2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷2，共41页。
2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•余杭区期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
2．（2021秋•杭州期中）如图，点E，F在直线AC上，DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（　　）

A．∠D＝∠B B．AD＝CB C．AE＝CF D．AD∥BC
3．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，DE⊥AB于点E，则BE是AE的（　　）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
4．（2021秋•杭州期中）如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（　　）

A．15°≤a＜18° B．15°＜a≤18°
C．18°≤a＜22.5° D．18°＜a≤22.5°
5．（2021秋•杭州期中）已知∠MON＝20°，点A、B分别是射线OM、ON上的动点（A、B不与点O重合），若AB⊥OM，在射线ON上有一点C，设∠OAC＝x°，下列x的值不能使△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．20 B．45 C．50 D．125
6．（2021秋•西湖区校级期中）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021秋•西湖区校级期中）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S△ABC+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021秋•杭州期中）如图，在△ABC中高AD和BE交于点H，∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，下列结论：①∠DAC＝22.5°；②BH＝2CE；③若连接CH，则CH⊥AB；④若CD＝1，则AH＝2，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021秋•拱墅区校级期中）如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，则所有钢条的总长为（　　）

A．16 B．15 C．12 D．10
10．（2021秋•拱墅区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，CD⊥AB于D，则CD长为（　　）
A．4 B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•余杭区期中）如图BD是△ABC的一条角平分线，AB＝8，BC＝4，且S△ABC＝24，则△DBC的面积是　 　．

12．（2021秋•余杭区期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是　 　．

13．（2021秋•西湖区校级期中）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为　 　．
14．（2021秋•杭州期中）如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连接QE并延长交BP于点F，若FQ＝6，AE＝，则BP＝　 　．

15．（2021秋•拱墅区校级期中）如图所示，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．已知AB＝DE，AC＝DF，使△ABC≌△DEF还需要添加一个适当的条件　 　．（只需添加一个即可）

16．（2021秋•西湖区校级期中）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是　 　．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知线段a．
（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．

18．（2021秋•西湖区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：
（1）△ACF≌△ADF；
（2）CF＝CG；
（3）CE⊥AB．

19．（2021秋•杭州期中）如图，直线l表示一条公路，点A，B表示两个村庄，现要在公路l上建一个加油站P．
（1）加油站P到A，B两个村庄距离相等，用直尺（无刻度）和圆规在图1中作出P的位置
（2）若点A，B到直线l的距离分别是1m和4km，且A，B两个村庄之间的距离为5km，加油站P到A，B两个村庄之间的距离最小，在图2中作出P的位置（作图工具不限）最短距离为　 　km．

20．（2021秋•余杭区期中）如图，CA与CB是两条公路，点C，D处是两个村庄，现在要建一个菜场，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜场的位置，保留作图痕迹．（不写作法）

21．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）

22．（2021秋•西湖区校级期中）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC的度数；
（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．

23．（2021秋•拱墅区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B′处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C′处，CD与BE交于点F．
（1）求AC′的长度；
（2）求CE的长度；
（3）比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小，并说明理由．

24．（2021秋•杭州期中）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．


2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•余杭区期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由作一个角等于已知角的方法得到O′D′＝OD，O′C′＝OC，C′D′＝CD，利用SSS可得出△D′O′C′和△DOC全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出∠D′O′C′＝∠DOC，即可得到两三角形全等的依据为SSS．
【解答】解：在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠D′O′C′＝∠DOC．
则全等的依据为SSS．
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及作图﹣基本作图，全等三角形的判定方法有：ASA；SAS；SSS；AAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）．
2．（2021秋•杭州期中）如图，点E，F在直线AC上，DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（　　）

