2015年成都市西川中学中考模拟数学试卷

这是一份2015年成都市西川中学中考模拟数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一元二次方程 xx−3=3−x 的根是
A. −1B. 3C. −1 和 3D. 1 和 2

2. 将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是
A. B.
C. D.

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为 D．若 AC=2，BC=1，则 sin∠ACD=
A. 53B. 255C. 52D. 23

4. 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为
A. 4.8 米B. 6.4 米C. 9.6 米D. 10 米

5. 若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一定是
A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形D. 对角线相等的四边形

6. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+k=0m≠0 有两个实数根，则下列关于判别式 n2−4mk 的判断正确的是
A. n2−4mk0D. n2−4mk≥0

7. 已知 x1,−1，x2,−12，x3,2 三点都在函数 y=4x 的图象上，则下列关系式正确的是
A. x3>x2>x1B. x1>x2>x3C. x1>x3>x2D. x3>x1>x2

8. 在 △ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 sinA=12，csB=32，AC=40，则 △ABC 的面积是
A. 800B. 8003C. 400D. 4003

9. 函数 y=ax2+c 和 y=axa≠0,c≠0 在同一坐标系里的图象大致是
A. B.
C. D.

10. 某舰艇以 28 海里/小时向东航行．在 A 处测得灯塔 M 在北偏东 60∘ 方向，半小时后到 B 处．又测得灯塔 M 在北偏东 45∘ 方向，此时灯塔与舰艇的距离 MB 是 海里．
A. 73+1B. 142C. 72+6D. 14

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 点 A3,−2 关于 y 轴的对称点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，则 B 点的坐标为 ；k= ．

12. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年 10 月份的 7000 元/m2 下降到 12 月份的 5670 元/m2，则 11，12 两月平均每月降价的百分率是 ．

13. 已知关于 x 的方程 a−1x2−2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 ．

14. 若抛物线 y=ax2+c 与 y=2x2 的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是 0,−2，则该抛物线的函数表达式是 ．

15. 如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，csA=35，则 tan∠BDE 的值是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
16. （1）解方程：x2−4x+1=0；
（2）计算：−sin230∘+2−1−1−2cs45∘⋅tan45∘；
（3）计算：2+12−1−2sin60∘+∣tan60∘−2∣．

17. 已知一水坝的横断面是梯形 ABCD，下底 BC 长 14 m，斜坡 AB 的坡度为 3:3，另一腰 CD 与下底的夹角为 45∘，且长为 46 m，求它的上底的长（精确到 0.1 m）（2≈1.414，3≈1.732）．

18. 某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码 B1，B2，B3 表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码 J1，J2，J3 表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签．
（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结果；
（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标为“1”）均为奇数的概率．

19. 如图，已知反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 12,8，直线 y=−x+b 经过该反比例函数图象上的点 Q4,m．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与 x 轴、 y 轴分别相交于 A，B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P，连接 OP，OQ，求 △OPQ 的面积．

20. 如图，已知线段 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD 上一动点．
（1）若 BK=52KC，求 CDAB 的值；
（2）连接 BE，若 BE 平分 ∠ABC，则当 AE=12AD 时，猜想线段 AB，BC，CD 三者之 间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当 AE=1nADn>2，而其余条件不变时，线段 AB，BC，CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 小明为研究反比例函数 y=2x 的图象，在 −2，−1，1 中任意取一个数为横坐标，在 −2，−1，2 中任意取一个数为纵坐标组成点 P 的坐标，点 P 在反比例函数 y=2x 的图象上的概率是 ．

22. 如图，DE 是 △ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM 的延长线交 AB 于 N，那么 S△DMN:S四边形ANME= ．

23. 如图，等边 △OAB 和等边 △AFE 的一边都在 x 轴上，双曲线 y=kxk>0 经过边 OB 的中点 C 和 AE 的中点 D．已知等边 △OAB 的边长为 4，则等边 △AEF 的边长为 ．

