2020-2021学年河南省濮阳高二（下）期末考试数学（理）试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年河南省濮阳高二（下）期末考试数学（理）试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|1m，若A∩∁RB=⌀，则m的取值范围为( )
A.(−∞,1]B.(−∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)

2. 设A={x|0≤x≤2}, B={y|0≤y≤2}，下列各图中能表示集合A到集合B的函数的是( )
A.B.
C.D.

3. 已知定义在R上的函数fx满足，f1−x+2fx=x2+1，则f1=（）
A.−1B.1C.−13D.13

4. 若函数fx−1=2x−5，且f2a−1=6，则a等于( )
A.114B.74C.43D.73

5. 函数y=2x+1+32x+1的值域为（）
A.0,2B.[2,+∞)C.2,3D.1,2

6. 函数y=6x2+2的值域为( )
A.0,3B.[3,+∞）C.(1,3]D.(0,3]

7. 已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a−1, 2a]，则( )
A.a=13，b=0B.a=−1，b=0C.a=1，b=0D.a=3，b=0

8. 函数f(x)=lg2(x2−3x+2)的单调递增区间是( )
A.(−∞,32)B.(32,+∞)C.(2, +∞)D.(−∞, 1)

9. 已知函数f(x)=lg2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[12,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值范围是( )
A.[−5,0]B.(−∞,−5]∪[0,+∞)
C.(−5,0)D.(−∞,−5)∪(0,+∞)

10. 定义在R上的偶函数fx在0,+∞上单调递减，且f2=0，则不等式xfx−1>0的解集为( )
A.−∞,0∪3,+∞B.−∞,−1∪0,3
C.−2,0∪0,2D.−3,0∪0,3

11. 已知定义在R上的奇函数f(x)=ex−ke−x+2sinx，则a=f(lg234),b=f(lg445),c=f(lg889)的大小关系为( )
A.c
12. 已知函数fx和gx满足fx=2gx+1，且gx为R上的奇函数，f−1=8，求f1=( )
A.6B.−6C.7D.−7
二、填空题

函数fx=x−22−lnx的零点个数为________.

函数f(x)=|x2−2x|−a2−1(a≠0)的零点个数是________.

已知三棱锥D−ABC的四个顶点都在球O的球面上，若DC⊥平面ABC，∠ACB=60∘，AB=32，DC=23，则球O的表面积为________．

设方程|lg2|x|−1|=aa>0的实根为x1，x2，…，xk，其中k为正整数，则所有实根的和为________．
三、解答题

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ=21−sinθ，P点的极坐标为1,π2，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，且倾斜角为60∘.
(1)写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；

(2)设直线与曲线C相交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的值．

在极坐标系中，圆C:ρ=4sinθ，直线l:ρcsθ=2．以极点O为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求圆C的参数方程，直线l的直角坐标方程；

