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2020-2021学年甘肃省天水高二(下)期中考试数学(文)试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年甘肃省天水高二(下)期中考试数学(文)试卷人教A版,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 函数fx=x⋅csx的部分图象的大致形状是( )
A.B.
C.D.
2. 已知i为虚数单位,z⋅21−i=1+2i,则复数z的虚部是( )
A.32B.32iC.12iD.12
3. 曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率为( )
A.1B.2C.−1D.−2
4. 若x,y满足x24+y23=1,则z=x+3y的最小值是( )
A.13B.−13C.15D.−15
5. 已知P(x, y)在椭圆x216+y29=1上,则x+y的最大值为( )
A.3B.4C.5D.6
6. 已知复数z=−1+2i2+i,则复数z的虚部为( )
A.iB.−iC.1D.−1
7. 已知集合A=1,2,3,4,B=x|−1≤x≤3,则A∩B=( )
A.x|10,3x,x≤0,则ff0等于( )
A.−3B.0C.1D.3
9. 在△ABC中,若b3csB=asinA,则csB等于( )
A.−12B.12C.−32D.32
10. △ABC中, a=2,b=3,C=π4,则△ABC的面积等于( )
A.322B.32C.3D.332
11. 已知x>0,y>0,若xy=3,则x+y的最小值为( )
A.3B.2C.23D.1
12. 已知向量a→=1,2,b→=−4,m,若a→与b→垂直,则实数m=( )
A.2B.−2C.−8D.8
二、填空题
已知fx=−12x2+2xf′2019−2019lnx,则f′1=________.
三、解答题
已知曲线C1的参数方程为x=4+5csty=5+5sint (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1,C2的方程化成普通方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ>0, 0≤θ0.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
暂无
【解答】
解:因为z=1−i1+2i2=32+12i,
所以z的虚部是12.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:y=xlnx的导函数为y′=1+lnx,
令x=e,求得斜率k=lne+1=2.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的参数方程
三角函数的最值
【解析】
写出椭圆的参数方程x=2csθy=3sinθθ∈[0,2π),结合三角函数的最值,即可求出结果.
【解答】
解:因为x,y满足x24+y23=1,
所以椭圆的参数方程为x=2csθ,y=3sinθθ∈[0,2π),
所以z=x+3y=2csθ+3sinθ=13sinθ+φ,其中tanφ=23,
所以z的最小值为−13.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
椭圆的参数方程
【解析】
先根据椭圆方程设出x=4csθ,y=3sinθ,表示出x+y,利用两角和公式化简整理后,根据正弦函数的性质求得x+y的最大值.
【解答】
解:∵ P(x, y)是椭圆x216+y29=1上的一个动点,
设x=4csθ,y=3sinθ,
∴ x+y=4csθ+3sinθ=5sin(θ+φ).
∴ 最大值为5.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:由题意得,z=−1+2i2−i2+i2−i=−2+4i+i−2i25=i,
则复数z的虚部为1.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
集合的含义与表示象限角、轴线角函数奇偶性的性质与判断 .
【解答】
解:因为集合A=1,2,3,4,B=x|−1≤x≤3,
所以A∩B=1,2,3 .
故选C .
8.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
根据分段函数解析式求解即可.
【解答】
解:因为f(x)=lg5x,x>0,3x,x≤0,
所以f(0)=30=1,
所以ff(0)=f1=lg51=0.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由csA=−12,可得A的值,再由正弦定理求得sinB的值,可得B的值.
【解答】
解:若b3csB=asinA,
则由正弦定理得sinB3csB=sinAsinA,
所以sinBcsB=3,
所以tanB=3,
因为00,
∴ x+y≥2xy,当且仅当x=y时取等号.
由题知xy=3,
∴ x+ymin=23.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
本题考察平面向量垂直的坐标运算,主要是套用公式即可.
【解答】
解:∵a→与b→垂直,
那么根据两个向量垂直的坐标运算知
−4+2m=0,
解之得m=2.
故选A.
二、填空题
【答案】
2020
【考点】
导数的运算
【解析】
求导,令x=2019,求出f′2019=2020,代入导函数中,即可得到答案.
【解答】
解:函数的导数f′x=−x+2f′2019−2019x,
则f′2019=−2019+2f′2019−1,
∴ f′2019=2020,
∴ f′x=−x+4040−2019x,
则f′1=−1+4040−2019=2020.
故答案为:2020.
三、解答题
【答案】
解:(1)由x=4+5cst,y=5+5sint,
得x−4=5cst,y−5=5sint,
平方作和得(x−4)2+(y−5)2=25.
由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2−2y=0.
∴ C1的普通方程为(x−4)2+(y−5)2=25,
C2的普通方程为x2+y2−2y=0.
(2)联立(x−4)2+(y−5)2=25,x2+y2−2y=0,
解得:x=0,y=2 或x=1,y=1.
∴ C1与C2交点的坐标为(0, 2),(1, 1).
化极坐标为:(2, π2),(2,π4).
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
(1)把给出的参数方程移项后两边平方作和即可化为普通方程;把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ,利用ρ2=x2+y2,ρsinθ=y即可化极坐标方程为普通方程;
(2)联立方程组求解交点的直角坐标,然后直接化为极坐标.
【解答】
解:(1)由x=4+5cst,y=5+5sint,
得x−4=5cst,y−5=5sint,
平方作和得(x−4)2+(y−5)2=25.
由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2−2y=0.
∴ C1的普通方程为(x−4)2+(y−5)2=25,
C2的普通方程为x2+y2−2y=0.
(2)联立(x−4)2+(y−5)2=25,x2+y2−2y=0,
解得:x=0,y=2 或x=1,y=1.