24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠DBC=45∘，DE⊥BC 于 E，BF⊥CD 于 F，DE，BF 相交于 H，BF，AD 的延长线相交于 G，下面结论：① BD=2BE；② ∠A=∠BHE；③ AB=BH；④ △BHD∽△BDG；⑤ BH=HG．其中正确的结论是 ．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知反比例函数 y=2kxk≠0 满足：当 x0，
∴ 函数图象的两个分支分别位于一三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小．
∵−1x2．
∵2>0，
∴x3>0，
∴x3>x1>x2．
8. D【解析】如图所示，过 C 作 CD⊥AB，
∵ 在 △ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 sinA=12，csB=32，
∴ ∠A=∠B=30∘，
∴ BC=AC，
∴ D 为 AB 中点，
在 Rt△ACD 中，AC=40，
∴ CD=12AC=20，
根据勾股定理得：AD=AC2−CD2=203，
∴ AB=2AD=403，
则 S△ABC=12AB⋅CD=4003．
9. B【解析】由A，D 中的二次函数图象可得 a>0，c=0，
∵y=axa≠0,c≠0，故A，D错误；
由B，C中的二次函数图象可得 a0，
∴y=axa≠0,c≠0 的图象在二，四象限内，故 C 错误，B 正确．
10. C
【解析】作 MC⊥AB，垂足为 C，如图，
∵∠MBC=45∘，
∴∠BMC=45∘，
设 BC=CM=a，
在 Rt△ACM 中，MCAC=tan30∘，
则 aa+14=33，
解得，a=73+7．
经检验，a=73+7 是方程的解，且符合题意，
则 MB=2a=76+2．
第二部分
11. −3,−2，6
【解析】点 A3,−2 关于 y 轴的对称点 B 的坐标为 −3,−2，
而点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=−3×−2=6．
12. 10%
【解析】设 11，12 两月平均每月降价的百分率是 x，则 11 月份的成交均价是 7000−7000x=70001−x，12 月份的成交均价是 70001−x1−x=70001−x2，
由题意，得
70001−x2=5670，
∴1−x2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
13. a≤2
【解析】∵ 关于 x 的方程 a−1x2−2x+1=0 有实数根，
∴Δ≥0，即 4−4a−1≥0 得，a≤2，且 a−1≠0，a≠1；
∴a 的取值范围为 a≤2 且 a≠1．
当 a=1 时为一元一次方程，方程有一根．
综上可知 a 的取值范围为 a≤2．
14. y=−2x2−2
【解析】根据题意得：抛物线解析式为：y=−2x2+c，把 0,−2 代入得：c=−2，则该抛物线解析式为 y=−2x2−2．
15. 12
【解析】∵DE⊥AB，csA=35，
∴AEAD=35．
故设 AD=5x，则 AE=3x．
在 Rt△ADE 中，由勾股定理得到：DE=AD2−AE2=4x．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB，
∴BE=AB−AE=2x，
∴tan∠BDE=2x4x=12．
第三部分
16. （1）
x2−4x+4=3.x−22=3.x−2=±3.
所以
x1=2+3,x2=2−3.
（2） 原式=−122+12−1−2×22×1=−14+2+1−2=34.
（3） 原式=2+2−2×32+2−3=4+2−23.
17. 过点 D 作 DF⊥BC，过点 A 作 AE⊥BC，如图，
∵CD 与 BC 的夹角为 45∘，
∴∠DCF=45∘，
∴∠CDF=45∘，
∵CD=46 m，
∴DF=CF=462=43m，
∴AE=DF=43 m，
∵ 斜坡 AB 的坡度为 3:3，
∴tan∠ABE=AEBE=33=3，
∴BE=4 m，
∵BC=14 m，
∴EF=BC−BE−FC=14−4−43=10−43m,
∵AD=EF，
∴AD=10−43≈3.1m．
答：它的上底长为 3.1 m．
18. （1）
（2） 共有 9 种等可能的情况，下标均为奇数的情况有 4 种，
