2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期中典型试卷2，共30页。
A．5x+yB．5x+yC．x+yD．（5x+y）
2．（2021秋•拱墅区期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下面的关系式中正确的个数为（ ）
①a+b＞0；②b﹣a＞0；③＞；④|a|＜|b|
A．1B．2C．3D．4
3．（2021秋•萧山区期中）如图，已知数轴上的五点A，O，B，C，D分别表示数﹣1，0，1，2，3，则表示|﹣3|的点P应落在线段（ ）
A．线段AO上B．线段OB上C．线段BC上D．线段CD上
4．（2021秋•西湖区校级期中）如图，四个有理数在数轴上的对应点A，B，C，D，若点A，B表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
5．（2021秋•西湖区校级期中）下列说法中，正确的有（ ）
①1.20万精确到百位；
②有理数和数轴上的点一一对应；
③在，﹣，0.1010010001，﹣，，中，无理数有2个；
④是一个一次二项式，它的两项分别是2m和．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2021秋•余杭区期中）数轴上表示﹣1的点A的位置应在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．7与8之间
7．（2021秋•上城区期末）下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；
②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；
③任何有理数小于或等于它的绝对值；
④绝对值最小的自然数是1．
A．①②B．①②③C．②③D．②③④
8．（2021秋•南沙区期中）如图，做一个试管架，在acm长的木条上钻4个圆孔，每个孔半径为2cm，则x＝（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
9．（2021秋•萧山区期中）一组按规律排列的单项式：﹣a2，3a4，﹣5a6，7a8，…．则第n（n为正整数）个式子表示最恰当的是（ ）
A．±（2n﹣1）a2nB．±（2n+1）a2n
C．（﹣1）n（2n﹣1）a2nD．（﹣1）n（2n+1）a2n
10．（2021秋•余杭区期中）在代数式（1）2a；（2）﹣3a；（3）|a|+3；（4）a2+1；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）中，值一定为正数的代数式的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•杭州期中）比较下列两数的大小：2 |3|，﹣3.14 ﹣π
12．（2021秋•西湖区校级期中）如图，点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是10．若点A对应的数是﹣1，则点B对应的数是 ．
13．（2021秋•拱墅区期中）以下5个等式：①a+b＝0；②；③ab＝0；④a2+b2＝0；⑤a2＝0，a是零的等式序号为 ．
14．（2021秋•萧山区期中）阅读下列运算程序，探究其运算规律：m△n＝a，且m△（n+x）＝a﹣x，（m+x）△n＝a+3x，若1△1＝﹣2，则1△2＝ ，2△1＝ ，20△19＝ ．
15．（2021秋•余杭区期中）定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为3n+5；
②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．
若n＝565，则第2021次“F运算”的结果是 ．
16．（2021秋•榆次区期末）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m为 ，第n个正方形的中间数字为 ．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•临安区期中）计算下列各题：
（1）（﹣2）3﹣（﹣13）÷（﹣）
（2）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|
18．（2021秋•拱墅区期中）计算：
（1）26+（﹣14）+（﹣16）+8；
（2）；
（3）．
19．（2021秋•余杭区期中）计算：
（1）﹣20+14﹣18+13；
（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）；
（3）（﹣）÷（﹣）；
（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）．
20．（2021秋•西湖区校级期中）已知，b＝﹣，c＝﹣|﹣4|，，e＝，请你列式表示上述5个数中“无理数的和”与“有理数的积”的差，并计算结果．
21．（2021秋•拱墅区期中）定义一种新运算，观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．
（1）请你想一想：a⊙b＝ ；
（2）若a≠b，那么a⊙b与b⊙a是否相等，请说明理由；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝1，b＝2．
22．（2021秋•拱墅区期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c，且|a+8|与（c﹣16）2互为相反数．
温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．
（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度．
（2）从此时刻开始，若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．
（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟内，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．请求出t的值及这个定值．
