为，，或．
故答案为：或或或．
12．如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B 作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y＝ax2+bx﹣3和反比例函数（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．
（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
【分析】（1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义可求出k，从而可求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，由此可求出对称轴方程；
（2）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2，易证BC∥OA，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ＝AB，只需QE＝AD＝1，由此即可求出t的值；②如图2，易证△MFP≌△MGQ，则有MF＝MG，从而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四边形ABPQ，并运用割补法就可得到S关于t的函数解析式，然后只需利用该函数的增减性就可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，
∵四边形OCBD的面积是6，
∴k＝xy＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点B（2，m），
∴2m＝﹣6，
解得m＝﹣3．
∴B（2，﹣3）．
将点A（3，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，得
解得：，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
则抛物线的对称轴为x＝﹣＝1；
（2）①由题意可知：BP＝OQ＝0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ＝AB．
即QE＝AD＝1．
又QE＝OE﹣OQ＝（2﹣0.1t）﹣0.1t＝2﹣0.2t，
∴2﹣0.2t＝1．
解得t＝5，
∴当t＝5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC、x轴的交点分别为F、G，如图2．
∵对称轴x＝1是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF＝OG＝1．
又∵BP＝OQ，
∴PF＝QG．
∵BC∥OA，
∴∠GQM＝∠FPM．
在△MFP和△MGQ中，
∴△MFP≌△MGQ，
∴MF＝MG，
∴S△BPN＝PB•MF═PB•FG
＝×0.1t×
＝t．
∵S四边形ABPQ＝（BP+AQ）•FG
＝（0.1t+3﹣0.1t）•3
＝，
∴S＝S四边形ABPQ﹣S△BPN
＝﹣t．
∵BC＝2，OA＝3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要2÷0.1＝20秒，
∴0≤t≤20．
∵﹣＜0，
∴当t＝20秒时，面积S有最小值3．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OB，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
14．如图，点D在反比例函数y＝（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）
【分析】（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，由三角形ODC为等腰直角三角形，利用三线合一得到G为OC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DG与OG的长，确定出D坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将B的横坐标1代入反比例解析式中求出y的值，确定出B的纵坐标，由折叠的性质得到△BOA′≌△BOA，即为BA与BA′的长相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形对应边相等得到A′F＝EF，由OE＝EF+OF＝4，得到A′F+OF＝4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2＝OF2，设OF＝x，则A′F＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF的长，进而得出F的坐标，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，将B与F的坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线A′B的解析式；
（3）满足题意的P点有三个位置，如图所示，四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，由题意得出△FA′O∽△OMA′，由相似得比例求出A′M与OM的长，确定出A′的坐标，根据平行四边形的对边相等得到A′P1＝OA＝1，确定出P1的坐标，由A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），利用线段中点坐标公式求出P2与P3的坐标．
【解答】解：（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，
∵△ODC为等腰直角三角形，
∴G为OC的中点，即DG为斜边上的中线，
∴DG＝OG＝OC＝2，
∴D（2，2），
代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，
则反比例解析式为y＝；
（2）∵点B是y＝上一点，B的横坐标为1，
∴y＝＝4，
∴B（1，4），
由折叠可知：△BOA′≌△BOA，
∵OA＝1，AB＝4，
∴BE＝A′O＝1，OE＝BA′＝4，
又∵∠OAB＝90°，∠A′FO＝∠BFE，
∴∠BA′O＝∠OEB＝90°，
∴△OA′F≌△BFE（AAS），
∴A′F＝EF，
∵OE＝EF+OF＝4，
∴A′F+OF＝4，
在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′2+A′F2＝OF2，
设OF＝x，则A′F＝4﹣x，
∴12+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴OF＝，即F（0，），
设直线BA′解析式为y＝kx+b，
