2020-2021学年河北省保定高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省保定高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∃x0>0，2x02−x0−3<0”的否定是( )
A.∃x0≤0，2x02−x0−3<0B.∀x≤0，2x2−x−3<0
C.∃x0>0，2x02−x0−3≥0D.∀x>0，2x2−x−3≥0

2. 已知集合A=x|lg2x+1<2，B=x|2x2−5x−3≤0，则A∪B=（ ）
A.x|−12C.x|−12≤x<3D.x|x≤3

3. 已知函数fx=4xx2+1，则函数y=−f|x|的部分图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

4. 已知csα−3sinα=54，则sin11π6+α=（ ）
A.−58B.58C.−54D.54

5. 2x−ax6展开式中的常数项为−160，则x2项的系数为（ ）
A.240B.120C.180D.−240

6. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选三种，事件A表示选出的三种中至少有两药，事件B表示选出的三种中恰有一方，则PB|A=（ ）
A.25B.310C.910D.34

7. 已知函数fx=xex，a=fln1π，b=flgπ1e，c=flnπe，则（ ）
A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c

8. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则《九章算术》《孙子算经》不在同一组的概率为( )
A.15B.25C.35D.110
二、多选题

下列说法正确的是（ ）
A.若事件A，B发生的概率分别为PA=13，PB=12，则PA∪B=56
B.将两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学恰好相邻的概率为12
C.若随机变量ξ∼N(2,σ2)，P(ξ≥4)=0.18，则P0≤ξ≤2=0.64
D.若随机变量η∼B8,34，则Eη=6，Dη=1.5

地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M=lgAmaxA0（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E=104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是（ ）
A.若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍
B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍
C.若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E也增加到原来的100倍
D.若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍

若关于x的不等式12x2−2mlnx−12≥0在2,4上有解，则实数m的取值可以是（ ）
A.−1B.1C.1ln2D.2ln2

如图，点A，B分别是圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2=4上的两个动点，点A从初始位置A012,32，点B从初始位置B02,0同时开始，点A按逆时针方向，点B按顺时针方向，都以角速度2rad/s做圆周运动，记t（单位：s）时刻点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则( )

A.当t=π12时，A，B两点间的距离为7
B.当t=π6时，OA⊥OB
C.若A，O，B三点共线，则t=−π12+kπ4,k∈N∗
D.记y=y1+y2，当t∈(0,π2]时，y∈[−3,32)
三、填空题

已知函数fx=22x,x≥2,fx+2,x<2,则flg23=________．

已知3x−2xn的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n=________，展开式中的常数项为________．

为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部7个班级分别去3个革命老区研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）

已知偶函数fx是在R上连续的可导函数，当x>0时，f′x+fxx>0，则函数Fx=x2fx−1的零点个数为________.
四、解答题

某中学调查了该校某班50名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表所示：

(1)能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？

(2)已知既参加棋艺社团又参加武术社团的10名同学中，有4名男同学，6名女同学．现从这10名同学中随机选6人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数X的分布列．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2图象的振幅是2，一条对称轴是直线x=π3，与之相邻的一个对称中心是7π12,0．
(1)求fx的表达式；

(2)将fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，求gx在π6,13π24上的值域．

在①fx在定义域内单调递减，②fx在定义域内有两个极值点，③当x∈0,+∞时，gx≥0恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：已知函数fx=xlnx−ax2−x，gx=ex−1−2ax．
(1)若________，求实数a的取值范围；

(2)Fx=f′x−gx，其中f′x为fx的导函数，求Fx的最值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如下表所示：

(1)通过散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）

(2)求y关于x的回归方程；

(3)若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．
参考数据：2290≈47.8．
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx．

雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分．近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀．该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表．