23．（2021秋•西湖区校级期中）2021年12月1日起，杭州将执行新的出租车运价，这也是杭州自2011年以来首次调整巡游出租车运价．出租车运价调整如下：
例：七年级学生小明早上8：00乘出租车到距离家5km的图书馆看书，
按现行运价付费：11+2.5×（5﹣3）＝16元；按调整后运价付费：13+2.5×（5﹣3）＝18元．
（1）某出租车司机在12月1日中午11：00至12：00之间一次载客行驶的里程为18km，按调整后运价，乘客要付车费多少元？
（2）某出租车司机在12月1日后非春节时段行驶路程为xkm（x＞3，x为整数），请用含x的代数式表示按调整后运价乘客需付车费多少元？
（3）小明计划在2021年春节期间的某天早上8：00从家出发到距离5km的图书馆看书，正常情况下，他乘出租车需要支付多少元？
24．（2021秋•余杭区期中）在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，
（1）当n＝1时，
①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能
A．在点A左侧或在A，B两点之间
B．在点C右侧或在A，B两点之间
C．在点A左侧或在B，C两点之间
D．在点C右侧或在B，C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；
（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、C、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a．
2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•余杭区期中）用代数式表示：“x的5倍与y的和的一半”可以表示为（ ）
A．5x+yB．5x+yC．x+yD．（5x+y）
【考点】列代数式．
【专题】实数；数感．
【分析】根据x的5倍与y的和先列式再求和的一半即可解决．
【解答】解：根据题意，得
（5x+y）
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意再列式．
2．（2021秋•拱墅区期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下面的关系式中正确的个数为（ ）
①a+b＞0；②b﹣a＞0；③＞；④|a|＜|b|
A．1B．2C．3D．4
【考点】实数与数轴．
【专题】实数．
【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：由题意，得
b＜0＜a，|b|＞|a|．
①a+b＜0故①错误；
②b﹣a＜0，故②错误；
③＞，故③正确；
④|a|＜|b|，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置得出a，b的关系是解题关键．
3．（2021秋•萧山区期中）如图，已知数轴上的五点A，O，B，C，D分别表示数﹣1，0，1，2，3，则表示|﹣3|的点P应落在线段（ ）
A．线段AO上B．线段OB上C．线段BC上D．线段CD上
【考点】实数的性质；实数与数轴．
【专题】实数；几何直观．
【分析】先估算出的范围，再估算的范围，即可解答．
【解答】解；∵2＜＜3，
∴，
∴0＜|﹣3|＜1，
∴表示|﹣3|的点P应落在线段线段OB上．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出的范围是解题关键．
4．（2021秋•西湖区校级期中）如图，四个有理数在数轴上的对应点A，B，C，D，若点A，B表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【考点】数轴；相反数；绝对值；有理数大小比较．
【专题】实数；应用意识．
【分析】先利用相反数的定义确定原点为线段AB的中点，则可判定点D到原点的距离最大，然后根据绝对值的定义可判定点D表示的数的绝对值最大．
【解答】解：∵点A，B表示的数互为相反数，
∴原点为线段AB的中点，
∴点D到原点的距离最大，
∴点D表示的数的绝对值最大．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了相反数．解决本题的关键是判断出原点的位置．
5．（2021秋•西湖区校级期中）下列说法中，正确的有（ ）
①1.20万精确到百位；
②有理数和数轴上的点一一对应；
③在，﹣，0.1010010001，﹣，，中，无理数有2个；
④是一个一次二项式，它的两项分别是2m和．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】近似数和有效数字；实数；实数与数轴；多项式．
【专题】实数；数感．
【分析】根据近似数，无理数的概念，实数与数轴的关系，多项式的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①1.20万精确到百位，原说法是正确的；
②实数与数轴上的点一一对应，原来的说法错误；
③在＝﹣2，﹣，0.1010010001，﹣，，＝2中，无理数有﹣，，一共2个，原说法是正确的；
④是一个一次二项式，它的两项分别是2m和﹣，原来的说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数，无理数的概念，实数与数轴的关系，多项式，是基本概念题，熟记概念是解题的关键．
6．（2021秋•余杭区期中）数轴上表示﹣1的点A的位置应在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．7与8之间
【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【分析】估算的大小，再估算﹣1的大小，进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴4﹣1＜﹣1＜5﹣1，
∴3＜﹣1＜4，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是正确解答的前提．