将B（1，4）与F（0，）坐标代入得：，
解得：，
则线BA′解析式为y＝x+；
（3）如图所示：四边形AOA′P1，四边形AA′P2O，四边形AA′OP3都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，
∵∠A′OM+∠A′OF＝90°，∠A′OM+∠MA′O＝90°，
∴∠A′OF＝∠MA′O，
∵∠A′MO＝∠FA′O＝90°，
∴△FA′O∽△OMA′，
∴＝，即＝，
∴OM＝，根据勾股定理得：OM＝，
∴A′（﹣，），
∵A′P1＝OA＝1，
∴P1（，），
∵A′、A分别为P1P2、P1P3的中点，A（1，0），
∴P2（﹣，），P3（，﹣）．
15．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（﹣3，0），（1，0）、（0，4），顶点C在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OC，若点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，且以点P，O，D为顶点的三角形面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
（3）如图2，将▱ABCD从图1的位置开始沿x轴向右平移，反比例函数y＝（x＞0）的图象与折线C﹣D﹣A相交于点E，与BC边相交于点F，过点F作x轴的平行线，交AD边于点G，在▱ABCD沿x轴向右平移的过程中，探究下列问题：
①当四边形ABFG为菱形时，求点A的坐标；
②线段BE，FG能否相等？若能，请直接写出相应的点A的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先求出△OBC的面积，根据△POD与△OBC的面积相等，先求出点P的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标；
（3）①作CM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，作HK⊥x轴于K，求出KN的长度即可确定▱ABCD向右平移的距离，得出点A的坐标；
②当BE＝FG＝4时，A与原点O重合．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（1，0）、D（0，4），四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝＝5，
∴C（4，4），
把点C（4，4）代入y＝，
得：k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设点P（a，b），
∵OB＝1，OD＝4，
∴S△OBC＝，1×4＝2，S△POD＝×4×a＝2，
∴a＝1，
∵ab＝16，
∴b＝16，
∴P（1，16）；
（3）①如图所示：
当四边形ABFG为菱形时，BF＝AB＝FG＝4，点E坐标为（4，4），
作CM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，作HK⊥x轴于K，则CM∥FN，
∴，即，
∴FN﹣，
∵点F在函数y＝的图象上，
∴ON＝5，
∴F（5，），
∴HK＝，
∵HB1＝FB＝4，KB1＝＝，
∴KN＝5﹣1﹣＝，即▱ABCD向右平移了个单位长度，3﹣＝，
∴点A的坐标为（﹣，0）；
②线段BE，FG能相等；
根据题意得：当BE＝FG＝4时，BE⊥x轴，
∵C（4，4），
∴A与原点O重合，坐标为（0，0）．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将（2）中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题；
（2）设OB＝a，则点A的坐标（a，2），由题意CE＝1．DE＝，可得D（3+a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a＝（3+a），清楚a即可；
（3）分两种情形：①如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．
②如图2中，利用勾股定理的逆定理，构建方程分别求解；
【解答】解：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．
∵∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
根据对称性可知：DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CDE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝1，DE＝，
∴OE＝OB+BC+CE＝5，
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB＝a，则点A的坐标（a，2），
由题意CE＝1．DE＝，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a＝（3+a），
∴a＝3，
∴OB＝3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝2，
∴AA1＝＝4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°，
∴PA＝，
∴PB＝，
由（2）可知P（3，），
∴k＝10．
②如图2中，由题意D（6，），设P（3，），A1（3+h，2），D1（6+h，），
则PD2＝32+（﹣）2，DA12＝（3﹣h）2+（）2，PA12＝h2+（﹣2）2，
当∠PA1D＝90°时，32+（﹣）2＝（3﹣h）2+（）2+h2+（﹣2）2，
又∵（6+h）＝3，
可得k＝10，
当∠PDA1＝90°时，同法可得k＝12，
综上所述，k的值为10或12．
17．如图1，平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）判断四边形OBAC的形状，并证明；
（2）直接写出反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（3）如图2，将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S．探究下列问题．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求m的值，并直接写出此时S的值；
B：若S＝S△OAB，求m的值；
（4）如图3，连接BC，交AO于点D．点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的一点．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：在x轴上是否存在点Q，使得以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；