(1)用分层抽样的方法从成绩落在70,100内的试卷中抽取10份试卷，再从中选取3份试卷，求这3份试卷中恰有2份试卷成绩落在[80,90)内的概率．

(2)该市教育局为激励广大学生对中国传统文化的学习的热情，准备对成绩在80,100内的学生给予奖励，奖励方案如下：成绩在90,100内评为一等奖，获2次随机送学习补贴金的机会；成绩在[80,90)内评为二等奖，获1次随机送学习补贴金的机会．每次随机送学习补贴金的金额与概率如下：
已知某学生估计自己的成绩在80,100内，记X为该学生在此次活动中获得的学习补贴金的金额，求X的分布列及数学期望．

已知函数fx=x2lnx−ax+1.
(1)若fx≥0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数y=fx−ax3+ax−1的两个零点为x1，x2，证明：x1x2>e2.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省保定市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即将量词“∃”改成量词“∀”，然后将结论否定．
【解答】
解：∵ 存在量词命题的否定是全称量词命题，即将量词“∃”改成量词“∀”，然后将结论否定，
∴ 该命题的否定是“∀x>0，2x2−x−3≥0”．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
指、对数不等式的解法
一元二次不等式的解法
并集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：由0得A=x|−1由2x2−5x−3=2x+1x−3≤0，
得B=x|−12≤x≤3，
所以A∪B=x|−1故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：因为y=−f(|x|)≤0且为偶函数，所以D选项符合题意．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的余弦公式
诱导公式
【解析】
无
【解答】
解：因为csα−3sinα=2csα+π3=54，
所以csα+π3=58，
故sin11π6+α=sin3π2+α+π3=−csα+π3=−58．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
无
【解答】
解：2x−ax6展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅26−r⋅(−a)r⋅x6−2r，
常数项为8C63−a3=−160，
得a=1．
令6−2r=2，
得r=2，
所以含x2项的系数为C62×24×−12=240．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
无
【解答】
解：因为PA=C33+C32C31C63=12，P(AB)=C32C31C63=920，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=910．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：因为f′x=1−xex，
所以fx在−∞,1上单调递增，
在(1,+∞)上单调递减，
且当x>0时，fx>0；
当x<0时，fx<0．
因为ln1π=−lnπ∈−∞,−1，
lgπ1e=−lgπe∈(−1,0)，
lnπe=elnπ∈0,+∞，
所以ln1π故a故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
有关排列、组合的计算
对立事件的概率公式及运用
【解析】
1
【解答】
解：将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部），基本事件总数n=C52C33=10，
《九章算术》《孙子算经》恰好在同一组包含的基本事件个数m=C22C33+C22C31C22=4，
所以《九章算术》《孙子算经》在同一组的概率为mn=25，
即《九章算术》《孙子算经》不在同一组的概率为1−25=35．
故选C．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
排列、组合的应用
正态分布的密度曲线
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
因为事件A，B不一定互斥，所以A错误：因为P=A3A22A44=12所以B正确，因为P0≤ξ≤2=1−2Pξ≥42=0.32，所以C错误；因为En=np=6, Dn=np1−p=1.5，所以D正确．故选：BD
【解答】
解：因为事件A，B不一定互斥，所以A错误；
因为P=A33A22A44=12，所以B正确；
因为P0≤ξ≤2=1−2Pξ≥42=0.32，所以C错误；
