2020-2021学年河南省信阳高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省信阳高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4

2. 已知复数z满足z⋅1+2i=i，则复数z的共轭复数z所对应的点位于复平面的( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 用反证法证明命题“自然数a，b，c中至少有一个偶数”，则证明的第一步，其正确的反设为（ ）
A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数
C.a，b，c至少有一个奇数D.a，b，c至多有一个偶数

4. 使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.1b>1a>0B.ea>ebC.a2>b2D.lna>lnb>0

5. 有一散点图如图所示，在5个(x, y)数据中去掉D(3, 10)后，给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数R2变大；③残差平方和变小；④解释变量x与预报变量y的相关性变强.其中正确说法的个数为( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 若a，b，c满足2a=3，b=lg25，3c=2．则( )
A.aec+alnb>eb+clna
D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb
二、填空题

已知A={x|ax−3x+a>0}，若1∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________．

若幂函数y=fx的图象经过函数g(x)=lga(x+3)+14(a>0且 a≠1)图象上的定点A，则f12=________.

我们知道，当a>b>c时，可以得到不等式1a−b+1b−c≥4a−c，当a>b>c>d时，可以得到不等式1a−b+1b−c+1c−d≥9a−d，由此可以推广：当a1>a2>a3>⋯>an时，其中n∈N∗，n≥3得到的不等式是________．

已知fx=2f′ln2x+ex ，则曲线y=fx在0,f0处的切线方程为________.
三、解答题

已知i为虚数单位，关于x的方程x2−px+10=0p∈R的两根分别为x1，x2．若x1=3+i，求实数p 的值．

已知函数fx=x3+1−ax2−aa+2x， gx=19x−7．
(1)当a=1时，求fx的单调增区间；

(2)若对任意x1∈−1,1，总存在x2∈1,3，使得f′x1+2ax1=12gx2成立，求实数a的取值范围．

某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如下表：
他们分别用两种模型①y=bx+a，②y=aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；
②若广告投入量x=18，该模型收益的预报值是多少？
附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．

已知f′x是函数fx的导函数，且f−x=fx，当x≥0时，f′x>3x．
(1)证明：当x≥0时，函数gx=fx−32x2是增函数；

(2)解不等式fx−fx−1b>0⇔1b>1a>0，
∴1b>1a>0是a>b>0的充要条件，故选项不符合题意；
B，∵ea>eb，
∴a>b，
∵ a>b>0⇒a>b，
∴ea>eb是a>b>0的必要不充分条件，故选项不符合题意；
C，∵a>b>0⇒a2>b2 ，
∴a2>b2是a>b>0的必要不充分条件，故选项不符合题意；
D，∵lna>lnb>0 ，
∴a>b>1 ，
∵a>b>1⇒a>b>0，
∴lna>lnb>0是a>b>0的充分不必要条件，故选项符合题意．
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
回归分析
【解析】
利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．
【解答】
解：∵ 从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，
则去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，
∴ 相关系数r变大，相关指数R2变大，残差的平方和变小，
∴ 四个命题都正确.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：由2a=3，可得a∈(1, 2)，
b=lg25>2，
由3c=2，可得c∈(0, 1)，
∴ cb>c，
记gx=lnxex，g′x=1x−lnxex ，
由于函数y=1x−lnx在(0,+∞)上单调递减，lnc=1c，
则1x−lnx=0在(0,+∞)上有唯一解c，
当x>c时，g′(x)c时，gx单调递减，
故gaeb+clna.
故选C.
二、填空题
【答案】
[−3, −1)
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据元素与集合的关系，列出满足条件的不等式组，解得a的取值范围即可．
【解答】
解：因为1∈A，3∉A，
所以a−31+a>0，3a−33+a≤0或3+a=0，
解得−3≤a0且a≠1)的图象恒过定点A(−2, 14)，
设幂函数f(x)的解析式为f(x)=xα，
把点A(−2, 14)代入幂函数的解析式可得14=(−2)α，
则α=−2，
故f(x)=x−2，
即f12=12−2=4.
故答案为：4.
【答案】
1a1−a2+1a2−a3+⋯+1an−1−an≥n−12a1−an
【考点】
类比推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由类比推理可得得到的不等式是1a1−a2+1a2−a3+⋯+1an−1−an≥n−12a1−an.
故答案为：1a1−a2+1a2−a3+⋯+1an−1−an≥n−12a1−an.
【答案】
3x+y−1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：f′x=2f′ln2+ex，
令 x=ln2得 f′ln2=2f′ln2+2，
解得f′ln2=−2，
∴fx=ex−4x，
f′x=ex−4，
则f0=1，f′0=−3，
∴曲线y=fx在 (0,f(0))处的切线方程为y−1=−3x，
即3x+y−1=0．
故答案为：3x+y−1=0．
三、解答题
【答案】
解：把x1=3+i代入关于x的方程x2−px+10=0p∈R，
得3+i2−p3+i+10=0，
解得p=6，则p的值为6．
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：把x1=3+i代入关于x的方程x2−px+10=0p∈R，
得3+i2−p3+i+10=0，
解得p=6，则p的值为6．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=x3−3x，则f′x=3x2−3，
令f′x=3x2−3>0，解得x>1或x0，解得x>1或x3x，
∴ 当x≥0时，g′x=f′x−3x>0，
∴ gx在[0,+∞)上是增函数．
(2)∵ f−x=fx，
∴ g−x=f−x−32−x2=fx−32x2=gx．
∴ gx是偶函数．
又∵ fx−fx−1