人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力5 共点力的平衡当堂达标检测题

5．共点力的平衡

一、平衡状态：

1．物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。

2．特例：

(1)足球静止靠在墙上    (2)小球静止在斜面上

(3)小球1、2处于静止    (4)在力F作用下沿斜面匀速上滑的物块

二、共点力平衡的条件：

　在共点力的作用下物体平衡时，满足的条件是合力为0。

如图斧子、酒瓶处于静止状态，它们的加速度如何？

提示：加速度为零。

①某时刻物体的速度为零时，物体一定处于平衡状态。

②物体只有在不受力作用时才能保持平衡状态。

③沿光滑斜面下滑的物体处于平衡状态。

④物体所受合力为零时，就一定处于平衡状态。

⑤加速度为零时，物体一定处于平衡状态。

你的判断：正确的结论有④⑤。

如图是手机静止吸附在支架上。这款手机支架其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上。

思考：若手机的重力为G，支架与水平方向的夹角为60°，求手机支架对手机的作用力。

【解析】手机处于静止状态，手机受到竖直向下的重力和纳米材料的作用力(支持力、吸引力和摩擦力的合力)，故纳米材料对手机的作用力竖直向上，大小等于G。

答案：大小等于G，方向竖直向上

一、力的正交分解法(科学思维——科学推理)

人对箱子的拉力在水平方向和竖直方向如何分解？

提示：分解为水平方向的F2和竖直方向的F1。

1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。

2．坐标轴的选取原则：

(1)使尽量多的力处在坐标轴上；

(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零。

3．适用情况：物体受三个或三个以上共点力的合力情况。

4．优点：

(1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述；

(2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单且容易求解；

(3)分解多个力时，可将矢量运算化为代数运算。

5．步骤：

(1)建坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系。

(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。

(3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和。(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即：Fx＝F1x＋F2x…；

Fy＝F1y＋F2y…。

(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝。

【典例】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。(cos37°＝0.8，sin37°＝0.6)

【解析】如图甲所示，建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27 N。因此，如图乙所示，合力为F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1。即合力的大小约为38.2 N，方向与F1的夹角为45°斜向上。

答案：38.2 N，方向与F1的夹角为45°斜向上

1.如图所示，将一个大小为6 N的力F沿相互垂直的x轴和y轴分解。已知力F与x轴的夹角θ＝60°，则力F在x轴上的分力Fx的大小为(　　)

A．2 N　　　　　　　  B．3 N

C．6 N         D．12 N

【解析】选B。将一个大小为6 N的力F沿相互垂直的x轴和y轴分解。力F与x轴的夹角θ＝60°，则力F在x轴上的分力Fx的大小为：Fx＝F cos 60°＝6× N＝3 N，故A、C、D错误，B正确。

2.(2021·湖州高一检测)放在倾角为θ的粗糙斜面上的木块，质量为m，处于静止状态，求木块所受的支持力大小和摩擦力大小？

【解析】木块受重力G，支持力N和摩擦力f，将坐标轴建立在平行于斜面和垂直于斜面的方向上，如图：由于支持力和摩擦力都在坐标轴上，因此不需要进行分解，只需将不在坐标轴上的重力进行分解，得分力与重力的关系是：G1＝mg sin θ　　G2＝mg cos θ

由平衡条件知：f＝G1＝mg sin θ，N＝G2＝mg cos θ

答案：N＝mg cos θ　f＝mg sin θ

【拔高题组】

1.如图所示，质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平向左的力F拉着绳上的点O，使AO与竖直方向的夹角为θ，物体处于平衡状态，则拉力F的大小为(　　)

A．F＝mg sin θ　　　 　 B．F＝mg tan θ

C．F＝       D．F＝

【解析】选B。

以结点O为研究对象，受力分析如图所示。由题可知，竖直绳的张力等于mg，保持不变；根据平衡条件可知FTcos θ－mg＝0，FTsin θ－F＝0，由此两式可得F＝mg tan θ，选项B正确。

2．一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100 N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20 N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动，求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力。