因为Eη=np=6，Dη=np1−p=1.5，所以D正确．
故选BD．
【答案】
A,D
【考点】
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为M′=M+1=lgAmaxA0+1=lg10AmaxA0=lgAmax′A0，
所以Amax′=10Amax，故A正确；
因为E′=104.8×101.5(M+1)=104.8×101.5M+1.5
=104.8×101.5M×101.5=101.5E，所以B错误；
因为M′=lg100AmaxA0=2+lgAmaxA0=2+M，
E′=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=103E，所以C错误，D正确．
故选AD．
【答案】
A,B,C
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，问题等价于关于x的不等式x2−1lnx≥4m在2,4上有解．
令gx=x2−1lnx，x∈2,4，
则g′x=2xlnx−x+1xlnx2．
令mx=2xlnx−x+1x，x∈2,4，
则m′x=2lnx+1−1x2，
易知m′x单调递增，m′x≥m′2>0，
所以mx单调递增，故mx≥m2>0，
故g′x>0，则gx在2,4上单调递增，
故g4=152ln2≥4m，
即实数m的取值范围为(−∞,158ln2]．
故选ABC．
【答案】
A,C,D
【考点】
余弦定理
向量的数量积判断向量的共线与垂直
三点共线
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当t=π12时，因为OA与OB的夹角为2π3，
所以|AB|2=OA2+OB2−2OA⋅OBcs2π3=7，
所以|AB|=7，故A正确；
因为Acs2t+π3,sin2t+π3，B(2cs(−2t),2sin(−2t))，
所以当OA⊥OB时，
OA→⋅OB→=2cs2t+π3cs−2t+2sin2t+π3sin−2t=0，
得cs4t+π3=0，
所以4t+π3=π2+kπ,k∈N∗，
即t=π24+kπ4,k∈N∗，故B错误；
当A，O，B三点共线时，则OA→//OB→，
所以2sin2t+π3cs−2t−2cs2t+π3sin−2t=0，
得sin4t+π3=0，
所以4t+π3=kπ,k∈N∗，
即t=−π12+kπ4,k∈N∗，故C正确；
y=y1+y2=sin2t+π3+2sin−2t=3cs2t+π3，
当t∈(0,π2]时，2t+π3∈(π3,4π3]，
所以y∈[−3,32)，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
36
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
1
【解答】
解：因为0所以flg23=flg23+2=flg212，
所以flg23=22lg212=2−12lg212=2lg236=36．
故答案为：36．
【答案】
12,−1760
【考点】
二项式定理的应用
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由二项展开式系数的性质知，
当n为偶数时，a+bn的第n2+1项的二项式系数最大，
则n2+1=7，得n=12．
因为展开式的通项公式为Tr+1=C12rx12−r3−2xr=−2rC12rx12−4r3，
令12−4r=0，得r=3，故常数项为T4=−1760．
故答案为：12；−1760．
【答案】
630
【考点】
排列、组合及简单计数问题
分步乘法计数原理
【解析】
1
【解答】
解：由题意，7个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，
分成3组有C72C52C33A22=105种情况，
再把3组分到3个革命老区有A33=3×2×1=6种情况，
所以共有105×6=630种安排方法．
故答案为：630．
【答案】
2
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点
【解析】
1
【解答】
解：显然x=0不是Fx的零点，
所以方程Fx=0等价于xfx=1x．
令gx=xfx，ℎx=1x，
则g′x=fx+xf′x=xf′x+fxx，
所以当x>0时，g′x>0，
所以gx在0,+∞上单调递增．
因为fx为偶函数，
所以gx为奇函数，所以gx在R上单调递增，
所以gx与ℎx有两个交点，
故函数Fx的零点个数为2．
故答案为：2．
四、解答题
【答案】
解：(1)因为K2=50×10×20−12×8218×32×28×22=42252772≈1.524<3.841，
所以没有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有2，3，4，5，6．