所以小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率为 49．
19. （1） 把点 12,8 代入反比例函数 y=kxk≠0，得 k=12×8=4，
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x；
又 ∵ 点 Q4,m 在该反比例函数图象上，
∴4⋅m=4，
解得 m=1，即 Q 点的坐标为 4,1，
而直线 y=−x+b 经过点 Q4,1，
∴1=−4+b，
解得 b=5，
∴ 直线的函数表达式为 y=−x+5．
（2） 联立 y=−x+5,y=4x,
解得 x=4,y=1 或 x=1,y=4,
∴P 点坐标为 1,4，
对于 y=−x+5，令 y=0，得 x=5，
∴A 点坐标为 5,0，
∴S△OPQ=S△AOB−S△OBP−S△OAQ=12×5×5−12×5×1−12×5×1=152.
20. （1） ∵AB∥CD，
∴∠KAB=∠KDC．
又 ∠AKB=∠DKC，
∴△AKB∽△DKC．
∴BKKC=ABCD．
∵BK=52KC，
∴ABCD=52．
∴CDAB=25．
（2） （i）猜想：AB=BC+CD．
如图，分别延长 BE，DC 相交于点 F．
∵AB∥DF，
∴∠ABE=∠DFE．
∵AE=12AD，
∴AE=ED．
又 ∠AEB=∠DEF，
∴△AEB≌△DEF AAS．
∴AB=FD．
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
∴∠CFE=∠EBC．
∴FC=BC．
∴AB=FD=FC+CD=BC+CD．
同理，当 AE=1nAD（n＞2）时，过 E 作 EF∥AB 交 BC 于 G ，交 BD 于 F .
同理可得：BGBC=AEAD=1n．
则 BG=1n⋅BC，则 EG=BG=1n⋅BC．
GFCD=BGBC=1n，则 GF=1n⋅CD，EFAB=EDAD=n−1n．
∴1n⋅BC+1n⋅CD=n−1n⋅AB，
∴BC+CD=n−1AB，
故当 AE=1nAD（n＞2）时，BC+CD=n−1AB．
第四部分
21. 13
【解析】画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，点 P 在反比例函数 y=2x 的图象上的有 3 种情况，
∴ 点 P 在反比例函数 y=2x 的图象上的概率是：39=13．
22. 1:5
【解析】连接 AM，如图，
∵DE 是中位线，M 是 DE 中点，
∴DM:BC=1:4，
∴DN:DB=1:3，AN:DN=2:1，
∴S△NDM:S△ANM=1:2．
∵S△ADM=S△AME，
∴S△NDM:S四边形ANME=1:5．
23. 45−8
【解析】过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，
∵ 点 C 是等边 △OAB 的边 OB 的中点，
∴OC=2，∠AOB=60∘，
∴OG=1，CG=OG⋅tan60∘=1×3=3，
∴ 点 C 的坐标是 1,3，
由 3=k1，得：k=3，
∴ 该双曲线的函数解析式为 y=3x，
设 AH=a，则 DH=3a．
∴ 点 D 的坐标为 4+a,3a，
∵ 点 D 是双曲线 y=3x 上的点，
由 xy=3，得 3a×4+a=3，
即：a2+4a−1=0，解得：a1=5−2，a2=−5−2（舍去），
∴AD=2AH=25−4，
∴ 等边 △AEF 的边长是 2AD=45−8．
24. ①②③
【解析】∵ ∠BDE=45∘，DE⊥BC，
∴ BD=2BE，BE=DE，
∵ DE⊥BC，BF⊥CD，
∴ ∠BEH=∠DEC=90∘，
∵ ∠BHE=∠DHF，
∴ ∠EBH=∠CDE，
在 △BEH 和 △DEC 中，
∠BEH=∠DEC,∠EBH=∠EDC,BE=DE,
∴ △BEH≌△DEC，
∴ ∠BHE=∠C，BH=CD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠C=∠A，AB=CD，
∴ ∠A=∠BHE，AB=BH，
∴ 正确的有①②③．
25. 0
【解析】∵ 反比例函数 y=2kx 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴k>0，
设 Px,y，则 xy=2k，y+x=3k，
∵x，y 为实数，x，y 可看作一元二次方程 m2−3km+2k=0 的两根，
∴Δ=3k2−8k≥0，解得 k≥83 或 k≤0（舍去），
又 OP2=x2+y2，
