粤教版 (2019)必修 第一册第五节 匀变速直线运动与汽车安全行驶学案及答案

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汽车行驶安全问题
1.反应时间及汽车的运动性质
(1)反应时间：从司机意识到应该停车至操作刹车的时间.
(2)反应时间内汽车的运动：汽车做匀速直线运动.
2.汽车的实际运动
汽车的实际运动分为两部分：在反应时间内的匀速直线运动和刹车后的匀减速直线运动.行驶的安全距离等于两部分位移之和.
判断下列说法的正误.
(1)喝酒后不允许开车.酒后驾车会延长刹车时间.( × )
(2)酒后驾驶会使反应距离在相同条件下明显增加.( √ )
(3)疲劳驾驶有可能会延长反应时间.( √ )
(4)行车途中要与前车保持一定的安全距离.( √ )
(5)安全距离就是刹车距离.( × )
一、汽车行驶安全问题
某平直公路上汽车驾驶员以v0＝20 m/s的速度匀速行驶，突然发现距离前方l＝120 m处有一障碍物，该驾驶员立即操纵刹车，直至汽车开始减速，所经历的时间(即反应时间)t0＝1 s，刹车后汽车以大小为a＝5.0 m/s2的恒定加速度运动，最终停止.求：
(1)刹车后汽车减速运动的时间t；
(2)该汽车停止时到障碍物的距离L；
(3)欲使该车不会撞到障碍物，汽车安全行驶的最大速度vm.
答案 (1)4 s (2)60 m (3)30 m/s
解析 (1)汽车的刹车时间：t＝eq \f(v0,a)＝eq \f(20,5.0) s＝4 s
(2)设汽车从发现障碍物到停止，前进的距离为：
s＝v0t0＋eq \f(v02,2a)＝20×1 m＋eq \f(202,2×5.0) m＝60 m
汽车停止时到障碍物的距离：L＝l－s＝60 m
(3)根据题意有：l＝vmt0＋eq \f(vm2,2a)
解得：vm＝30 m/s.
安全距离为汽车在反应时间内匀速运动的位移与做出刹车动作(刹车)后匀减速运动的位移之和；一般情况下求刹车位移必须先求刹车时间.
针对训练1 (多选)一辆汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前.假设驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车运动的v－t图像如图1所示.下列说法正确的是( )
图1
A.在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 m
B.从驾驶员发现情况到汽车停止运动，共行驶的距离为15 m
C.汽车刹车时的加速度大小为10 m/s2
D.从驾驶员发现情况到汽车停止运动的平均速度为6 m/s
答案 ABD
解析 汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离s1＝vt1＝10×0.5 m＝5 m，故A正确；根据v－t图像中图线与时间轴所围的“面积”表示物体通过的位移可知，从驾驶员发现情况到汽车停止运动，共行驶的距离s＝10×0.5 m＋eq \f(1,2)×10×(2.5－0.5) m＝15 m，故B正确；匀减速运动的加速度大小a＝|eq \f(Δv,Δt)|＝eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，故C错误；从驾驶员发现情况到汽车停止运动的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)＝eq \f(15,2.5) m/s＝6 m/s，故D正确.
二、追及相遇问题
1.追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题.
2.分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系.
(2)常用方法
平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲经过多长时间追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间经过多长时间有最大距离？这个距离为多少？
答案 (1)40 s 20 m/s 400 m (2)10 s 225 m
解析 (1)设甲经过时间t追上乙，则有s甲＝eq \f(1,2)a甲t2，s乙＝v乙t，根据追及条件，有eq \f(1,2)a甲t2＝s0＋v乙t，代入数据解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去)
这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s
甲离出发点的距离
s甲＝eq \f(1,2)a甲t2＝eq \f(1,2)×0.5×402 m＝400 m.