B：在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）如图1，过点A作AE⊥OB于E，由勾股定理可求AB＝OB＝5，由折叠的性质可得AB＝AC，BO＝CO，可证四边形ABOC是菱形；
（2）由菱形的性质可求点C坐标，即可求解；
（3）A：先求m的值，通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；
B：通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；
（4）A：分OD为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；
B：分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：（1）四边形ABOC是菱形，
理由如下：如图1，过点A作AE⊥OB于E，
∵A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0），且AE⊥BO，
∴BO＝5，BE＝3，AE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴AB＝BO，
∵将△OAB沿OA翻折，
∴AB＝AC，BO＝CO，
∴AB＝AC＝BO＝CO，
∴四边形ABOC是菱形；
（2）∵四边形ABOC是菱形，
∴AC∥BO，且A点坐标（﹣2，4），AC＝AB＝5，
∴点C（3，4）
∵点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数表达式为y＝；
（3）A：∵将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，
∴点B'的横坐标为﹣5，
∴y＝﹣，
∴m＝，
连接AA'，并延长AA'交BO于点E，
∴AE＝4，AA'＝，
∴A'E＝，
∵S△ABO＝×5×4＝10，且将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，
∴S△A'B'O'＝10，
∵BO∥B'O'，
∴△ANP∽△A'B'O'，
∴＝（）2，
∴S＝10×＝；
B：∵BO∥B'O'，
∴△ANP∽△A'B'O'，
∴＝（）2＝
∴m＝4﹣2；
（4）A：∵四边形ABOC是菱形，
∴AD＝OD，
∵A（﹣2，4），点O（0，0），
∴点D（﹣1，2），
若OD为边，则点P在纵坐标为2或﹣2，
∴y＝＝6或y＝＝﹣6，
∴点P（6，2）或（﹣6，﹣2），
如图3，当P（6，2）时，
∵四边形ODPQ是平行四边形，
∴DP＝OQ＝7，
∴点Q（7，0），
如图4，当P（﹣6，﹣2）时，
∵四边形ODQP是平行四边形，
∴OQ与PD互相平分，
∴点H（﹣，0）
∴点Q（﹣7，0），
若DO为对角线，
∵四边形QOPD是平行四边形，
∴PQ与OD互相平分，
∵OD中点坐标（﹣，1）
∴点P纵坐标为2，
∴点P坐标为（6，2）
∴点Q坐标为（﹣7，0）
综上所述：当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，当点P（﹣6，﹣2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；
B：若以AO为对角线，在坐标平面内不存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形；
若以AO为边，如图5，过点Q作QE⊥AC于E，过点P作HP⊥BO于H，
∵A点坐标（﹣2，4），点O坐标（0，0），
∴直线AO解析式为：y＝﹣2x，
∵以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形，
当∠AOP＝90°，
∴直线OP解析式为：y＝x，
直线AQ解析式为：y＝x+5，
∴
∴
∴点P（2，）或（﹣2，﹣），
∴OH＝2，PH＝，
∵四边形AOPQ是矩形，
∴AQ＝OP，AQ∥OP，
∴∠QAO＝∠AOP＝90°，
∵AC∥BO，
∴∠CAO+∠AOH＝180°，
∴90°﹣∠QAE+90°+∠POH＝180°，
∴∠QAE＝∠POH，且AQ＝OP，∠QEA＝∠PHO＝90°，
∴△AQE≌△OPH（AAS）
∴QE＝PH＝，AE＝OH＝2，
∴点Q（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣），
当∠P'AO＝90°，同理可求点Q（4，2）或（﹣10，﹣5）；
综上所述：当点Q（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣）或（4，2）或（﹣10，﹣5）时，以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形．
18．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
【分析】问题背景
由等边三角形的性质得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，证得△ACD≌△AEB（SAS），由旋转的概念可得出答案；
尝试应用
证明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性质得出BF＝DF，则可得出答案；
拓展创新
过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE的长，则可得出答案．
【解答】问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC＝90°，PA＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠PAE＝∠CAD，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
当且仅当P、E、B三点共线时取等号，
∴BP的最大值为+1．
19．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2和DE2，变形后可得当a＝x时，有最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵AF2＝CG•CD，
∴＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE＝＝，
Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF＝，
∴EF＝﹣＝，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴＝，
∵MN＝DE＝，
∴FN＝，
∴S△CEF＝＝＝；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝x，EH＝x，