PX=2=C44C62C106=114，PX=3=C43C63C106=821，
PX=4=C42C64C106=37，PX=5=C41C65C106=435，
PX=6=C66C106=1210，
所以随机变量X的分布列为
【考点】
独立性检验
离散型随机变量及其分布列
【解析】
1
【解答】
解：(1)因为K2=50×10×20−12×8218×32×28×22=42252772≈1.524<3.841，
所以没有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有2，3，4，5，6．
PX=2=C44C62C106=114，PX=3=C43C63C106=821，
PX=4=C42C64C106=37，PX=5=C41C65C106=435，
PX=6=C66C106=1210，
所以随机变量X的分布列为
【答案】
解：(1)设fx的最小正周期为T，
因为fx图象的一条对称轴是直线x=π3，相邻的一个对称中心是7π12,0，
所以7π12−π3=T4，T=π，即2πω=π，ω=2．
由2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
得φ=−π6+kπ，k∈Z．
因为|φ|<π2，所以φ=−π6．
因为fx图象的振幅是2，所以A=2，
故fx=2sin2x−π6．
(2)由题意可知gx=2sin4x−π6−π6=2sin4x−5π6．
因为x∈π6,13π24，所以4x−5π6∈−π6,4π3，
所以sin4x−5π6∈−32,1，
故gx在π6,13π24上的值域为−3,2．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的定义域和值域
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)设fx的最小正周期为T，
因为fx图象的一条对称轴是直线x=π3，相邻的一个对称中心是7π12,0，
所以7π12−π3=T4，T=π，即2πω=π，ω=2．
由2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
得φ=−π6+kπ，k∈Z．
因为|φ|<π2，所以φ=−π6．
因为fx图象的振幅是2，所以A=2，
故fx=2sin2x−π6．
(2)由题意可知gx=2sin4x−π6−π6=2sin4x−5π6．
因为x∈π6,13π24，所以4x−5π6∈−π6,4π3，
所以sin4x−5π6∈−32,1，
故gx在π6,13π24上的值域为−3,2．
【答案】
解：(1)若选①：因为fx在定义域内单调递减，
所以f′x≤0在0,+∞上恒成立．
因为f′x=lnx−2ax，
所以lnx−2ax≤0，即a≥lnx2x恒成立．
令ℎx=lnx2x，则ℎ′x=1−lnx2x2，
所以ℎx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
所以ℎxmax=ℎe=12e，所以a≥12e．
若选②：因为fx在定义域内有两个极值点，
所以方程f′x=0在定义域内有两个根．
因为f′x=lnx−2ax，
所以lnx−2ax=0，即关于x的方程a=lnx2x有两个根．
令ℎx=lnx2x，则ℎ′x=1−lnx2x2，
所以ℎx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
所以ℎxmax=ℎe=12e．
因为当x∈0,1时，ℎx<0；当x∈1,+∞时，ℎx>0，
所以a∈0,12e．
若选③：因为当x∈0,+∞时，gx≥0恒成立，
所以ex−1−2ax≥0，即a≤ex−12x恒成立．
令ℎx=ex−12x，则ℎ′x=x−1ex−12x2，
所以ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以ℎxmin=ℎ1=12，所以a≤12．
(2)因为Fx=f′x−gx=lnx−ex−1，
所以F′x=1x−ex−1．
因为F′x在0,+∞上单调递减，且F′1=0，
所以当x∈0,1时，F′x>0；当x∈1,+∞时，F′x<0，
所以Fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
故Fxmax=F1=−1，没有最小值．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若选①：因为fx在定义域内单调递减，
所以f′x≤0在0,+∞上恒成立．
因为f′x=lnx−2ax，
所以lnx−2ax≤0，即a≥lnx2x恒成立．
令ℎx=lnx2x，则ℎ′x=1−lnx2x2，
所以ℎx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
所以ℎxmax=ℎe=12e，所以a≥12e．
若选②：因为fx在定义域内有两个极值点，
所以方程f′x=0在定义域内有两个根．
因为f′x=lnx−2ax，
