2020-2021学年安徽省淮南高二（下）五月质量检测数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省淮南高二（下）五月质量检测数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数z=2i+21+i，其中i是虚数单位，则复数z的模为( ).
A.1B.2C.3D.2

2. 根据表中的数据，得到的回归方程为y=bx+9，则b=（ ）
A.2B.0C.1D.−1

3. 在极坐标系中，点P2,π3，则过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρsinθ=1B.ρcsθ=1C.ρsinθ=3D.ρcsθ=3

4. 已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（ ）
A.5B.6C.7D.8

5. “p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 设a=0π sinxdx，则(x+ax)8展开式中的常数项为（ ）
A.560B.1120C.2240D.4480

7. 已知函数f(x)=1ln(x+1)−x，则y=f(x)的图象大致为( )
A.B.C.D.

8. 如图，在四棱锥C−ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB//OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=62，异面直线CD与AB所成角为30∘，则四面体ABCD的体积为( )

A.723B.363C.36D.243

9. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )
A.360种B.300种C.150种D.90种

10. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACC1A1 （包括边界）上一点，若EF//平面BCC1B1，则动点F的轨迹是( )
A.线段B.抛物线的一部分
C.椭圆的一部分D.圆弧

11. 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，且满足|AF1|=2|BF1|，|AB|=|BF2|，则该椭圆的离心率是（ ）
A.32B.63C.33D.64

12. 已知fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f′x>2x，若fa−2−fa≥4−4a，则实数a的取值范围是（ ）
A.(−∞,1] B.[1,+∞）C.(−∞,2] D.[2,+∞）
二、填空题

已知随机变量X服从正态分布N3,1，且PX>c−1=PXb>0的一个顶点为A2,0，且椭圆上任意一点P（非顶点）与短轴两端点连线的斜率的乘积为−12，直线y=kx−1与椭圆C交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．

为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙、丙三人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙、丙不超过1小时离开的概率均为14，1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23，23，三人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙、丙三人中须付费的人数为随机变量X，求X的分布列与均值，方差．