7．（2021秋•上城区期末）下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；
②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；
③任何有理数小于或等于它的绝对值；
④绝对值最小的自然数是1．
A．①②B．①②③C．②③D．②③④
【考点】正数和负数；有理数；相反数；绝对值．
【专题】实数；推理能力．
【分析】根据有理数的定义和分类，以及相反数、绝对值的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：∵一个数的绝对值是正数或0，
∴选项①不符合题意；
∵绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，
∴选项②符合题意；
∵任何有理数小于或等于它的绝对值，
∴选项③符合题意；
∵绝对值最小的自然数是0，
∴选项④不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的定义和分类，以及相反数、绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
8．（2021秋•南沙区期中）如图，做一个试管架，在acm长的木条上钻4个圆孔，每个孔半径为2cm，则x＝（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【考点】列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】利用木条的长a减去4个圆孔的直径，差是x的5倍，据此即可求得x的长．
【解答】解：依题意有x＝＝（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，正确理解木条的长a减去四个圆孔的直径，差是x的5倍是关键．
9．（2021秋•萧山区期中）一组按规律排列的单项式：﹣a2，3a4，﹣5a6，7a8，…．则第n（n为正整数）个式子表示最恰当的是（ ）
A．±（2n﹣1）a2nB．±（2n+1）a2n
C．（﹣1）n（2n﹣1）a2nD．（﹣1）n（2n+1）a2n
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；整式；数感；符号意识．
【分析】从已知单项式的系数符号、系数绝对值、字母指数三个方面寻找其与序数间的关系，从而得出答案．
【解答】解：∵第1个单项式﹣a2＝（﹣1）1•（2×1﹣1）•a2×1，
第2个单项式3a4＝（﹣1）2•（2×2﹣1）•a2×2，
第3个单项式﹣5a6＝（﹣1）3•（2×3﹣1）•a2×3，
第4个单项式7a8＝（﹣1）4•（2×4﹣1）•a2×4，
……
∴第n（n为正整数）个单项式为（﹣1）n（2n﹣1）a2n，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是将已知单项式分割，分别从系数符号、系数绝对值、字母指数三个方面寻找其与序数间的规律．
10．（2021秋•余杭区期中）在代数式（1）2a；（2）﹣3a；（3）|a|+3；（4）a2+1；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）中，值一定为正数的代数式的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】正数和负数；绝对值．
【专题】整式；数据分析观念．
【分析】根据平方数非负数和绝对值非负数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）2a值不一定是正数；
（2）﹣3a值不一定是正数；
（3）|a|≥0，所以|a|+3＞0，值一定是正数；
（4）a2+1值一定是正数；
（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）值不一定是正数；，
综上所述，值一定是正数的代数式有2个．
故选：C．
【点评】本题考查了偶次方非负数和绝对值非负数的性质，此类题目，也可以利用举特殊例子排除法求解．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•杭州期中）比较下列两数的大小：2 ＜ |3|，﹣3.14 ＞ ﹣π
【考点】绝对值；实数大小比较．
【专题】实数；推理能力．
【分析】求出|3|＝3，再比较即可；根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【解答】解：∵|3|＝3，
∴2＜|3|；
∵3.14＜π，
∴﹣3.14＞﹣π．
故答案为：＜，＞．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
12．（2021秋•西湖区校级期中）如图，点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是10．若点A对应的数是﹣1，则点B对应的数是 ﹣1 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；几何直观．
【分析】先求出AB的长，再设B点表示的数为x，根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．
【解答】解：∵正方形的面积是10，
∴AB＝．
设B点表示的数为x，
∵点A对应的数是﹣1，
∴x+1＝，
解得x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
13．（2021秋•拱墅区期中）以下5个等式：①a+b＝0；②；③ab＝0；④a2+b2＝0；⑤a2＝0，a是零的等式序号为 ②④⑤ ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用算术平方根的定义结合偶次方的性质分别分析得出答案．
【解答】解：①a+b＝0，a，b互为相反数即可，故a不一定是零，故此题错误；
②+＝0中，a一定都是零，故此题正确
③ab＝0，b有可能是零，故a不一定是零，故此题错误；
