2020-2021学年山西省运城高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省运城高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z满足iz=2+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 用反证法证明命题“已知a，b∈R，如果ab≠0，那么a，b都不为0”时，假设的内容应为( )
A.a，b都为0B.a，b中至少有一个为0
C.a，b不都为0D.a不为0

3. 函数f(x)=exsinx的图象在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.π4B.0C.3π4D.1

4. 已知函数fx=sin3x−π6，则f′π6=( )
A.3B.332C.32D.0

5. 已知函数fx=ax+lnx+3在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围为( )
A.12,23B.12,1C.−1,−12D.−23,−12

6. 函数fx=12x−2x3−3在0,2上的最大值为( )
A.6B.7C.8D.9

7. 若定义在R上的函数y=fx的图象如图所示，f′x为函数fx的导函数，则不等式x−1f′x>0的解集为( )

A.−1,1∪3,+∞B.−2,−1∪3,+∞
C.−1,3D.−∞,−1∪3,+∞

8. 已知函数fx=lnxx，则下列正确的是( )
A.fe>f6>f4B.f6>f4>fe
C.fe>f4>f6D.f4>fe>f6

9. 已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415，⋯，类比这些等式，若8+ab=8ab（a，b均为正整数），则a+b=( )
A.72B.71C.55D.42

10. 已知P是曲线y=−csxx∈−π2,π2上的动点，点Q在直线x−2y−4=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的坐标为( )
A.2π3,12B.π3,−12C.5π6,32D.π6,−32

11. 已知函数fx=2alnx−x2+4xa∈R在定义域上为单调递减函数，则a的最大值是( )
A.2B.1C.−2D.−1

12. 已知函数fx=x+1x,x>2,lnx+a,x≤2的图象上存在关于直线x=2对称的不同两点，则实数a的取值范围是( )
A.e,+∞B.e52−2,+∞C.−∞,2e−1D.−∞,e52
二、填空题