(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小，故当v甲＝v乙，甲、乙之间的距离达到最大值.由a甲t′＝v乙，得t′＝eq \f(v乙,a甲)＝eq \f(5,0.5) s＝10 s，即甲运动10 s时离乙的距离最大.
smax＝s0＋v乙t′－eq \f(1,2)a甲t′2＝200 m＋5×10 m－eq \f(1,2)×0.5×102 m＝225 m.
后面速度小的做匀加速直线运动的物体追前面速度大的匀速运动的物体，一定能追上.v后v前时两者距离逐渐减小，即当v后＝v前时，两者有最大距离.
针对训练2 (2021·宁夏育才中学高一上学期期末)一辆汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，忽略反应时间，则：
(1)求汽车刹车时的加速度大小；
(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？
答案 (1)0.5 m/s2 (2)不会相撞 4 m
解析 (1)汽车制动加速度大小a＝eq \f(v汽,t)＝0.5 m/s2
(2)当汽车减速到与货车共速时，t0＝eq \f(v汽－v货,a)＝28 s
汽车运动的位移s1＝eq \f(v汽2－v货2,2a)＝364 m
此时间内货车运动的位移为s2＝v货t0＝168 m
Δs＝s1－s2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞.
此时两车相距最近，最近距离Δs′＝s0－Δs＝200 m－196 m＝4 m.
一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图2所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间且假设两车不发生碰撞)，以下说法正确的是( )
图2
A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故
B.在t＝3 s时发生追尾事故
C.在t＝5 s时发生追尾事故
D.若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m
答案 B
解析 根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：sb＝vbt＝10×3 m＝30 m
小汽车的位移为：sa＝eq \f(1,2)×(30＋20)×1 m＋eq \f(1,2)×(20＋15)×2 m＝60 m
则：sa－sb＝30 m
所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；
由题图可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δs＝eq \f(1,2)×(20＋10)×1 m＋eq \f(1,2)×10×4 m＝35 m<40 m，
则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs′＝s0－Δs＝5 m，故D错误.
追及相遇问题的常见情况
考点一 汽车行驶安全问题
1.(多选)汽车正以v0＝30 m/s的速度在平直的路面上匀速前行，司机突然发现前方s＝100 m处路面坍塌，于是他立即紧急刹车，刹车时加速度大小为a＝5 m/s2，不计反应时间，从刹车开始计时，则( )
A.汽车需要6 s才能停下来
B.汽车刹车的距离为90 m
C.汽车会掉进坍塌形成的大坑中
D.汽车在到达坍塌处前就停下来了
答案 ABD
解析 汽车速度减为零的时间t＝eq \f(0－v0,－a)＝eq \f(0－30,－5) s＝6 s，故A正确；汽车刹车的距离s′＝eq \f(v0,2)t＝eq \f(30,2)×6 m＝90 m2.在全国铁路第六次大提速后，列车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经过路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m处出现特殊情况，为避免危险发生，列车刹车的加速度大小至少为(不计反应时间)( )
A.1 m/s2 B.1.5 m/s2
C.2 m/s2 D.2.4 m/s2
答案 C
解析 列车从刹车开始到停止运动位移为s＝900 m，
则v0＝216 km/h＝60 m/s，vt＝0
取列车前进方向为正方向，
由关系式vt2－v02＝2as得：a＝－2 m/s2
即列车刹车的加速度大小至少为2 m/s2，故选项C正确.
3.如图1所示，国产某品牌汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统，系统以50 Hz的频率监视前方的交通状况.当车速v≤10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，加速度大小约为4 m/s2，使汽车避免与障碍物相撞.则“全力自动刹车”系统设置的安全距离约为( )
图1
A.40 m B.25 m
C.12.5 m D.2 m
答案 C
解析 由题意知，系统立即启动“全力自动刹车”的加速度大小约为4 m/s2，最后末速度减为0，由v02＝2as可得：s＝eq \f(v02,2a)≤eq \f(102,2×4) m＝12.5 m，所以系统设置的安全距离约为12.5 m，故C正确，A、B、D错误.