∴DH＝a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a﹣x）2+（x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝a，AN＝a，
∴CN＝BC﹣BN＝a，
∴EN＝EC+CN＝a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（a）2+（a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴＝＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣（a＞0，x＞0），
∴当＝时，即x＝a时，有最小值，
则此时＝1﹣＝，
∴＝．
20．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下且a＞0，当t≤x≤t+1时有最小值，求t的值．
【分析】（1）由对称轴公式即可求解；
（2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
（3）分t＜1，t＞2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝2；
（2）该二次函数的图象经过点（1，3），
∴a﹣4a+3+b＝3，
∴b＝3a，
把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，
得4＜a+3|a|＜9．
当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜，
而a为整数，
∴a＝2，则b＝6，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；
当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则﹣＜a＜﹣2．
而a为整数，
∴a＝﹣3或﹣4，
则对应的b＝﹣9或﹣12，
∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；
（3）∵a＞0，
则函数表达式为y＝2x2﹣8x+9＝2（x﹣2）2+1，
则函数顶点坐标为（2，1），开口向上，
当t+1＜2，即t＜1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x＝t+1时，y有最小值，
即2（t+1﹣2）2+1＝，
解得：t＝或t＝（舍）；
当t＞2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x＝t时，y有最小值，
即2（t﹣2）2+1＝，
解得：t＝（舍）或t＝；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为或．
21．如图1，反比例函数图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．
【分析】（1）由△OAB为等边三角形及OA＝2，可得出OM，BM的长，进而可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；
（2）过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通过解直角三角形可求出AC，CM′的长，进而可得出OC的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数图象与直线CM′交点的纵坐标，将其与点M′的纵坐标比较后即可得出结论；
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，进而可得出点B1的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出MD，B1D，AD的长，再结合＝﹣S△BMA﹣即可求出△ABB1的面积．
【解答】解：（1）∵△OAB为等边三角形，OA＝2，
∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，
∴点B的坐标为（1，）．
∵反比例函数图象经过点B，
∴k＝．
（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下：
过点M′作M′C⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．
由折叠的性质，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，
∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．
在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，
∴∠AM′C＝30°，
∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．
∴OC＝OA+AC＝，
∴点M′的坐标为（，）．
当x＝时，y＝＝，
∵＜，
∴该反比例函数图象是从点M'的下方经过．
（3）过点B1作B1D⊥x轴，垂足为点D，如图2所示．
设AA1＝a，则AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，
∴点B1的坐标为（2+a，a）．
∵点B1在该反比例函数y＝的图象上，
∴（2+a）•a＝，
解得：a1＝﹣2﹣2（舍去），a2＝2﹣2，
∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝﹣，AD＝a＝﹣1，
∴＝﹣S△BMA﹣，
＝（BM+B1D）•MD﹣BM•AM﹣B1D•AD，
＝（+﹣）×﹣××1﹣×（﹣）×（﹣1），
＝﹣．
相关试卷
广东省深圳市布心中学2021-2022学年七年级下学期期末数学夺分训练试卷(含答案)： 这是一份广东省深圳市布心中学2021-2022学年七年级下学期期末数学夺分训练试卷(含答案)，共7页。试卷主要包含了单选题，三月份共生产980台.设二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市罗芳中学中考数学全真模拟试卷含解析： 这是一份2022年广东省深圳市罗芳中学中考数学全真模拟试卷含解析，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列各组数中，互为相反数的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳中学中考数学模拟精编试卷含解析： 这是一份2021-2022学年广东省深圳中学中考数学模拟精编试卷含解析，共22页。试卷主要包含了下列运算正确的是，计算3的结果是，的倒数是等内容，欢迎下载使用。