A．∠D＝∠B B．AD＝CB C．AE＝CF D．AD∥BC
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：A、添加∠D＝∠B可利用ASA判定△ADF≌△CBE，故此选项不合题意；
B、添加AD＝BC不能判定△ADF≌△CBE，故此选项符合题意；
C、添加AE＝CF可得AF＝CE，可利用SAS判定△ADF≌△CBE，故此选项不合题意；
D、添加AD∥BC可得∠A＝∠C，可利用AAS判定△ADF≌△CBE，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
3．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，DE⊥AB于点E，则BE是AE的（　　）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，从而可利用直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半求得AE＝AD，AD＝AB，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝AB，
∵DE⊥AB，∠BAD＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AB，
即BE＝3AE．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质的综合运用，能求出AD＝AB和AE＝AD是解此题的关键．
4．（2021秋•杭州期中）如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（　　）

A．15°≤a＜18° B．15°＜a≤18°
C．18°≤a＜22.5° D．18°＜a≤22.5°
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P3P5P4与∠A之间的关系，从而不难求解．
【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，
∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，
∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，
∵要使得这样的钢条只能焊上4根，
∴∠P5P4B＝5α°，
由题意，
∴18°≤α＜22.5°．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2021秋•杭州期中）已知∠MON＝20°，点A、B分别是射线OM、ON上的动点（A、B不与点O重合），若AB⊥OM，在射线ON上有一点C，设∠OAC＝x°，下列x的值不能使△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．20 B．45 C．50 D．125
【考点】等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的判定和性质定理，以及三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：如图，∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝20°，
∴∠ABO＝70°，
当△ABC为等腰三角形时，
①AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴x＝70﹣20＝50；
②CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝70°，
∴x＝90﹣70＝20；
③AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣70°）＝55°，
④AB＝BC′，
∴∠BAC′＝∠AC′B＝×70°＝35°，
∴∠OAC＝x°＝180°﹣20°﹣35°＝125°，
∴x＝125，
故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．
6．（2021秋•西湖区校级期中）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和已知求出∠C即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据三角形的内角和定理求出x，再求出∠C即可；
（4）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，再根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：（1）设三角形是△ABC，
∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
即当三角形的一个内角等于另外两个内角之和时，三角形是直角三角形；
（2）∵12+（）2＝（）2，
∴此三角形是直角三角形；
（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
∴∠C＝5x°＝75°，
即此时三角形不是直角三角形；
（4）如图，
∵CD为△ACB的中线，CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，
∴2∠ACD+2∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
即直角三角形有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行求解是解此题的关键．
7．（2021秋•西湖区校级期中）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S△ABC+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】综合题；三角形；运算能力；推理能力．
【分析】①由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a＝b时取等号）解答；
②、③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．
【解答】解：①如图，设等腰直角三角形△ABC和△CDE的直角边分别为a和b，
∴S△ABC＝a2，S△CDE＝b2，S梯形ABDE＝（a+b）2，
∴S△ACE＝S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE＝ab，
S△ABC+S△CDE＝（a2+b2）≥ab（a＝b时取等号），
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；
故本选项正确；
②∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，CD＝DE，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点M是AE的中点，
∴CM＝AE；
故本选项正确；
④如图，过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM＝DM；故本选项正确；
③又MN＝（AB+ED）＝（BC+CD），
∴∠BMD＝90°，
即BM⊥DM；故本选项正确．
故选：D．

【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．熟悉不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a＝b时取等号）是解决问题的关键．
8．（2021秋•杭州期中）如图，在△ABC中高AD和BE交于点H，∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，下列结论：①∠DAC＝22.5°；②BH＝2CE；③若连接CH，则CH⊥AB；④若CD＝1，则AH＝2，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由角平分线和直角三角形的性质得出①正确；由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出②正确；由三角形的高的性质得出③正确；由勾股定理和等腰三角形的性质得出④不正确，即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中高AD和BE交于点H，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝22.5°，
∴∠BAE＝∠BCE，
∴BA＝BC，
∵∠CBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠CBE＝22.5°，①正确；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵BA＝BC，BE平分∠ABC，
∴AE＝CE，
在△BDH和△ADC中，，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH＝AC＝2CE，②正确；
∵△ABC的高AD和BE交于点H，
∴E是△ABC的三条高的交点，
∴CH⊥AB，③正确；
∵△BDH≌△ADC，
∴DH＝CD＝1，
∴CH＝＝，
∵△ABC是等腰三角形，BA＝BC，BE平分∠ABC，
∴直线BE是△ABC的对称轴，
∴AH＝CH＝≠2，④不正确；
故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．（2021秋•拱墅区校级期中）如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，则所有钢条的总长为（　　）