【解析】物体沿斜面向上运动时受力分析如图甲所示。

由共点力的平衡条件得

x轴：F1－Ff1－mg sin α＝0，

y轴：mg cos α－FN1＝0

又Ff1＝μFN1

物体沿斜面向下运动时受力分析如图乙所示。

由共点力的平衡条件得

x轴：Ff2－F2－mg sin α＝0，

y轴：mg cos α－FN2＝0

又Ff2＝μFN2，Ff1＝Ff2＝Ff

以上各式联立得：

Ff1＝Ff2＝Ff＝

代入数据得：Ff＝ N＝60 N，

mg sin α＝40 N

当不施加此力时，物体受重力沿斜面向下的分力

mg sin α<Ff

故物体静止在斜面上，受到的静摩擦力

Ff′＝mg sin α＝40 N

答案：40 N

二、物体的静态平衡(科学思维——科学推理)

静止的石头、匀速电梯上站立的人所受合力相等吗？

提示：相等。

1．两种平衡情形：

(1)物体在共点力作用下处于静止状态。

(2)物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态。

2．两种平衡条件的表达式：

(1)F合＝0。

(2)

其中Fx合和Fy合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力。

3．由平衡条件得出的三个结论：

4．共点力平衡问题的常见处理方法：

【典例】(一题多解)如图所示，在一细绳C点系住一重物P，细绳两端A、B分别固定在墙上，使AC保持水平，BC与水平方向成30°角，已知细绳最多只能承受200 N的拉力，那么C点悬挂重物的重力最多为多少？这时细绳的哪一段即将拉断？

【解析】法一：力的合成法

C点受三个力的作用处于平衡状态，如图甲所示，可得出F1与F2的合力F合方向竖直向上，大小等于F，由三角函数关系可得出

F合＝F1sin 30°＝F＝mPg　F2＝F1cos 30°

当F1达到最大值200 N时，mPg＝100 N，F2≈173 N，在此条件下，BC段绳子即将断裂，AC段绳的拉力F2还未达到最大值，故C点悬挂重物的重力最多为100 N，这时BC段绳子即将拉断。

法二：正交分解法

如图乙所示，将拉力F1分解，根据物体受力平衡可得

F1sin 30°＝F＝mPg，F2＝F1cos 30°

后面的分析过程同法一。

答案：100 N　BC段细绳即将拉断

受力平衡问题的处理方法

(1)当物体受到三个共点力的作用而平衡时，一般利用力的合成和分解，构建矢量三角形，常用的方法有图解法和相似三角形法。

(2)当物体所受到的力超过三个时，一般采用正交分解法。

1．(2020·浙江7月选考)如图是“中国天眼”500 m口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为mg、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉，若将人视为质点，此时工作人员(　　)

A.受到的重力大小为mg

B．受到的合力大小为mg

C．对球面的压力大小为mg

D．对球面的作用力大小为mg

【解析】选D。人受到的重力大小仍为mg，选项A错误。因人在球面上缓慢移动，所以合外力应该为零。根据题意，人的受力分析如图：

人对球面的压力应该小于，选项C错误。根据共点力的平衡，人对球面的作用力(支持力、静摩擦力的合外力)应该等于，选项D正确。

2.(2021·杭州高一检测)如图所示，倾角为θ的斜面静止在水平地面上，某时刻起当把斜面的倾角θ角缓慢增大，在手机相对斜面仍然静止的过程中，则(　　)

A．手机受到的合外力增大

B．手机受到的支持力不变

C．手机受到的摩擦力增大

D．斜面对手机的作用力增大

【解析】选C。设手机的质量为m，手机始终处于静止状态，所受合外力始终等于0，因此A错误；手机受到的支持力FN＝mg cos θ随倾角θ角缓慢增大，支持力逐渐减小，B错误；手机受到的静摩擦力f＝mg sin θ随倾角θ角缓慢增大，摩擦力逐渐增大，C正确；斜面对手机的作用力大小始终等于手机的重力，随倾角θ角缓慢增大，斜面对手机的作用力保持不变，D错误。

【拔高题组】

1.如图为某城市雕塑的一部分。将光滑的球放置在竖直的高挡板AB与竖直的矮挡板CD之间，C与AB挡板的距离小于球的直径。由于长时间作用，CD挡板的C端略向右偏移了少许。则与C端未偏移时相比，下列说法中正确的是(　　)