(2)点A在圆C上，AB⊥l于B，记△OAB的面积为S，求S的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据B集合求出∁RB ，由A与∁RB的交集为空集，确定出m的范围即可．
【解答】
解：∵ 集合B=x|x>m，
∴ ∁RB=x|x≤m，
又集合A=x|1 ∴m≤1，
∴ m的取值范围是(−∞,1].
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
函数的概念
【解析】
按照函数的定义，逐个判断各项，即可得出正确答案．
【解答】
解：对A，图象中在x=0处无定义，不符合题意，错误；
对B，集合A中的元素2，在集合B中没有对应元素，不符合定义，错误；
对C，集合A中的元素0对D，符合函数定义，正确．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
【解析】
无
【解答】
解：∵ 定义在R上的函数fx满足，f1−x+2fx=x2+1，
∴ 当x=0时，f1+2f0=1，①
当x=1时，f0+2f1=2，②
②×2−①，得3f1=3，
解得f1=1．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
【解析】
利用换元法求出函数y=fx的解析式，然后由f2a−1=6求出α的值
【解答】
解：设t=x−1 ，
则x=t+1，
ft=2t+1−5=2t−3，
则f2a−1=22a−1−3=4a−5=6 ，
解得a=114.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
无
【解答】
解：y=2x+1+32x+1=2+12x+1，
可知0<12x+1<1，
∴ 2故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
无
【解答】
解：因为x2+2≥2，
所以0<6x2+2≤3．
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的定义域及其求法
【解析】
先由“定义域应关于原点对称”则有a−1=−2a，又f(−x)=f(x)恒成立，用待定系数法可求得b．
【解答】
解：∵ 定义域应关于原点对称，
∴ a−1=−2a，
解得a=13．
又∵ f(−x)=f(x)恒成立，
即：ax2+bx+3a+b=ax2−bx+3a+b，
∴ b=0．
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可得出结论．
【解答】
解：由x2−3x+2>0可得x<1或x>2，
令u=x2−3x+2，可知在(2, +∞)单调递增，
而y=lg2u是增函数，
由复合函数的同增异减的法则可得，
函数f(x)=lg2(x2−3x+2)的单调递增区间是(2, +∞).
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
对数函数的值域与最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当12≤x≤2时，
lg212≤f(x)≤lg22，
即−1≤f(x)≤1，
则f(x)的值域为[−1,1].
当12≤x≤2时，
2×12+a≤g(x)≤4+a，
即1+a≤g(x)≤4+a，
则g(x)的值域为[1+a,4+a].
若存在x1,x2∈[12,2]，使得f(x1)=g(x2)，
则[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀.
若[1+a,4+a]∩[−1,1]=⌀，
则1+a>1或4+a<−1，
得a>0或a<−5，
所以若存在x1,x2∈[12,2]，使得f(x1)=g(x2)，实数a的取值范围是[−5,0].
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
其他不等式的解法
【解析】
由函数的奇偶性与单调性得x>00【解答】
解：由题意可知，f(x)在R上是偶函数，且f(2)=0，
所以f(−2)=0，
又f(x)在0,+∞单调递减，
所以f(x)在−∞,0单调递增,
即x>0，0解得x<−1或0故选B.
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的性质
【解析】
根据题意，由奇函数的性质可得f(0)＝e0−ke0+2sin0＝1−k＝0，解可得k的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f(x)为R上的增函数，由对数的运算性质可得lg234【解答】
解：根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)=e0−ke0+2sin0=1−k=0，
解得k=1，
即f(x)=ex−e−x+2sinx，
则f′(x)=ex+e−x+2csx≥2ex⋅e−x+2csx
=2+2csx≥0，
则函数fx为R上的增函数，
lg234=lg22342=lg4916lg445=lg43453=lg6464125，
lg889=lg82892=lg646481
所以lg234所以a故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
无
【解答】
解：因为fx=2gx+1，f−1=8，
所以f(−1)=8=2g(−1)+1，
可得g(−1)=72，
又因为g(x)为R上的奇函数，
则g(1)=−72，
故f(1)=2g(1)+1=−6.
故选B.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数fx=x−22−lnx的定义域为0,+∞，
画出两个函数y=x−22， y=lnx的图象，
由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2.
故答案为：2.
【答案】
2