A．16 B．15 C．12 D．10
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，可以求得每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与AP1相等，∠A＝15°，
∴∠AP2P1＝∠A＝15°，…，
∴从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是15°，第二个是30°，第三个是45°，第四个是60°，第五个是75°，第六个就不存在了，
∴一共有5根．
设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，
∵∠A＝15°，AP＝P1P2，
∴∠P2P1D＝30°，
∴P1D＝a，
∴P1P3＝a，
同理可得，P3P5＝a，
∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+2，
∴a+a+a＝4+2，
解得，a＝2，
∴所有钢条的总长为2×5＝10，
故选：D．

【点评】本题考查了三角形的内角和是180度、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，发现并利用规律是正确解答本题的关键．
10．（2021秋•拱墅区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，CD⊥AB于D，则CD长为（　　）
A．4 B． C． D．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：
由勾股定理得：AB＝＝＝13，
∵由三角形的面积公式得：S△ACB＝＝，
即AC×BC＝AB×CD，
∴5×12＝13×CD，
解得：CD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，能根据三角形的面积关系得出AC×BC＝AB×CD是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•余杭区期中）如图BD是△ABC的一条角平分线，AB＝8，BC＝4，且S△ABC＝24，则△DBC的面积是　8　．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，然根据△ABC的面积列式求出DF的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的一条角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝8，BC＝4，
∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝×8•DF+×4•DF＝24，
解得DF＝4，
∴△DBC的面积＝BC•DF＝×4×4＝8．
故答案为：8．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，作辅助线是利用角平分线的性质的关键，也是本题难点．
12．（2021秋•余杭区期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是　AC＝AD或BC＝BD　．

【考点】直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC＝BD．
【解答】解：添加AC＝AD或BC＝BD；理由如下：
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD或BC＝BD．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
13．（2021秋•西湖区校级期中）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为　4cm或2cm　．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】已知等腰三角形的周长，求三边，则需要列出所有的组合形式，然后根据三角形的构造条件判断哪些符合．
【解答】解：等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，三边的组合方式有以下几种：
①1cm，1cm，8cm；②2cm，2cm，6cm；③3cm，3cm，4cm；④4cm，4cm，2cm；
又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则③④符合．
它的三边长为3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm．
故它的底边长为4cm或2cm．
故答案为：4cm或2cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键；其中三边为整数也是非常重要的条件．
14．（2021秋•杭州期中）如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连接QE并延长交BP于点F，若FQ＝6，AE＝，则BP＝　4　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】连接EP，过点E作EM⊥BC，由题意可得△AQE≌△ABP，可得QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°，可求∠EBF＝∠BEF＝30°，根据勾股定理可求BE＝2EM＝2，BM＝EM，EF＝BF＝2FM，EM＝FM，可求BF＝EF＝2，EM＝，FM＝1，由QF＝6，EF＝2，可得BP＝EQ＝4．
【解答】解：如图：连接EP，过点E作EM⊥BC

∵△AEB，△APQ是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝2，AQ＝AP，∠ABE＝∠BAE＝∠QAP＝60°＝∠AEB，
∴∠BAP＝∠QAE且AQ＝AP，AB＝AE，
∴△ABP≌△QAE（SAS）
∴QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°，
∵∠AEQ＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠BEF＝∠EBF＝30°，
∴BF＝EF，∠EFM＝60°，
∵EM⊥BC，
∴∠FEM＝30°，
∴EF＝2FM＝BF，EM＝FM，
∵∠EBM＝30°，EM⊥BC，
∴BE＝2EM，BM＝EM，
∵EB＝2，
∴EM＝，BM＝3，
∵BF+FM＝BM
∴FM＝1，BF＝EF＝2，
∵QF＝EQ+EF
∴EQ＝6﹣2＝4，
∴QE＝BP＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
15．（2021秋•拱墅区校级期中）如图所示，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．已知AB＝DE，AC＝DF，使△ABC≌△DEF还需要添加一个适当的条件　∠A＝∠D　．（只需添加一个即可）