已知函数f(x)=ex+(a−e)x−ax2.
(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点，求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮南市高二（下）五月质量检测数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
【解析】
化简z=i+1，根据复数的模即可得解.
【解答】
解：因为z=2i+21+i=2i+21−i1+i1−i=2i+1−i=i+1，
∴ z=12+12=2.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b值，即可得答案．
【解答】
解：已知x=4+5+6+7+85=6，
y=5+4+3+3+15=3，
而回归方程y=bx+9且回归直线过点6,3
所以3=6b+9，解得b=−1，
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
将点P的极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，利用互化公式求得直线极坐标方程．
【解答】
解：点P的极坐标2,π3化为直角坐标为1,3，
在直角坐标系中，所求直线方程是x=1，
则其极坐标方程为ρcsθ=1，
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
估计分布列中，所有的概率之和是1，得到关于b的方程，求出b的值，根据本组数据的期望值和分布列列出关于a，b的方程，代入b的值，求出a，得到结果．
【解答】
解：由题意和概率的性质得0.5+0.1+b=1，
且Eξ=4×0.5+0.1a+9b=6.3，
∴ b=0.4，a=7，
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
复合命题及其真假判断
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
掌握复合命题的真假是解答本题的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
【解答】
解：∵ p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，
p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，
∴ p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，
而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题，
∴ “p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
定积分
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
计算定积分求得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求出(x+ax)8展开式中的常数项．
【解答】
解：a=0π sinxdx=−csx|0π=2，
则(x+ax)8=(x+2x)8展开式中的通项公式为Tr+1=C8r⋅2r⋅x8−2r，
令8−2r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C84⋅16=1120，
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的图象
【解析】
考虑函数f(x)的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f(x)的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明.
【解答】
解：设g(x)=ln(1+x)−x，
则g′(x)=−x1+x，
∴ g(x)在(−1, 0)上为增函数，在(0, +∞)上为减函数，
∴ g(x)3.841，
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【答案】
解：(1)设点P(x,y)，
则y−bx×y+bx=y2−b2x2=y2−b2a21−y2b2=−b2a2=−12，
得a2=4，b2=2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1．
(2)联立y=kx−1，x24+y22=1，
得1+2k2x2−4k2x+2k2−4=0．
设点M，N的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
可得Δ=83k2+2>0，|x1−x2|=8(3k2+2)1+2k2，
所以△ABN的面积S=12|y1−y2|×1
=12×|k|⋅8(3k2+2)1+2k2=|k|4+6k21+2k2103，得k=±1．
所以当△ABC的面积为103时，k=±1．
【考点】
椭圆的标准方程
直线的斜率
椭圆中的平面几何问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设点P(x,y)，
则y−bx×y+bx=y2−b2x2=y2−b2a21−y2b2=−b2a2=−12，
得a2=4，b2=2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1．
(2)联立y=kx−1，x24+y22=1，
得1+2k2x2−4k2x+2k2−4=0．
设点M，N的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
可得Δ=83k2+2>0，|x1−x2|=8(3k2+2)1+2k2，
所以△ABN的面积S=12|y1−y2|×1
=12×|k|⋅8(3k2+2)1+2k2=|k|4+6k21+2k2103，得k=±1．
所以当△ABC的面积为103时，k=±1．
【答案】
解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1−14−12=14，1−14−23=112，
两人都付0元的概率为P1=14×14=116，
两人都付40元的概率为P2=12×23=13，
两人都付80元的概率为P3=14×112=148，
则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=116+13+148=512．
(2)三人中须付费的人数X∼B（3，34），
P(X=K)=C3k(14)3−k⋅(34)k，
X的分布列为
EX=3×34=94，
DX=3×34×14=916．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无解析
无解析
【解答】
解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1−14−12=14，1−14−23=112，
两人都付0元的概率为P1=14×14=116，
两人都付40元的概率为P2=12×23=13，
两人都付80元的概率为P3=14×112=148，
则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=116+13+148=512．
(2)三人中须付费的人数X∼B（3，34），
P(X=K)=C3k(14)3−k⋅(34)k，
X的分布列为
EX=3×34=94，
DX=3×34×14=916．
【答案】
解：(1)若a=0，则f(x)=ex−ex，
则f′(x)=ex−e,f′(1)=0，
当x0,f(x)单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=0，无极大值.
(2)由题得f′(x)=ex−2ax+a−e，
设g(x)=ex−2ax+a−e，
则g′(x)=ex−2a.
若a=0，则f(1)=0，
故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点.
若a0，
故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增.
又g(0)=1+a−e0，
所以存在x0∈(0,1)，使gx0=0.
故当x∈0,x0时，f′(x)0,f(x)单调递增.
因为f(0)=1，f(1)=0，
所以当a0，由(1)得当x∈(0,1)时，ex>ex.
则f(x)=ex+(a−e)x−ax2
>ex+(a−e)x−ax2=ax−x2>0，
此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.
综上，实数a的取值范围为(−∞,0).
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若a=0，则f(x)=ex−ex，
则f′(x)=ex−e,f′(1)=0，
当x0,f(x)单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=0，无极大值.
(2)由题得f′(x)=ex−2ax+a−e，
设g(x)=ex−2ax+a−e，
则g′(x)=ex−2a.
若a=0，则f(1)=0，
故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点.
若a0，
故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增.
又g(0)=1+a−e0，
所以存在x0∈(0,1)，使gx0=0.
故当x∈0,x0时，f′(x)0,f(x)单调递增.
因为f(0)=1，f(1)=0，
所以当a0，由(1)得当x∈(0,1)时，ex>ex.
则f(x)=ex+(a−e)x−ax2
>ex+(a−e)x−ax2=ax−x2>0，
此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.
综上，实数a的取值范围为(−∞,0).x
4
5
6
7
8
y
5
4
2
3
1
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
锻炼人次
空气质量等级
[0, 200]
(200, 400]
(400, 600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
人次≤400
人次>400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100
人次≤400
人次>400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100
X
0
1
2
3
P
164
964
2764
2764
X
0
1
2
3
P
164
964
2764
2764