④a2+b2＝0，a，b一定都是零，故此题正确；
⑤a2＝0，a一定是零，故此题正确．
a是零的等式序号为②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点评】此题主要考查了算术平方根以及偶次方的性质，正确把握算术平方根的定义以及偶次方的性质是解题关键．
14．（2021秋•萧山区期中）阅读下列运算程序，探究其运算规律：m△n＝a，且m△（n+x）＝a﹣x，（m+x）△n＝a+3x，若1△1＝﹣2，则1△2＝ ﹣3 ，2△1＝ 1 ，20△19＝ 37 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】根据m△n＝a，且m△（n+x）＝a﹣x，（m+x）△n＝a+3x，可以求得所求式子的值
【解答】解：∵m△n＝a，且m△（n+x）＝a﹣x，（m+x）△n＝a+3x，
∴当1△1＝﹣2，则1△2＝1△（1+1）＝（﹣2）﹣1＝﹣3，2△1＝（1+1）△1＝（﹣2）+3×1＝（﹣2）+3＝1，
1△19＝1△（1+18）＝（﹣2）﹣18＝﹣20，则20△19＝（1+19）△19＝（﹣20）+3×19＝（﹣20）+57＝37，
故答案为：﹣3，1，37．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
15．（2021秋•余杭区期中）定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为3n+5；
②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．
若n＝565，则第2021次“F运算”的结果是 5 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；规律型；运算能力．
【分析】计算出n＝565时第1、2、3、4、5、6次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．
【解答】解：若n＝1，第一次结果为3n+1＝4，第2次“F运算”的结果是：4÷22＝1；
若n＝565，
第1次结果为：3n+5＝1700，
第2次“F运算”的结果是：＝425，
第3次结果为：3n+5＝1280，
第4次结果为：＝5，
第5次结果为：3n+5＝20，
第6次结果为：＝5，
…
可以看出，从第4次开始，结果就只是5，20两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是5，次数是奇数时，结果是20，
而2021次是偶数，因此最后结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化类，能根据所给条件得出n＝565时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
16．（2021秋•榆次区期末）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m为 29 ，第n个正方形的中间数字为 8n﹣3 ．（用含n的代数式表示）
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由前三个正方形可知：右上和右下两个数的和等于中间的数，根据这一规律即可求出m的值；
首先求得第n个的最小数为1+4（n﹣1）＝4n﹣3，其它三个分别为4n﹣2，4n﹣1，4n，由以上规律求得答案即可．
【解答】解：如图，
因此第4个正方形中间数字m为14+15＝29，
第n个正方形的中间数字为4n﹣2+4n﹣1＝8n﹣3．
故答案为：29，8n﹣3．
【点评】此题考查图形的变化规律，通过观察，分析、归纳发现数字之间的运算规律，并应用发现的规律解决问题．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•临安区期中）计算下列各题：
（1）（﹣2）3﹣（﹣13）÷（﹣）
（2）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）先算乘方，再算除法，最后算减法；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【解答】解：（1）（﹣2）3﹣（﹣13）÷（﹣）
＝﹣8﹣26
＝﹣34；
（2）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|
＝9﹣×﹣6÷
＝9﹣﹣9
＝﹣．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
18．（2021秋•拱墅区期中）计算：
（1）26+（﹣14）+（﹣16）+8；
（2）；
（3）．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）根据有理数的加减法法则，即可求解；
（2）先算乘方和绝对值，再利用分配律进行乘法运算，最后进行加减法运算，即可求解；
（3）先求算术平方根，立方根以及绝对值，再进行加减法运算，即可求解．
【解答】解：（1）原式＝34+（﹣30）
＝4；
（2）原式＝
＝﹣1﹣（14﹣20+36）+4
＝﹣1﹣30+4
＝﹣27；
（3）原式＝
＝
＝7．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握加减乘除乘方运算法则和求绝对值的运算法则，是解题的关键．
19．（2021秋•余杭区期中）计算：
（1）﹣20+14﹣18+13；
（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）；
（3）（﹣）÷（﹣）；
（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）从左向右依次计算即可．
（2）首先计算乘方、绝对值，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可．
（3）根据乘法分配律计算即可．
（4）首先计算乘方、开方和括号里面的运算，然后计算括号外面的除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）﹣20+14﹣18+13