4.一辆在平直公路上行驶的汽车，司机从发现前方异常情况到紧急刹车，汽车仍将前进一段距离才能停下来.要保持安全，这段距离内不能有车辆和行人，因此把它称为安全距离.通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s(这段时间汽车仍保持原速)，刹车时汽车的加速度大小为a＝5 m/s2.若汽车以108 km/h的速度行驶时，则其安全距离为( )
A.120 m B.108 m
C.105 m D.100 m
答案 A
解析 据题意，司机从发现前方异常到停下来的过程中，先做匀速直线运动，再做匀减速直线运动直到速度减为零.已知v＝108 km/h＝30 m/s，则其匀速运动的位移为：s1＝vt＝30 m，匀减速运动的位移为：s2＝eq \f(v2,2a)＝90 m，所以总位移为：s＝s1＋s2＝120 m，所以选项A正确.
5.汽车正在以12 m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15 m处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6 m/s2，刹车后3 s末汽车和障碍物的距离为( )
A.9 m B.6 m C.12 m D.3 m
答案 D
解析 汽车刹车时间t＝eq \f(v0,a)＝2 s，
因t′＝3 s＞2 s，故s＝v0t－eq \f(1,2)at2＝(12×2－eq \f(1,2)×6×22) m＝12 m，
所以刹车后3 s末汽车和障碍物的距离为15 m－12 m＝3 m，选项D正确.
考点二 追及相遇问题
6.甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2 s在同一地点由静止出发，以4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车速度方向一致.在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是( )
A.18 m B.24 m C.22 m D.28 m
答案 B
解析 乙车从静止开始做匀加速直线运动，落后甲2 s，则开始阶段甲车在前.当乙车速度小于甲车的速度时，两车距离增大，当乙车速度大于甲车的速度时，两车距离减小，则当两车速度相等时距离最大.即：a甲(t乙＋2 s)＝a乙t乙，解得：t乙＝6 s；两车距离的最大值为Δs＝s甲－s乙＝eq \f(1,2)a甲(t乙＋2 s)2－eq \f(1,2)a乙t乙2＝24 m，故选B.
7.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的v－t图像中(如图2)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s内的运动情况.关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
图2
A.在0～10 s内两车逐渐靠近
B.在10～20 s内两车逐渐远离
C.在5～15 s内两车的位移相等
D.在t＝10 s时两车在公路上相遇
答案 C
8.(多选)2017年4月23日，青岛举行了快乐运动秀之遥控车漂移激情挑战赛，挑战赛中若a、b两个遥控车从同一地点向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图3所示，则下列说法正确的是( )
图3
A.b车启动时，a车在其前方2 m处
B.运动过程中，b车落后a车的最大距离为4 m
C.b车启动3 s后正好追上a车
D.b车超过a车后，两车不会再相遇
答案 CD
解析 根据在v－t图像中图线与时间轴所围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为s＝eq \f(1,2)×1×2 m＝1 m，即a车在b车前方1 m处，选项A错误；当两车的速度相等时，相距最远，最大距离为smax＝1.5 m，选项B错误；由于两车从同一地点向同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，b车启动3 s后(即t＝5 s)的位移sb＝eq \f(1,2)×(1＋3)×2 m＝4 m，此时a车的位移sa＝eq \f(1,2)×(3＋5)×1 m＝4 m，sa＝sb，C正确；b车超过a车后，由于b车的速度一直比a车的速度大，所以不可能再相遇，D正确.
9.A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车s0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止.求：
(1)B车刹车的加速度大小；
(2)若B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
答案 (1)2.5 m/s2 (2)不会相撞 5 m
解析 (1)设B车刹车过程的加速度大小为aB，由运动学公式有
0－vB2＝－2aBs
解得aB＝2.5 m/s2
(2)设经过时间t两车相撞，则有：
vBt－eq \f(1,2)aBt2＝s0＋vAt，
即30t－eq \f(1,2)×2.5t2＝85＋10t
整理得t2－16t＋68＝0
由Δ＝162－4×68＜0，可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时
vA＝vB－aBt1，代入数据得t1＝8 s
此过程中sB＝vBt1－eq \f(1,2)aBt12＝160 m
sA＝vAt1＝80 m，
两车的最近距离Δs＝s0＋sA－sB＝5 m.