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
函数f(x)的零点即方程|x2−2x|−a2−1=0的根，因此讨论|x2−2x|=a2+1，在同一坐标系内作出y=|x2−2x|与y=a2+1的图象，研究y=|x2−2x|的极值和a2+1的范围，可得两图象有2个交点，由此即可得到函数f(x)的零点个数．
【解答】
解：fx=|x2−2x|−a2−1a>0，
令fx=0，得|x2−2x|=a2+1，
则函数fx的零点为y=a2+1和y=|x2−2x|的交点，
因为a>0，
所以y=a2+1>1，
作出函数y=|x2−2x|的图象如图所示，
所以y=|x2−2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点，
因此函数fx=|x2−2x|−a2−1有两个零点．
故答案为：2.
【答案】
36π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
无
【解答】
解：设△ABC的外接圆半径为r，
由正弦定理得2r=32sin60∘=26，
解得r=6，
由题意知球半径R满足R2=r2+3=9，
得R=3，
球表面积S=4πR2=36π．
故答案为：36π．
【答案】
0
【考点】
根的存在性及根的个数判断
对数函数的图象与性质
函数奇偶性的判断
【解析】
无
【解答】
解：令fx=|lg2|x|−1|，
f−x=|lg2|−x|−1|=|lg2|x|−1|=fx，
∴ 函数f(x)为偶函数，
∴ 方程|lg2|x|−1|=aa>0所有实根的和为0，
故答案为：0．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ρ=21−sinθ，
∴ρ−ρsinθ=2，
∴ρ=2+ρsinθ．
∵ρ=x2+y2，ρsinθ=y．
∴x2+y2=2+y．
两边平方，得：
x2+y2=4+4y+y2，
∴x2=4y+4．
∵x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴x=0，y=1．
∴P点的直角坐标为(0,1)．
∴曲线C的直角坐标方程是x2=4y+4，
P点的直角坐标为(0,1)．
(2)由题意，设直线l的参数方程为：
x=12t，y=1+32t（t为参数），
将其代入曲线C的方程得：
12t2=41+32t+4．
整理得：t2−83t−32=0．
设方程的两根为t1，t2，
则t1+t2=83，t1⋅t2=−32．
1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1−t2||t1t2|，
|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=85，
所以1|PA|+1|PB|=|t1−t2||t1t2|=54.
【考点】
抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
点的极坐标和直角坐标的互化
直线的参数方程
参数的意义
【解析】
（1）利用x=ρcsθ，y=ρsinθ，ρ=x2+y2转化求解即可．
（2）设出直线l的参数方程，利用参数t的几何意义求解即可．
【解答】
解：(1)∵ρ=21−sinθ，
∴ρ−ρsinθ=2，
∴ρ=2+ρsinθ．
∵ρ=x2+y2，ρsinθ=y．
∴x2+y2=2+y．
两边平方，得：
x2+y2=4+4y+y2，
∴x2=4y+4．
∵x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴x=0，y=1．
∴P点的直角坐标为(0,1)．
∴曲线C的直角坐标方程是x2=4y+4，
P点的直角坐标为(0,1)．
(2)由题意，设直线l的参数方程为：
x=12t，y=1+32t（t为参数），
将其代入曲线C的方程得：
12t2=41+32t+4．
整理得：t2−83t−32=0．
设方程的两根为t1，t2，
则t1+t2=83，t1⋅t2=−32．
1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1−t2||t1t2|，
|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=85，
所以1|PA|+1|PB|=|t1−t2||t1t2|=54.
【答案】
解：(1)由题意得x=ρcsθ，
所以l：x=2，
又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，
所以C：x2+y−22=4，
从而C的参数方程为x=2csα,y=2+2sinα,（α为参数）．
(2)设A2csα,2+2sinα，0<α<2π，
则B2,2+2sinα，
所以S=21−csα1+sinα
=2sinα−2csα−2csαsinα+2
=sinα−csα2+2sinα−csα+1
=sinα−csα+12
=2sinα−π4+12，
当α−π4=π2，
即α=3π4时，S取得最大值3+22．
【考点】
三角形的面积公式
三角函数的最值
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】

【解答】
解：(1)由题意得x=ρcsθ，
所以l：x=2，
又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，
所以C：x2+y−22=4，
从而C的参数方程为x=2csα,y=2+2sinα,（α为参数）．
(2)设A2csα,2+2sinα，0<α<2π，
则B2,2+2sinα，
所以S=21−csα1+sinα
=2sinα−2csα−2csαsinα+2
=sinα−csα2+2sinα−csα+1
=sinα−csα+12
=2sinα−π4+12，
当α−π4=π2，
即α=3π4时，S取得最大值3+22．

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