A．AB挡板的支持力变小，C端的支持力变小

B．AB挡板的支持力变小，C端的支持力变大

C．AB挡板的支持力变大，C端的支持力变大

D．AB挡板的支持力变大，C端的支持力变小

【解析】选C。

以球为研究对象，受到重力、AB挡板的支持力、C的支持力，如图所示；根据平衡条件可得：AB挡板的支持力F＝mg tan θ，C端的支持力大小FC＝FC′＝；CD挡板的C端略向右偏，θ角增大，则AB挡板的支持力变大，C端的支持力变大，故C正确、A、B、D错误。

2.如图，光滑金属球的重力G＝40 N。它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角θ＝37°的斜面体上。已知斜面体处于水平地面上保持静止状态，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：

(1)墙壁对金属球的弹力大小；

(2)水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向。

【解析】(1)金属球静止，则它受到的三个力平衡(如图所示)。

由平衡条件可得墙壁对金属球的弹力为

FN1＝G tan θ＝40tan 37°＝30 N

(2)斜面体对金属球的弹力为

FN2＝＝50 N

由牛顿第三定律可知，金属球对斜面体的压力大小F′N2＝FN2＝50 N

由斜面体平衡可知地面对斜面体的摩擦力大小为Ff＝F′N2sin37°＝30 N

摩擦力的方向向左。

答案：(1)30 N　(2)30 N　方向向左

三、物体的动态平衡(科学思维——科学推理)

1．动态平衡：

(1)所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。

(2)基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。

2．分析动态平衡问题的方法：

【典例】(多选)如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端的位置不变，将B端分别移动到不同的位置，下列判断正确的是(　　)

A．B端移动到B1位置时，绳子张力不变

B．B端移动到B2位置时，绳子张力不变

C．B端在杆上位置不变，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大

D．B端在杆上位置不变，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小

【解析】选A、B、D。以悬挂点为研究对象，画出受力分析图如图所示。由于两侧绳子的拉力大小相等，可以推知两侧绳子与竖直方向的夹角θ相等。由平衡条件得2F cos θ＝F1＝mg，设绳长为L，左、右两侧绳长为L1、L2，两杆之间的宽度为d，所以L1sin θ＋L2sin θ＝d，则sin θ＝＝，由此可见，θ只由d、L决定，与其他因素无关，F的大小与绳子在B1、B2的位置无关，选项A、B正确；将杆移动到虚线位置时，d变小，θ变小，绳子张力变小，选项D正确。

1.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间；设墙面对球的支持力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2；以木板与墙的连接处为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中(　　)

A．FN1始终减小，FN2始终增大

B．FN1始终减小，FN2始终减小

C．FN1先增大后减小，FN2始终减小

D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大

【解析】选B。

对小球受力分析如图所示，缓慢转动木板，可认为小球在任意位置受力平衡，以FN1的方向为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立坐标系，设木板与墙面的夹角为θ，则将木板对球的支持力FN沿两坐标轴分解并根据共点力的平衡条件，得FNsinθ＝mg，FNcosθ＝FN1，所以FN＝，FN1＝mg cot θ。球对木板的压力大小等于木板对球的支持力大小，即FN2＝FN，当木板向下转动时，θ角增大，则FN2减小，FN1减小，故选项B正确。

2.(多选)半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中(　　)

A．MN对Q的弹力逐渐增大

B．地面对P的摩擦力逐渐增大

C．P、Q间的弹力先减小后增大

D．Q所受的合力逐渐增大

【解析】选A、B。

对小圆柱体Q受力分析如图所示，P对Q的弹力为F，MN对Q的弹力为FN，挡板MN向右运动时，F和竖直方向的夹角逐渐增大，而小圆柱体所受重力大小不变，所以F和FN的合力大小不变，故选项D错误；由图可知，F和FN都在不断增大，故选项C错误，A正确；对P、Q整体受力分析知，地面对P的摩擦力大小就等于FN，所以地面对P的摩擦力也逐渐增大，故选项B正确。

【拓展例题】考查内容：相似三角形

【典例】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是(　　)