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是：∠A＝∠D，
理由是：∵在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：∠A＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键．
16．（2021秋•西湖区校级期中）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是　3或3或　．
【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】此题需先根据题意画出当AB＝AC时，当AB＝BC时，当AC＝BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
【解答】解：（1）当AB＝AC时，

∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝×6＝3；
（2）当AB＝BC时，

则∠A＝∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴CD＝cos∠BCD•BC＝cos30°×6＝3；
（3）当AC＝BC时，

则AD＝3，
∴CD＝tan∠A•AD＝tan30°×3＝．
故答案为：3或3或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知线段a．
（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．

【考点】勾股定理；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）过直线l上一点C作直线l的垂线l′，在直线l上截取CB＝a，然后以B点为圆心，a为半径画弧交直线l′于A，则△ABC满足条件；
（2）先利用勾股定理计算出AC，然后利用面积法计算AB边上的高．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；

（2）设AB边上的高为hcm，
∵AB＝2，BC＝AB＝1，
∴AC＝＝，
∵S△ABC＝•h•AB＝•AC•BC，
∴h＝＝，
即AB边上的高为cm．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理．
18．（2021秋•西湖区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：
（1）△ACF≌△ADF；
（2）CF＝CG；
（3）CE⊥AB．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACF≌△ADF；
（2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠ACF＝∠B，由外角的性质可得∠CFG＝∠CGF，可得CF＝CG；
（3）由直角三角形的性质可证∠ABC+∠BCE＝90°，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠BAG，
在△ACF和△ADF中，
，
∴△ACF≌△ADF（SAS）；
（2）∵△ACF≌△ADF，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC，
∴∠ACF＝∠B，
∵∠CFG＝∠ACF+∠CAG，∠CGF＝∠B+∠GAB，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∴∠ABC+∠BCE＝90°，
∴CE⊥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．（2021秋•杭州期中）如图，直线l表示一条公路，点A，B表示两个村庄，现要在公路l上建一个加油站P．
（1）加油站P到A，B两个村庄距离相等，用直尺（无刻度）和圆规在图1中作出P的位置
（2）若点A，B到直线l的距离分别是1m和4km，且A，B两个村庄之间的距离为5km，加油站P到A，B两个村庄之间的距离最小，在图2中作出P的位置（作图工具不限）最短距离为　　km．

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；点到直线的距离；作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出答案；
（2）利用对称点求最短路线的方法得出P点位置，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：点P即为所求；

（2）如图2所示：点P即为所求，
由题意可得：BC＝＝4，
最短距离为：A′B＝＝＝（km）．
故答案为：．

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握利用轴对称求最短路线的方法是解题关键．
20．（2021秋•余杭区期中）如图，CA与CB是两条公路，点C，D处是两个村庄，现在要建一个菜场，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜场的位置，保留作图痕迹．（不写作法）

【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】连接CD，作线段CD的垂直平分线EF，作∠ACB的角平分线CP，交EF于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：如图，点Q即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质解决问题．
21．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）

【考点】列代数式；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；
（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE＝360°﹣130°＝230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB＝（∠CBD+∠BCE）＝115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P＝∠A，即可得出结果；
（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB，同理可得：∴∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴（∠ACB+∠ABC）＝90°﹣∠A，
∵180°﹣∠BPC＝∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°﹣∠BPC＝∠A+∠ACB+∠ABC，180°﹣∠BPC＝∠A+90°﹣∠A，
∴∠BPC＝90°﹣∠A＝70°；
（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCF＝∠ACF，
∵∠PCF＝∠P+∠PBC，∠ACF＝∠A+∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
∴∠P＝∠A＝20°；
（4）若∠A＝β，在（1）中，∠P＝180°﹣（180°﹣β）＝90°+β；
在（2）中，同理得：∠P＝90°﹣β；
在（3）中同理得：∠P＝∠A＝β．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
22．（2021秋•西湖区校级期中）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC的度数；
（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．