＝﹣6﹣18+13
＝﹣24+13
＝﹣11．
（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）
＝2×÷（﹣）×2﹣（﹣9）
＝﹣4﹣（﹣9）
＝5．
（3）（﹣）÷（﹣）
＝（﹣）×（﹣36）
＝（﹣）×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）
＝9﹣21+20
＝8．
（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）
＝﹣1+8÷4﹣（﹣2+4）
＝﹣1+2﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．（2021秋•西湖区校级期中）已知，b＝﹣，c＝﹣|﹣4|，，e＝，请你列式表示上述5个数中“无理数的和”与“有理数的积”的差，并计算结果．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】首先判断出所给的5个数中，有理数、无理数各有哪些；然后列式表示上述5个数中“无理数的和”与“有理数的积”的差，并计算结果即可．
【解答】解：＝，a是有理数，
b＝﹣，b是无理数，
c＝﹣|﹣4|＝﹣4，c是有理数，
＝1+，d是无理数，
e＝＝3.4285，e是有理数，
所给的5个数中“无理数的和”是：
﹣+（1+）；
所给的5个数中“有理数的积”是：
×（﹣4）×；
它们的差是：
[﹣+（1+）]﹣[×（﹣4）×]
＝1+
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
21．（2021秋•拱墅区期中）定义一种新运算，观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．
（1）请你想一想：a⊙b＝ 4a+b ；
（2）若a≠b，那么a⊙b与b⊙a是否相等，请说明理由；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝1，b＝2．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【分析】（1）根据新定义的运算规则，即可得到答案；
（2）根据新定义的运算规则，分别得出a⊙b与b⊙a所对应的代数式，进而即可判断；
（3）根据新定义的运算规则，先化简，再代入求值，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：a⊙b＝4a+b，
故答案是：4a+b；
（2）a⊙b与b⊙a不相等，理由如下：
∵a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a，
∵a≠b，
∴a⊙b≠b⊙a；
（3）（a﹣b）⊙（2a+b）＝4（a﹣b）+（2a+b）
＝4a﹣4b+2a+b
＝6a﹣3b，
当a＝1，b＝2时，原式＝6×1﹣3×2＝0．
【点评】本题主要考查新定义下的整式的加减运算，掌握去括号法则与合并同类项法则，是解题的关键．
22．（2021秋•拱墅区期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c，且|a+8|与（c﹣16）2互为相反数．
温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．
（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 24 单位长度．
（2）从此时刻开始，若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶 2或4 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．
（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟内，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．请求出t的值及这个定值．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a＝﹣8，b＝16，再根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据时间＝路程和÷速度和，列式计算即可求解；
（3）由于PA+PB＝AB＝2，只需要PC+PD是定值，从快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开之间都满足PC+PD是定值，依此分析即可求解．
【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，
∴|a+8|+（b﹣16）2＝0，
∴a+8＝0，b﹣16＝0，
解得a＝﹣8，b＝16．
∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）＝24单位长度；
（2）（24﹣8）÷（6+2）
＝16÷8
＝2（秒）．
或（24+8）÷（6+2）＝4（秒）
答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；
（3）∵PA+PB＝AB＝2，
当P在CD之间时，PC+PD是定值4，
t＝4÷（6+2）
＝4÷8
＝0.5（秒），
此时PA+PC+PB+PD＝（PA+PB）+（PC+PD）＝2+4＝6（单位长度）．
故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．
故答案为：（1）24 （2）2或4
【点评】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间＝路程÷速度，根据数形结合的思想理解和解决问题．
23．（2021秋•西湖区校级期中）2021年12月1日起，杭州将执行新的出租车运价，这也是杭州自2011年以来首次调整巡游出租车运价．出租车运价调整如下：
例：七年级学生小明早上8：00乘出租车到距离家5km的图书馆看书，