所以lnx−2ax=0，即关于x的方程a=lnx2x有两个根．
令ℎx=lnx2x，则ℎ′x=1−lnx2x2，
所以ℎx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
所以ℎxmax=ℎe=12e．
因为当x∈0,1时，ℎx<0；当x∈1,+∞时，ℎx>0，
所以a∈0,12e．
若选③：因为当x∈0,+∞时，gx≥0恒成立，
所以ex−1−2ax≥0，即a≤ex−12x恒成立．
令ℎx=ex−12x，则ℎ′x=x−1ex−12x2，
所以ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以ℎxmin=ℎ1=12，所以a≤12．
(2)因为Fx=f′x−gx=lnx−ex−1，
所以F′x=1x−ex−1．
因为F′x在0,+∞上单调递减，且F′1=0，
所以当x∈0,1时，F′x>0；当x∈1,+∞时，F′x<0，
所以Fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
故Fxmax=F1=−1，没有最小值．
【答案】
解：(1)因为x=2+3+4+54=3.5，
y=24+37+47+524=40，
所以i=14yi−y2=−162+−32+72+122=458，
i=14xi−x2=−1.52+−0.52+0.52+1.52=5，
i=14xi−xyi−y=−1.5×−16+
−0.5×−3+0.5×7+1.5×12=47，
所以r=475×458=472290≈0.983．
因为y与x的相关系数非常接近1，说明y与x的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=475=9.4 ，
a=y−bx=40−9.4×3.5=7.1．
所以y关于x的回归方程为y=9.4x+7.1．
(3)当x=7时，y=9.4×7+7.1=72.9<80，
当x=8时，y=9.4×8+7.1=82.3>80，
所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．
【考点】
求解线性回归方程
相关系数
【解析】
1
1
1
【解答】
解：(1)因为x=2+3+4+54=3.5，
y=24+37+47+524=40，
所以i=14yi−y2=−162+−32+72+122=458，
i=14xi−x2=−1.52+−0.52+0.52+1.52=5，
i=14xi−xyi−y=−1.5×−16+
−0.5×−3+0.5×7+1.5×12=47，
所以r=475×458=472290≈0.983．
因为y与x的相关系数非常接近1，说明y与x的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=475=9.4 ，
a=y−bx=40−9.4×3.5=7.1．
所以y关于x的回归方程为y=9.4x+7.1．
(3)当x=7时，y=9.4×7+7.1=72.9<80，
当x=8时，y=9.4×8+7.1=82.3>80，
所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．
【答案】
解：(1)由表可知，1000份试卷中成绩落在[70,80)，[80,90)，[90,100]内的频数比为6:3:1．
所以用分层抽样的方法抽取的10份试卷中成绩落在[70,80)，[80,90)，[90,100]内的分别有6张，3张，1张．
记事件A为“抽出的3份试卷中恰有2份试卷成绩落在[80,90)内”，
则PA=C32C71C103=740．
(2)这位同学获得二等奖的概率为34，此时获得1次随机送学习补贴金的机会，获得学习补贴金的金额情况如下：
这位同学获得一等奖的概率为14，
此时获得2次随机送学习补贴金的机会，获得学习补贴金的金额情况如下：
所以X的分布列为
所以EX=10×38+20×516+30×524+
40×572+50×136+60×1144=1256（元）．
【考点】
分层抽样方法
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由表可知，1000份试卷中成绩落在[70,80)，[80,90)，[90,100]内的频数比为6:3:1．
所以用分层抽样的方法抽取的10份试卷中成绩落在[70,80)，[80,90)，[90,100]内的分别有6张，3张，1张．
记事件A为“抽出的3份试卷中恰有2份试卷成绩落在[80,90)内”，
则PA=C32C71C103=740．
(2)这位同学获得二等奖的概率为34，此时获得1次随机送学习补贴金的机会，获得学习补贴金的金额情况如下：
这位同学获得一等奖的概率为14，
此时获得2次随机送学习补贴金的机会，获得学习补贴金的金额情况如下：
所以X的分布列为
所以EX=10×38+20×516+30×524+
40×572+50×136+60×1144=1256（元）．