【考点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线定理得出BD＝CD＝AD，求出∠DBA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
（2）由在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B，分别从①当AB＝AC时，∠B＝∠C，②当AB＝BC时，∠A＝∠C，③当AC＝BC时，∠A＝∠B，去分析求解即可求得答案．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，BD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠A＝∠DBA＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝35°+35°＝70°，即∠BDC＝70°；

（2）解：∵△ABC是等腰三角形，
①当AB＝AC时，∠B＝∠C，
∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴6∠C＝180°，
∴∠C＝30°；
②当AB＝BC时，∠A＝∠C，
∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴9∠B＝180°，
∴∠B＝20°，
∴∠C＝80°；
③当AC＝BC时，∠A＝∠B（此时不符合题意，舍去）．
故∠C＝30°或80°．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与分类讨论思想的应用．
23．（2021秋•拱墅区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B′处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C′处，CD与BE交于点F．
（1）求AC′的长度；
（2）求CE的长度；
（3）比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小，并说明理由．

【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）根据翻折可知：BC＝BC′即可求AC′的长度；
（2）设CE的长为x，根据翻折可得EC′＝EC，再根据勾股定理即可求CE的长度；
（3）根据翻折可得∠BCD＝45°，作DG⊥BC于点G，可得DG＝CG，再根据tan∠ABC＝＝＝，进而求得DG的长，再求△BDC和△BEC′的面积，进而可以比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小．
【解答】解：（1）根据翻折可知：BC＝BC′＝3，
∴AC′＝AB﹣BC′＝5﹣3＝2
答：AC′的长度为2．
（2）由折叠的性质可得：
∠AC′E＝∠BCE＝90°，CE＝C′E，
在Rt△AEC′中，AE＝AC﹣CE＝4﹣CE＝4﹣C′E，AC′＝2，根据勾股定理，得
22+C′E2＝（4﹣C′E）2，
∴EC′＝，
由折叠的性质得，CE＝C′E＝．
答：CE的长度为．
（3）
结论：S四边形EC′DF＜S△BCF，理由如下：
如图，作DG⊥BC于点G，DH⊥AC于点H，
由折叠得：∠DCB＝∠ACD＝45°
∴CD平分∠ACB，
∴DG＝DH，
∵S△ADC+S△CDB＝S△ABC，
∴AC•DH+BC•DG＝AC•BC，
∴4DG+3DG＝12，
∴DG＝
∴S△BDC＝BC•DG＝3×＝
S△BEC′＝S△BEC＝BC•CE＝×3×＝
∵＞
∴S△BDC＞S△BEC′
∵S△BDC＝S△BFC+S△BDF，
S△BEC′＝S四边形EC′DF+S△BDF，
∴S四边形EC′DF＜S△BCF．
【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是作适当的辅助线比较面积大小．
24．（2021秋•杭州期中）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可得出AD＝BE；
（2）设AE交BC于点H，由全等三角形的性质得出∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，证出∠AEB＝∠ACH＝90°，△CDE是等腰直角三角形，得出CM＝DM＝ME＝7，得出DE＝2CM＝14，求出AE＝24，由勾股定理即可得出答案；
（3）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠CDM＝∠CEM＝30°．∠CMD＝90°，DM＝EM．由直角三角形的性质和三角函数定义求出DE＝2DM＝2b．BE＝a．即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝26；
（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴BE＝＝＝a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝a+2b．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和三角函数定义，证明三角形全等是解题的关键．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
4．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
5．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
6．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
14．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
15．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
20．三角形综合题
三角形综合题．
21．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．　　（3）作已知线段的垂直平分线．　　（4）作已知角的角平分线．　　（5）过一点作已知直线的垂线．
22．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
24．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．