∴ C1与C2交点的坐标为(0, 2),(1, 1).
化极坐标为:(2, π2),(2,π4).
【答案】
解:(1)根据列联表,计算,
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=200×90×30−10×702100×100×160×40=12.5>6.635,
所以有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关.
(2)从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天,
则从出现“日落云里走”的天气中应抽取1天,
从未出现“日落云里走”的天气中应抽取3天,
随机抽出2天,总的情况数为6种,仅有1天出现“日落云里走”的情况数为3种,
所以根据古典概型的公式得P=36=12 .
【考点】
独立性检验
古典概型及其概率计算公式
分层抽样方法
【解析】
【解答】
解:(1)根据列联表,计算,
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=200×90×30−10×702100×100×160×40=12.5>6.635,
所以有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关.
(2)从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天,
则从出现“日落云里走”的天气中应抽取1天,
从未出现“日落云里走”的天气中应抽取3天,
随机抽出2天,总的情况数为6种,仅有1天出现“日落云里走”的情况数为3种,
所以根据古典概型的公式得P=36=12 .
【答案】
(1)证明:∵ PA⊥平面ABCD,
∴ PA⊥BC.
又底面ABCD为正方形,
∴ BC⊥AB.
∵ PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AB∩PA=A,
∴ BC⊥平面PAB.
∵ AE⊂平面PAB,
∴ BC⊥AE.
∵ PA=AB,E为PB中点,
∴ AE⊥PB.
∵ PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,
∴ AE⊥平面PBC.
又AE⊂平面AEF,
∴ 平面AEF⊥平面PBC.
(2)解:∵ AD//BC,AD=BC,
∴ VB−PCD=VA−PCD.
又VA−PCD=VP−ACD,
∴ VB−PCD=VP−ACD=13×12×4×4×4=323.
∵ S△PCD=12×42×4=82,
∴ 四棱锥B−PCD的高ℎ=3VB−PCDS△PCD=3282=22,
∴ 点B到平面PCD的距离为22.
【考点】
点、线、面间的距离计算
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明:∵ PA⊥平面ABCD,
∴ PA⊥BC.
又底面ABCD为正方形,
∴ BC⊥AB.
∵ PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AB∩PA=A,
∴ BC⊥平面PAB.
∵ AE⊂平面PAB,
∴ BC⊥AE.
∵ PA=AB,E为PB中点,
∴ AE⊥PB.
∵ PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,
∴ AE⊥平面PBC.
又AE⊂平面AEF,
∴ 平面AEF⊥平面PBC.
(2)解:∵ AD//BC,AD=BC,
∴ VB−PCD=VA−PCD.
又VA−PCD=VP−ACD,
∴ VB−PCD=VP−ACD=13×12×4×4×4=323.
∵ S△PCD=12×42×4=82,
∴ 四棱锥B−PCD的高ℎ=3VB−PCDS△PCD=3282=22,
∴ 点B到平面PCD的距离为22.
【答案】
解:(1)由ρ=6sinθ,得ρ2=6ρsinθ,
又x=ρcsθ,y=ρsinθ,
∴ x2+y2=6y,
即曲线C的直角坐标方程为x2+y−32=9,
点P的直角坐标为1,1.
(2)把直线l的方程代入C方程,整理得t2−32t−4=0,
Δ=−322−4×1×−4>0,
设A、B对应的参数分别是t1,t2,则t1t2=−4,
于是|PA|⋅|PB|=|t1|⋅|t2|=|t1t2|=4.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的参数方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)由ρ=6sinθ,得ρ2=6ρsinθ,
又x=ρcsθ,y=ρsinθ,
∴ x2+y2=6y,
即曲线C的直角坐标方程为x2+y−32=9,
点P的直角坐标为1,1.
(2)把直线l的方程代入C方程,整理得t2−32t−4=0,
Δ=−322−4×1×−4>0,
设A、B对应的参数分别是t1,t2,则t1t2=−4,
于是|PA|⋅|PB|=|t1|⋅|t2|=|t1t2|=4.
【答案】
解:(1)f′x=ex+xex−1=exx+1−1,
令f′x=0,即exx+1=1,
当x=0时,exx+1=1,f′x=0,
当x0;
当x∈−1,0时,g′x0 .
故gx在−∞,−1,0,+∞上单调递增,在−1,0上单调递减.
∴ 极大值为g−1=12−1e,极小值为g0=0.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)f′x=ex+xex−1=exx+1−1,
令f′x=0,即exx+1=1,
当x=0时,exx+1=1,f′x=0,
当x0;
当x∈−1,0时,g′x0 .
故gx在−∞,−1,0,+∞上单调递增,在−1,0上单调递减.
∴ 极大值为g−1=12−1e,极小值为g0=0.
【答案】
解:(1)∵ 2c=|F1F2|=4,
∴ c=2,
∴ |PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=8,
∴ a=4,
∴ b2=a2−c2=16−4=12,
∴ 此椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)设PF1=x,则PF2=8−x.
在△PF1F2中,
PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2⋅cs∠PF1F2,
∴ 8−x2=x2+16−2x⋅4×−12,
∴ x=125,
∴ S△PF1F=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=1235.
【考点】
椭圆的标准方程
正弦定理
余弦定理
椭圆的定义
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解:(1)∵ 2c=|F1F2|=4,
∴ c=2,
∴ |PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=8,
∴ a=4,
∴ b2=a2−c2=16−4=12,
∴ 此椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)设PF1=x,则PF2=8−x.
在△PF1F2中,
PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2⋅cs∠PF1F2,
∴ 8−x2=x2+16−2x⋅4×−12,
∴ x=125,
∴ S△PF1F=12PF1⋅F1F2⋅sin∠PF1F2=1235.
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