∴x2+y2=7，即 x+y2−2xy=7，
3k2−4k=7，
解得 k=−1或73，而 k≥83，
故不存在满足条件的 k．
第五部分
26. 如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=75∘−30∘=45∘，AC=35×40=1400（米），
∴ AD=AC⋅sin45∘=7002（米）．
在 Rt△ABD 中，∠B=30∘，AB=2AD=14002（米）．
又过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，
则 AE=PE⋅tan45∘=PE，BE=PE⋅tan60∘=3PE，
∴ 3+1PE=14002，
∴ PE=7006−2（米）．
答：A 庄与 B 庄的距离是 14002 米，山高是 7006−2 米．
27. （1） 如图 1，作 AM⊥OB 于点 M．
在 Rt△AOM 中，
∵∠OMA=90∘，OA=8，∠AOM=60∘，
∴OM=OA⋅cs∠AOM=8×12=4，AM=OA⋅sin∠AOM=8×32=43，
∴A4,43．
当 x=4，t=1 时，AD=1×1=1，OE=4×1=4，
∴D5,43，E4,0．
设经过 D，E 两点直线的解析式为 y=kx+b，则 5k+b=43,4k+b=0, 解得 k=43,b=−163,
∴ 经过 D，E 两点直线的解析式为 y=43x−163．
（2） ① 如图 2，作 CN⊥OB 于点 N，作 FG⊥OB 于点 G，
则 CN=AM=43．
∵ 四边形 AOBC 是菱形，∠AOB=60∘，
∴∠COB=30∘．
在 Rt△CON 中，
∵∠ONC=90∘，∠CON=30∘，
∴OC=2CN=83．
∵AC∥OB，
∴△OFE∽△CFD，
∴OFCF=OECD．
∵ 当 t=2 时，OE=2x，CD=AC−AD=8−1×2=6，
∴ OF83−OF=2x6，
∴OF=83xx+3，
∴FG=12OF=43xx+3．
∵S△OEF=12OE⋅FG，
∴y=12⋅2x⋅43xx+3=43x2x+3，
即函数 y 关于 x 的函数关系式为 y=43x2x+3．
②∵S△OBC=12⋅OB⋅CN=12×8×43=163，
∴8×43x2x+3=163，整理得 2x2−x−3=0，解得 x1=32，x2=−1（不合题意舍去），
∴OE=2x=2×32=3．
28. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+c 过 A−2,0 和 C0,−2，
∴4a+c=0,c=−2,
解得 a=12,c=−2,
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−2．
（2） 令 y=0，12x2−2=0，
解得 x1=2，x2=−2，
∴B2,0，
∵A−2,0，C0,−2，
∴OA=OB=OC=2，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45∘，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45∘，
如图 1，过点 P 作 PE⊥x 轴于 E，
则 △APE 为等腰直角三角形，
令 OE=a，
则 PE=a+2，
∴Pa,a+2，
∵ 点 P 在抛物线 y=12x2−2 上，
∴a+2=12a2−2，
解得 a1=4，a2=−2（不符合题意），
∴PE=6，
∴S四边形ACBP=12AB⋅OC+12AB⋅PE=12×4×2+12×4×6=16.
（3） 假设存在．
∵∠PAB=∠BAC=45∘，
∴PA⊥AC．
∵MG⊥x 轴于点 G，
∴∠MGA=∠PAC=90∘．
在 Rt△AOC 中，OA=OC=2，
∴AC=22，
在 Rt△PAE 中，AE=PE=6，
∴AP=62，
设 M 点的横坐标为 m，则 Mm,12m2−2，
①如图 2，
点 M 在 y 轴左侧时，则 m2，
（i）当 △AMG∽△PCA 时有 AGPA=MGCA，
∵AG=m+2，MG=12m2−2，
∴m+262=12m2−222，
解得 m1=−2（舍去），m2=83，
∴M83,149，
（ii）当 △MAG∽△PCA 时有 AGCA=MGPA，即 m+222=12m2−262，
解得：m1=−2（舍去），m2=8，
∴M8,30，
∴ 存在点 M，使以 A，M，G 三点为顶点的三角形与 △PCA 相似，M 点的坐标为 −4,6，83,149，8,30．