数学八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试一课一练

这是一份数学八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试一课一练，共18页。

2021-2022第一学期人教版八年级数学
第十二章《全等三角形》基础练习
一.选择题(本题共10个小题，每个小题4分，满分40分)
1.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为(　　)
　　
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）

A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD等于（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4.两条平行线a、b被第三条直线c所截得的同旁内角的平分线的交点到直线c的距离是2cm，则a、b之间的距离是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝α，BD＝CF，BE＝CD，则下列结论正确的是（　　）

A．2α+∠A＝180° B．α+∠A＝90° C．2α+∠A＝90° D．α+∠A＝180°
6.AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝3，AC＝5，则AD的取值范围是（　　）
A．AD＞1 B．AD＜4 C．1＜AD＜4 D．2＜AD＜8
7.如图所示，△ABC中，AB＝AC，BE＝CF，AD⊥BC，则图中共有全等三角形（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
8.如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝5，AB＝7，则DE的长为(　　)

A．8 B．9 C．10 D．12
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，,将△ABC沿直线BC方向平移2.5个单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论：
①△AGD≌△CGE；②△ADE为等腰三角形；③AC平分∠EAD；④四边形AEFD的面积为9．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中正确的有（　　）
①∠ACD＝∠B ②CH＝CE＝EF ③AC＝AF ④CH＝HD ⑤BE＝CH．

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题(本题共4个小题，每个小题5分，满分20分)
11.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为　 　．

12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD，若AC＝4cm，则AE+DE＝　 　．


13.如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD＝　 　°．
14.△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　 　．

三．解答题(本题共7个小题，满分90分)
15.(本题满分12分)
以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．

（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
16.(本题满分12分)
如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD、CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF、GF，若AF＝GF，BD＝CD．
（1）求∠CAF的度数；
（2）判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由．


17.(本题满分12分)
如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．
（1）求证：△ABD≌△CED；
（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．





18.(本题满分12分)
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为　 　；
(2)如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．


19.(本题满分12分)
如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝　 　，∠AED＝　 　；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由。


20.(本题满分15分)
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．

21.(本题满分15分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE， 交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.

参考答案
一．选择题
1.选：C．
2.解：A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．
故选：B．
3.选：B．
4.解：如图，过点P作EF⊥b，
∵a∥b，
∴EF⊥a，
∴EF就是a、b之间的距离，
∵P到直线c的距离是2，即PD＝2cm，点P是同旁内角的平分线的交点，
∴PE＝PD，PF＝PD，（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∴EF＝PE+PF＝2+2＝4cm．
故选：B．

5.解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C＝α，∴2α+∠A＝180°．
B、错误．不妨设，α+∠A＝90°，∵2α+∠A＝180°，∴α＝90°，这个显然与已知矛盾，故结论不成立．
C、错误．∵2α+∠A＝180°，∴2α+∠A＝90°不成立．
D、错误．∵2α+∠A＝180°，∴α+∠A＝180°不成立．
故选：A．

6.解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
∵
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝3，AC＝5，
∴5－3＜AE＜5+3，即2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故选：C．

7.选：A．
8.解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，
带①、④可以用“角边角”确定三角形，
带②④可以延长还原出原三角形，
故选：D．
9.解：由平移的性质得：AD∥BE，AD＝BE＝2.5，
∵BC＝5，
∴CE＝2.5，
∴AD＝CE，
∵AD∥BE，
∴∠DAG＝∠ECG，
在△AGD和△CGE中，，
∴△AGD≌△CGE（AAS），
∴①正确；
∵∠BAC＝90°，BE＝CE，
∴AE＝BC＝CE＝2.5，
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形，
∴②正确；
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECG，
∵∠DAG＝∠ECG，
∴∠EAC＝∠DAG，
∴AC平分∠EAD，
∴③正确；
作AH⊥BC于H，如图所示：
∵△ABC的面积＝，
∴AH＝，
∴四边形AEFD的面积＝，
∴④正确；
正确的个数有4个，
故选：D．

10.解：①∵CD是斜边AB上的高，∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴①正确；
②∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠C＝90°，EF⊥AB，
∴CE＝FE，
∵∠CHE＝∠CAE+ACD，∠CEA＝∠BAE+∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠CHE＝∠CEA，
∴CH＝CE，
即：CH＝CE＝EF，∴②正确；
③∵在Rt△ACE和Rt△AFE中AE＝AE，CE＝EF，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE，
∴AC＝AF，∴③正确；
④∵CH＝EF，∴CH≠HD，∴④错误；
⑤∵在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF＝CH，∴⑤错误．
故选：C．
二．填空题(共6小题)
11.解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴×AB×DE+×BC×DF＝70，
∴DF＝DE＝5．
故答案为：5．

12.解：
∵DE⊥AB，
∴∠C＝∠BDE，
在Rt△CBE和Rt△DBE中
,
∴Rt△CBE≌Rt△DBE（HL），
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝4cm，
故答案为：4cm．
13.解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，
∴∠EAD＝∠CAB＝55°，
∴∠CFD＝∠FAB+∠B＝10°+55°+30°＝95°，
故答案为：95．
14.解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8－6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（m/s），
故答案为：2或3．

三．解答题（共5小题）
15.解：(1)∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE＝∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF
又∵∠CDF＝∠BDA
∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA
＝∠DAB
＝90°；
（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，
∴∠BFC＝∠CAB＝90°．
16.解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠EFB＝∠DFC，
∴∠EBF＝∠FCD，
∵BD＝CD，∠ADB＝∠CDF，
∴△ABD≌△FCD，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF＝45°；
（2）FG∥BC，理由是：
∵AF＝FG，
∴∠FGA＝∠CAF＝45°，
∵BD⊥AC，BD＝CD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝45°，
∴∠FGA＝∠DCB，
∴FG∥BC．
17.（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
在△ABD与△CED中，，
∴△ABD≌△CED（SAS）；
（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，
∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．
18.解:(1)如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△CAD和△EAD中
，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴CD＝DE，AC＝AE，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴DE＝EB，
∴DC＝BE，
∴AE+BE＝AC+DC＝AB；
故答案为：AB＝AC+CD．
(2)成立．
证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．
∵在△ACD和△AED中
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD＝ED，∠C＝∠AED，
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB
∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，
∴AB＝AC+CD．


19.解:(1)∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，
故答案为：16°；52°；
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝36°，
∴∠DEC+∠EDC＝144°，
∵∠ADE＝36°，
∴∠ADB+∠EDC＝144°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）.
20.证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．

21.证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝2DC.