设z=1+i1−i+2i，则|z|=________．

已知函数fx=e2x+f′0lnx+2，则f′0=________．

已知函数fx=x2ex−4a有三个零点，则实数a的取值范围是________．

如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n行第n个数是________．

三、解答题

已知复数z=m2+2m−8+m2−2mi，m∈R，其中i为虚数单位．
(1)若复数z是实数，求m的值；

(2)若复数z是纯虚数，求m的值．

已知函数fx=x3+2ax+b在x=−2处取得极值．
(1)求实数a的值；

(2)若函数y=fx在0,4内有零点，求实数b的取值范围．

如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，O是底面ABCD对角线的交点．

(1)证明：平面OEF//平面PAB；

(2)证明：平面OEF⊥平面PAD．

已知函数fx=ex⋅a+lnx−1x，其中a∈R．
(1)若曲线y=fx在x=1处的切线与直线y=−ex平行，求a的值；

(2)若函数fx在定义域内单调递增，求a的取值范围．

已知函数f(x)=aex−1−x−1(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a>0时，若g(x)=lnx−x−lna，且f(x)≥g(x)在x>0时恒成立，求实数a的取值范围．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x=2csθ,y=3sinθ（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ−3ρsinθ=1．
(1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)已知点A1,0，若l和C的交点为M，N，求|AM|⋅|AN|．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省运城市高二（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：∵ iz=2+i，
∴ z=2+ii=2+i−ii−i=1−2i，
∴ z在复平面内对应点的坐标为1,−2，位于在第四象限．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
反证法
【解析】
反证法的要义在于反设，即假设结论不成立，由反设出发证明矛盾，反设的要求是假设条件不成立，由此规律进行反设，对比四个选项得出正确选项
【解答】
解：用反证法证明：“已知a，b∈R，如果ab≠0，那么a，b都不为0”时，
假设的内容应为a，b中至少有一个为0.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的倾斜角
【解析】
根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′(0)的值，即为所求的倾斜角正切值．
【解答】
解：由题意得，
f′(x)=exsinx+excsx=ex(sinx+csx)，
∴ 函数在点(0, f(0))处的切线的斜率为k=f′(0)=1，
∴ 倾斜角为π4.
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
利用复合函数求导得到f′x=3cs3x−π6，代入求值即可.
【解答】
解：因为fx=sin3x−π6，
所以f′x=3cs3x−π6，
所以f′π6=3cs3×π6−π6=3csπ3=32.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：由f′x=a+1x=ax+1x，
①当a≥0时函数fx单调递增，不合题意；
②当a1−lna，
令f′(x)0时fx−gx≥0在x>0时恒成立，
即aex−1−lnx+lna−1≥0在x>0时恒成立．
记ℎ(x)=aex−1−lnx+lna−1，
则ℎ(1)=a+lna−1.
记φa=a+lna−1，
则φ′a=1+1a>0，
φa在a∈0,+∞上单调递增，
又φ1=0，
当ℎ1=a+lna−1≥0时，得a≥1 .
下面证明：当a≥1时，ℎx=aex−lnx+lna−1≥0在x>0时恒成立．
∵ ℎx=aex−1−lnx+lna−1≥ex−1−lnx−1，
∴ 只需证ex−1−lnx−1≥0在x>0时恒成立．
记Tx=ex−1−lnx−1，
∴ T1=0，T′x=ex−1−1x，
又T′′x=ex−1+1x2>0，
∴ T′x在0,+∞单调递增，
又T′(1)=0，
∴ x∈0,1，T′x0，Tx单调递增，
∴ Tmin(x)=T(1)=0，
∴ Tx≥0在0,+∞恒成立，
即ℎx=aex−lnx+lna−1≥0在x>0时恒成立．
综上可知，当fx≥gx在x>0恒成立时，实数a的取值范围为a≥1.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：(1)f′(x)=aex−1−1，
①当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)>0，解得x>1−lna，
令f′(x)0时fx−gx≥0在x>0时恒成立，
即aex−1−lnx+lna−1≥0在x>0时恒成立．
记ℎ(x)=aex−1−lnx+lna−1，
则ℎ(1)=a+lna−1.
记φa=a+lna−1，
则φ′a=1+1a>0，
φa在a∈0,+∞上单调递增，
又φ1=0，
当ℎ1=a+lna−1≥0时，得a≥1 .
下面证明：当a≥1时，ℎx=aex−lnx+lna−1≥0在x>0时恒成立．
∵ ℎx=aex−1−lnx+lna−1≥ex−1−lnx−1，
∴ 只需证ex−1−lnx−1≥0在x>0时恒成立．
记Tx=ex−1−lnx−1，
∴ T1=0，T′x=ex−1−1x，
又T′′x=ex−1+1x2>0，
∴ T′x在0,+∞单调递增，
又T′(1)=0，
∴ x∈0,1，T′x0，Tx单调递增，
∴ Tmin(x)=T(1)=0，
∴ Tx≥0在0,+∞恒成立，
即ℎx=aex−lnx+lna−1≥0在x>0时恒成立．
综上可知，当fx≥gx在x>0恒成立时，实数a的取值范围为a≥1.
【答案】
解：(1)由已知得曲线x=2csθ,y=3sinθ（θ为参数），
消去参数得曲线C的普通方程为x24+y23=1．
因为ρcsθ−3ρsinθ=1，
将x=ρcsθ，y=ρsinθ代入即可得到直线l:x−3y−1=0．
(2)显然点A1,0在直线l:x−3y−1=0上，直线的斜率为33．
所以倾斜角为α=π6，
所以直线l的参数方程为x=1+32t,y=12t（t为参数），
代入椭圆C:x24+y23=1，得13t2+123t−36=0．
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
由韦达定理得t1+t2=−12313，t1⋅t2=3613．
所以|AM|⋅|AN|=|t1|⋅|t2|=|t1⋅t2|=3613．
【考点】
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
直线的参数方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得曲线x=2csθ,y=3sinθ（θ为参数），
消去参数得曲线C的普通方程为x24+y23=1．
因为ρcsθ−3ρsinθ=1，
将x=ρcsθ，y=ρsinθ代入即可得到直线l:x−3y−1=0．
(2)显然点A1,0在直线l:x−3y−1=0上，直线的斜率为33．
所以倾斜角为α=π6，
所以直线l的参数方程为x=1+32t,y=12t（t为参数），
代入椭圆C:x24+y23=1，得13t2+123t−36=0．
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
由韦达定理得t1+t2=−12313，t1⋅t2=3613．
所以|AM|⋅|AN|=|t1|⋅|t2|=|t1⋅t2|=3613．x
0
(0,2)
2
(2,4)
4
f′x
/
−
0
+
/
f(x)
b
↘
极小值b−16
↗
b+16
x
0
(0,2)
2
(2,4)
4
f′x
/
−
0
+
/
f(x)
b
↘
极小值b−16
↗
b+16