2020-2021学年河南省周口高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省周口高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知函数fx=2x2−1的图象上一点1,1及邻近一点1+Δx,1+Δy，则ΔyΔx等于（ ）
A.4B.2Δx+4C.4+ΔxD.4Δx+Δx2

2. i是虚数单位，复数1−3i1−i的共轭复数是( )
A.2+iB.2−iC.−1+2iD.−1−2i

3. 若fx=2xf′1+x2，则 f′(1) 等于( )
A.2 B.0 C.−2 D.−4

4. 由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形的面积为（ ）
A.112B.14C.13D.712

5. 我校崇德楼共有4层，每层均有两个楼梯，由一楼到四楼的走法有（ ）
A.6种B.8种C.16种D.24种

6. 2x−110=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a1+a2+⋯+a9+a10的值为（ ）
A.−20B.−1C.0D.1

7. 现有5人排成一排，要求甲乙两人之间至多有1人，则不同的排法有（ ）种．
A.84B.72C.96D.48

8. 为提高市区的防疫意识，某医院从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，则防控宣传组既有男医生又有女医生的概率为（ ）
A.57B.67C.1235D.2435

9. 某产品的销售收入y1（万元）是产量 x（千台）的函数：y1=17x2，生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数： y2=2x3−x2x>0，为使利润最大，应生产( )
A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台

10. 若函数f(x)=x2+ax+1x在[13, +∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[−1, 0]B.[0, 253]C.[253, +∞)D.[9, +∞)

11. 已知圆M：(x−2)2+y2=4，则过点(1, 1)的直线中被圆M截得的最短弦长为22．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，过AC1的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为( )
A.πB.4πC.5πD.6π

12. 已知函数fx=3x+4lnx−x−a−1至少有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.[1,+∞)B.[1,4ln3−2)C.2,4ln2−12D.[1,4ln3−3]
二、填空题

若(x−ax)n展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为15，则实数a的值是________．
三、解答题

当实数a为何值时，z=a2−2a+a2−3a+2i．
(1)为纯虚数；

(2)对应的点在第一象限内．

已知函数fx=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′x是奇函数．
(1)求a，b的值；

(2)求gx在区间1,2上的最大值与最小值．

在数列an中，a1=12，an+1=3anan+3，求a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

在(2x−1x)6的展开式中，
(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项及项数．

已知函数f(x)=12x2−alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当x>1时，12x2+lnx0，
则f′(x) =−6x2 +36x(x>0)，
令f′x>0，解得00,
∴ a2,a2,
∴ a2．
∴ a的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞)．
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的基本概念
【解析】


【解答】
解：(1)z为纯虚数，
a2−2a=0,a2−3a+2≠0,
即a=0或a=2,a≠1且a≠2.
故a=0．
(2)z对应的点在第一象限，
则a2−2a>0,a2−3a+2>0,
∴ a2,a2,
∴ a2．
∴ a的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞)．
【答案】
解：(1)因为f′x=3ax2+2x+b，
所以gx=fx+f′x=ax3+3a+1x2+b+2x+b．
因为gx是奇函数，
所以g−x=−gx恒成立，
从而3a+1=0，b=0，
解得a=−13，b=0．
(2)由(1)知gx=−13x3+2x，
所以g′x=−x2+2，
令g′x=0．
解得x=−2（舍去）或x=2，
而g1=53，g2=423，g2=43，
因此gx在区间1,2上的最大值为g2=423，
最小值为g2=43．
【考点】
函数奇偶性的性质
导数的运算
利用导数研究函数的最值
【解析】


【解答】
解：(1)因为f′x=3ax2+2x+b，
所以gx=fx+f′x=ax3+3a+1x2+b+2x+b．
因为gx是奇函数，
所以g−x=−gx恒成立，
从而3a+1=0，b=0，
解得a=−13，b=0．
(2)由(1)知gx=−13x3+2x，
所以g′x=−x2+2，
令g′x=0．
解得x=−2（舍去）或x=2，
而g1=53，g2=423，g2=43，
因此gx在区间1,2上的最大值为g2=423，
最小值为g2=43．
【答案】
解：a1=12=36，a2=37，a3=38，a4=39，
猜想an=3n+5，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=31+5=12，猜想成立．
②假设当n=kk≥1,k∈N∗时猜想成立，
即ak=3k+5，
则当n=k+1时，
ak+1=3akak+3=3⋅3k+53k+5+3=3k+1+5，
∴当n=k+1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N∗，an=3n+5都成立．
【考点】
数列递推式
数学归纳法
【解析】

【解答】
解：a1=12=36，a2=37，a3=38，a4=39，
猜想an=3n+5，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=31+5=12，猜想成立．
②假设当n=kk≥1,k∈N∗时猜想成立，
即ak=3k+5，
则当n=k+1时，
ak+1=3akak+3=3⋅3k+53k+5+3=3k+1+5，
∴当n=k+1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N∗，an=3n+5都成立．
【答案】
解：(1)第3项的二项式系数为C62=15，
第三项的系数为T3=C62⋅24⋅(−1)2=240．
(2)通项公式为Tk+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x3−r，
令3−r=2，可得r=1，
故含x2的项为第2项，且T2=−192x2．
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
（1）由条件利用二项式展开式的通项公式，第r+1项的二项式系数的定义、第r+1项的系数的定义，求得第3项的二项式系数及系数．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．
【解答】
解：(1)第3项的二项式系数为C62=15，
第三项的系数为T3=C62⋅24⋅(−1)2=240．
(2)通项公式为Tk+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x3−r，
令3−r=2，可得r=1，
故含x2的项为第2项，且T2=−192x2．
【答案】
(1)解：依题意知函数的定义域为(0, +∞)，因为f′(x)=x−ax，
①当a≤0时，f′(x)=x−ax>0，所以f (x)的单调递增区间为(0, +∞).
②当a>0时，因为f′(x)=x−ax=x2−ax=(x−a)(x+a)x，
令f′(x)>0，有x>a，所以函数f (x)的单调递增区间为(a, +∞)；
令f′(x)g(1)=23−12>0，
所以当x>1时，12x2+lnx0，所以f (x)的单调递增区间为(0, +∞).
②当a>0时，因为f′(x)=x−ax=x2−ax=(x−a)(x+a)x，
令f′(x)>0，有x>a，所以函数f (x)的单调递增区间为(a, +∞)；
令f′(x)g(1)=23−12>0，
所以当x>1时，12x2+lnx