A．FN先减小，后增大

B．FN始终不变

C．F先减小，后增大

D．F始终不变

【解析】选B。以B点为研究对象，它受三个力的作用而处于动态平衡状态，下端绳子的弹力等于悬挂重物的重力mg，还有斜绳AB上的弹力F，由于O点是光滑铰链，因此杆施加的弹力FN沿着杆，根据图形的标量三角形和力的矢量三角形相似，可得比例＝＝，其中OA、OB长度不变，AB逐渐减小，重力mg大小不变，可知F逐渐减小，FN不变，选项B正确。

平衡鹰原理

平衡鹰也叫平衡老鹰或金字塔平衡鹰，它是一种塑料摆件，实际上它的原理和不倒翁大同小异。平衡鹰原理如下：

1．老鹰身体是塑料的，而老鹰嘴部含铁块，这样老鹰嘴部所占整体重量比较大，塔尖有个小小的凹槽，一边支撑鹰体，一边适应鹰嘴滑动。

2．老鹰向前展开的两个对称翅膀和向后翘起的尾部这三部分以一定的角度使得老鹰的重心集中在鹰嘴部位。

3．同样在重力作用和杠杆原理下，我们把塔尖凹槽中心当作支撑点，由于支点和重心距离非常接近，这样支点和重心的力臂就非常微小，力臂长度就不会超出凹槽的支撑范围之外，塔顶的支撑力便可完全支撑重力和杠杆作用力，这样轻轻动一下老鹰，老鹰便和不倒翁一样在塔顶摇晃不掉落，直到完全静止。老鹰的重心和支撑点一定要在同一个点上吗？

提示：不一定，重心和支撑点在一个竖直线上即可。

1．(水平1)生活中电工师傅经常会爬上梯子对电路进行检修，如图所示。假设电工师傅在梯子上是匀速运动的，则梯子对电工师傅的作用力方向(　　)

A．竖直向下

B．竖直向上

C．平行梯子向上

D．垂直梯子向上

【解析】选B。电工师傅匀速爬行，则为平衡状态，合力为零，电工师傅在竖直方向只受到重力和梯子的作用力，重力竖直向下，故梯子对电工师傅的作用力与重力平衡，方向竖直向上。

2.(水平2)(2021·金华高一检测)如图所示，一质量为m的木块靠在竖直粗糙墙壁上，且受到水平力F的作用，下列说法正确的是(　　)

A．若撤去F，木块沿墙壁下滑时，木块受滑动摩擦力大小等于mg

B．若木块静止，当F增大时，木块受到的静摩擦力随之增大

C．若木块与墙壁间的动摩擦因数为μ，则当撤去F时，木块受到的滑动摩擦力大小等于μmg

D．若木块静止，则木块受到的静摩擦力大小等于mg，方向竖直向上

【解析】选D。

若撤去F后，墙壁对木块的支持力减小为零，故最大静摩擦力减为零，木块只受重力，做自由落体运动；故A、C错误；.木块在推力F作用下静止时，处于平衡态，受推力F、重力mg、向上的静摩擦力f和向右的支持力N，如图根据共点力平衡条件：F＝N，mg＝f，当推力增大时，木块仍然保持静止，故静摩擦力的大小不变，始终与重力平衡；B错误，D正确。

3.(水平2)如图所示是某幼儿园的一部直道滑梯，其滑道倾角为θ。一名质量为m的幼儿在此滑道上匀速下滑。若不计空气阻力，则该幼儿(　　)

A．所受摩擦力为mg sin θ

B．所受摩擦力为mg cos θ

C．对滑道压力为mg sin θ

D．对滑道压力为mg tan θ

【解析】选A。幼儿在此滑道上匀速下滑，受力平衡，根据平衡条件可得所受摩擦力为mg sin θ，故A正确、B错误；幼儿对轨道的压力等于重力在垂直于斜面方向的分力，即为mg cos θ，故C、D错误。

4.(水平2)春节之际，校门口挂上大红灯笼，如图所示。轻绳连接着个红灯笼，灯笼在水平风力作用下保持静止，轻绳与竖直方向的夹角为37°，若红灯笼的质量为m＝0.8 kg，g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求轻绳对红灯笼的拉力FT大小和水平风力F大小。

【解析】对灯笼受力分析，画出受力示意图，如图所示。

水平方向有：FTsin37°＝F①

竖直方向有：FTcos37°＝mg②

解①②可得：FT＝10 N、F＝6 N

答案：10 N　6 N

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