按现行运价付费：11+2.5×（5﹣3）＝16元；按调整后运价付费：13+2.5×（5﹣3）＝18元．
（1）某出租车司机在12月1日中午11：00至12：00之间一次载客行驶的里程为18km，按调整后运价，乘客要付车费多少元？
（2）某出租车司机在12月1日后非春节时段行驶路程为xkm（x＞3，x为整数），请用含x的代数式表示按调整后运价乘客需付车费多少元？
（3）小明计划在2021年春节期间的某天早上8：00从家出发到距离5km的图书馆看书，正常情况下，他乘出租车需要支付多少元？
【考点】列代数式．
【专题】计算题；应用意识．
【分析】（1）根据调整后运价付费方式列出算式计算即可求解；
（2）分两种情况讨论即可求解；
（3）根据节日特别补偿费方式列出算式计算即可求解．
【解答】解：（1）13+2.5×（18﹣3）＝37.5（元）．
故按调整后运价，乘客要付车费37.5元；
（2）每日23：00至次日5：00期间里程费13+2.5（x﹣3）+0.8x＝（3.3x+5.5）元；
每日5：00至23：00期间里程费13+2.5（x﹣3）＝（2.5x+5.5）元；
（3）他乘出租车需要支付13+2.5×（5﹣3）+10＝28（元）．
故他乘出租车需要支付28元．
【点评】考查了列代数式，关键是理解调整后运价付费方式．
24．（2021秋•余杭区期中）在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，
（1）当n＝1时，
①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能 C
A．在点A左侧或在A，B两点之间
B．在点C右侧或在A，B两点之间
C．在点A左侧或在B，C两点之间
D．在点C右侧或在B，C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；
（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、C、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a．
【考点】数轴；列代数式．
【专题】图表型；分类讨论．
【分析】（1）把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（2）分两种情况讨论：当n为奇数时；当n为偶数时；用含n的代数式表示a即可．
【解答】解：（1）①把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，
∵a、b、c三个数的乘积为正数，
∴从而可得出在点A左侧或在B、C两点之间．
故选C；
②b＝a+1，c＝a+3，
当a+a+1+a+3＝a时，a＝﹣2，
当a+a+1+a+3＝a+1时，a＝﹣，
当a+a+1+a+3＝a+3时，a＝﹣；
（2）依据题意得，b＝a+1，c＝b+n+1＝a+n+2，d＝c+n+2＝a+2n+4．
∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
∴a+c＝0或b+c＝0．
∴a＝﹣或a＝﹣；
∵a为整数，
∴当n为奇数时，a＝﹣，当n为偶数时，a＝﹣．
【点评】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
5．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
6．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
7．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
8．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
9．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
10．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
11．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
12．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
13．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
14．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
15．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
16．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
17．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
18．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
19．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
20．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
21．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
22．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．现行运价
调整后运价
起步价
11元/3公里
13元/3公里
里程费
2.5元
2.5元
特别
补偿费
夜间
补偿费
无
每日23：00至次日5：00期间里程费上浮30%（每公里加收0.75元）
节日
特别补偿费
无
每年春节期间（年三十至初六共7天），每车次计价器外另加收10元
现行运价
调整后运价
起步价
11元/3公里
13元/3公里
里程费
2.5元
2.5元
特别
补偿费
夜间
补偿费
无
每日23：00至次日5：00期间里程费上浮30%（每公里加收0.75元）
节日
特别补偿费
无
每年春节期间（年三十至初六共7天），每车次计价器外另加收10元