【答案】
(1)解：因为fx≥0恒成立，所以x2lnx−ax+1≥0，
即a≤xlnx+1x恒成立．
令gx=xlnx+1x，则g′x=lnx−1x2+1，
易知g′x在0,+∞上单调递增，且g′1=0 ．
所以当x∈0,1时，g′x<0；当x∈1,+∞时，g′x>0．
所以gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以gxmin=g1=1，故a≤1．
(2)证明：由题意可知方程lnx−ax=0的两根为x1，x2．
令ℎx=lnx−ax，则ℎx的两个零点为x1，x2．
ℎ′x=1x−a=1−axx．
当a≤0时，ℎ′x>0，ℎx在0,+∞上单调递增，不存在两个零点；
当a>0时，ℎx在0,1a上单调递增，在1a,+∞上单调递减，
则ℎxmax=ℎ1a=ln1a−1>0，得0设x1因为ℎx1=ℎx2=0，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2．
要证x1x2>e2，即要证lnx1+lnx2=ax1+x2>2，即证x1+x2>2a．
令Fx=ℎ2a−x−ℎx=ln2a−x−a2a−x−lnx+ax
=ln2a−x−lnx+2ax−2，x∈0,1a，
则F′x=2ax−12xax−2<0，
所以Fx在0,1a上单调递减，
所以Fx>F1a=0．
因为Fx1=ℎ2a−x1−ℎx1>0，
所以ℎ2a−x1>ℎx1=ℎx2=0．
因为x2，2a−x1∈1a,+∞，且ℎx在1a,+∞上单调递减，
所以x2>2a−x1，即x1+x2>2a，故x1x2>e2成立．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：因为fx≥0恒成立，所以x2lnx−ax+1≥0，
即a≤xlnx+1x恒成立．
令gx=xlnx+1x，则g′x=lnx−1x2+1，
易知g′x在0,+∞上单调递增，且g′1=0 ．
所以当x∈0,1时，g′x<0；当x∈1,+∞时，g′x>0．
所以gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以gxmin=g1=1，故a≤1．
(2)证明：由题意可知方程lnx−ax=0的两根为x1，x2．
令ℎx=lnx−ax，则ℎx的两个零点为x1，x2．
ℎ′x=1x−a=1−axx．
当a≤0时，ℎ′x>0，ℎx在0,+∞上单调递增，不存在两个零点；
当a>0时，ℎx在0,1a上单调递增，在1a,+∞上单调递减，
则ℎxmax=ℎ1a=ln1a−1>0，得0设x1因为ℎx1=ℎx2=0，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2．
要证x1x2>e2，即要证lnx1+lnx2=ax1+x2>2，即证x1+x2>2a．
令Fx=ℎ2a−x−ℎx=ln2a−x−a2a−x−lnx+ax
=ln2a−x−lnx+2ax−2，x∈0,1a，
则F′x=2ax−12xax−2<0，
所以Fx在0,1a上单调递减，
所以Fx>F1a=0．
因为Fx1=ℎ2a−x1−ℎx1>0，
所以ℎ2a−x1>ℎx1=ℎx2=0．
因为x2，2a−x1∈1a,+∞，且ℎx在1a,+∞上单调递减，
所以x2>2a−x1，即x1+x2>2a，故x1x2>e2成立．参加棋艺社团
未参加棋艺社团
参加武术社团
10
12
未参加武术社团
8
20
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
年份
2017
2018
2019
2020
x
2
3
4
5
y
24
37
47
52
成绩/分
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
90,100
频数
25
50
150
275
300
150
50
金额/元
10
20
30
概率
12
13
16
X
2
3
4
5
6
P
114
821
37
435
1210
X
2
3
4
5
6
P
114
821
37
435
1210
金额
10
20
30
概率
34×12=38
34×13=14
34×16=18
金额
20
30
40
50
60
概率
14×122=116
14×C21×12×13=112
14132+C21×12×16=572
14×C21×13×16=136
14×162=1144
X
10元
20元
30元
40元
50元
60元
P
38
516
524
572
136
1144
金额
10
20
30
概率
34×12=38
34×13=14
34×16=18
金额
20
30
40
50
60
概率
14×122=116
14×C21×12×13=112
14132+C21×12×16=572
14×C21×13×16=136
14×162=1144
X
10元
20元
30元
40元
50元
60元
P
38
516
524
572
136
1144