10.A、B两车沿同一直线同方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，B车刹车并以a＝2 m/s2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两车间的最大距离；
(2)经多长时间A车追上B车.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 (1)当B车速度等于A车速度时，两车间距最大.设经时间t1两车速度相等，
则有：vB′＝vB－at1，vB′＝vA
B的位移：sB＝vBt1－eq \f(1,2)at12，
A的位移：sA＝vAt1，
则最大距离为：Δsm＝sB＋7 m－sA，
解得：Δsm＝16 m.
(2)设A车追上B车前B车未停止，经时间t2，A车追上B车，
即：vBt2－eq \f(1,2)at22＋7 m＝vAt2，
解得：t2＝－1 s(舍去)或t2＝7 s，
当t2＝7 s时，vB″＝vB－at2＝－4 m/s，故A车追上B车前，B车早已停止运动，
设经时间t追上，则eq \f(vB2,2a)＋7 m＝vAt
解得：t＝8 s.
11.一只气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m处有一小球以20 m/s的初速度竖直上抛，g取10 m/s2，不计小球受到的空气阻力.
(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间.
(2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？
答案 (1)20 m 2 s
(2)小球追不上气球，理由见解析
解析 (1)设小球上升的最大高度为h，时间为t，
则h＝eq \f(v02,2g)，解得h＝20 m，
t＝eq \f(v0,g)，解得t＝2 s.
(2)设小球速度达到与气球速度相同时经过的时间是t1，则
v气＝v小＝v0－gt1，
解得t1＝1 s
在这段时间内气球上升的高度为h气，小球上升的高度为h小，则h气＝v气t1＝10 m
h小＝v0t1－eq \f(1,2)gt12＝15 m
由于h气＋6 m>h小，
所以小球追不上气球.
12.(2020·连云港市高一月考)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11 m处，乙车速度v乙＝60 m/s，甲车速度v甲＝50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600 m，如图4所示.若甲车做匀加速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长.
图4
(1)经过多长时间甲、乙两车间的距离最大，最大距离是多少？
(2)到达终点线时甲车能否超过乙车？
答案 (1)5 s 36 m (2)不能
解析 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车间的距离最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝eq \f(v乙－v甲,a)＝eq \f(60－50,2) s＝5 s；
甲车位移s甲＝v甲t1＋eq \f(1,2)at12＝275 m；
乙车位移：s乙＝v乙t1＝60×5 m＝300 m，
此时两车间距离Δs＝s乙＋L1－s甲＝36 m.
(2)甲车追上乙车时，位移关系为s甲′＝s乙′＋L1，
甲车位移s甲′＝v甲t2＋eq \f(1,2)at22，
乙车位移s乙′＝v乙t2，
将s甲′、s乙′代入位移关系，得v甲t2＋eq \f(1,2)at22＝v乙t2＋L1，
代入数据得，t2＝11 s(t2＝－1 s舍去)，实际乙车到达终点的时间为t3＝eq \f(L2,v乙)＝10 s，
所以到达终点线时甲车不能超过乙车.一个条件
速度相等
这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系
时间关系和位移关系
通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法
将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解
数学分析法
设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论.若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰
速度小者追速度大者
情景图

匀加速追匀速 匀速追匀减速
匀加速追匀减速
t＝t0以前(v2＜v1)
两物体距离增大
t＝t0时(v1＝v2)
相距最远
t＝t0以后(v2＞v1)
两物体距离减小
追及情况
只能追上一次
速度大者追速度小者
情景图

匀减速追匀速 匀速追匀加速
匀减速追匀加速
t0时刻以前(v2＞v1)
两物体距离减小
t0时刻(v2＝v1)
Δs＝s0，恰好追上
Δs＜s0，追不上，有最小距离
Δs＞s0，相遇两次