2022届高考数学一轮复习收官测评卷（新高考Ⅱ）

2022届高考数学一轮复习收官测评卷（新高考Ⅱ）

【满分：150分】

【时间：120分钟】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则的子集的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2.若复数z满足,则(   )

A． B． C． D．

3.从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为(   )
A.150 B.120 C.160 D.110

4.在中，分别是角的对边,若，且，则的值为(   )

A.2 B. C. D.4

5.某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况,对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查,已知老年、中年、青年教师分别有36人,48人,60人,若从中年教师中抽取了4人,则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多(   )
A.5人 B.4人 C.3人 D.2人

6.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.526分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是(   )

A.5℃ B.10℃ C.15℃ D.20℃

7.已知向量a，b满足，，且，则(   )

A. B.2 C. D.

8.函数的单调减区间为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是(   )

A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B.直线的倾斜角的取值范围是

C.过，两点的所有直线的方程为

D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

10.已知函数，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(   )

A.

B.函数在上单调递减

C.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

D.函数的图象关于中心对称

11.若函数是定义域为R的奇函数，则的值可以为(   )
A. B. C. D.1

12.已知随机变量X的分布列如下表:

若a,b,c成等差数列,则公差d可以是(   )
A. B.0 C. D.1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.椭圆被直线截得的弦长为________.

14.已知等比数列的各项均为正数，且，则__________.

15.在四面体中，，，则四面体的外接球的体积为______ ．

16.已知，，的展开式中常数项为，则的最小值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）的内角的对边分别为,的面积为,已知.

(1)求角;

(2)若外接圆半径为,求.

18. （12分）已知是等差数列的前n项的和，且.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）已知，，求数列的前n项和.

19. （12分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号分别为①②3④⑤⑥）上都安装5只颜色各异的灯，每只灯正常发光的概率均为，各灯之间是否正常发光互不影响.若一个侧面上至少有3只灯正常发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面.
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）设表示需要更换的面数，写出的分布列.

20. （12分）如图（1）所示，在中，AD是BC边上的高，且，，E是BD的中点.现沿AD进行翻折，使得平面平面ABD，得到的图形如图（2）所示.

（1）求证：；

（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值.

21. （12分）已知函数，且的图象在处的切线方程是.

（1）求函数的解析式；

（2）若为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.

22. （12分）回答下列问题：

（1）求焦点在x轴上，实轴长为4，焦距为8的双曲线的标准方程；

（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程.

答案以及解析

一、单项选择题

1.答案：D

解析：由题意，因此它的子集个数为4，故选D．

2.答案：C

解析：由题可得：

故选C.

3.答案：B

解析：不同的选法种数为.故选B.

4.答案：A

解析：中，由，利用正弦定理得，

，故.

由余弦定理得，即，

又，所以，求得

5.答案：D

解析：设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x,y.因为老年、中年、青年教师分别有36人,48人，60人，且从中年教师中抽取了4人，所以,解得，则，故选D.

6.答案：B

解析：根据题意可得，
即，
根据可得，
解得，
则空气温度是.

7.答案：B

解析：因为，所以，则，

所以，故.

8.答案：A

解析：由得，解得或.设，所以函数t的单调递增区间为.又为减函数，故的单调递减区间为.

二、多项选择题

9.答案：ACD

解析：当时，两直线方程分别为和，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率，则，即，则，故B说法正确；当或时，直线方程为或，此时直线方程不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D说法错误，故选ACD.

10.答案：AC

解析：由图象可知，，，因为，所以，所以，由得，所以，故A正确；令，，得的单调递减区间为，，则在单调递减，在单调递增，故B错误；，故C正确；令，，得，，所以的对称中心为，，令得，与矛盾，故D错误；故选：AC.

11.答案：BD

解析：的定义域不是R，所以A不正确；是定义域为R的奇函数,所以B正确；的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，所以C不正确；是定义域为R的奇函数，所以D正确.故选BD.

12.答案:AB

解析：因为a,b,c成等差数列，所以，
又，所以,
则,,
根据分布列的性质得，，，所以.
故选AB.

三、填空题

13.答案：

解析：由消去并化简得.

设直线与椭圆的交点为,

则.

弦长

.

14.答案：5

解析：由题意，得.

15.答案：

解析：设的中点为O，连接，如图，
 

∵在四面体中，，，，，
即与均为直角三角形，
故，
即O为外接球球心，；

∴四面体的外接球的表面积为．
故答案为：．

16.答案：2

解析：的展开式的第项为,令,解得,则,即,所以,当且仅当,时等号成立.

四、解答题

17.答案：(1)由可得,

得到,由余弦定理可得:,由正弦定理可得:,因为,所以,因为,所以.

(2)因为外接圆的半径为,所以,由正弦定理得,所以由得,整理可得,又,所以,故,所以,所以

故.

18.答案：（1）设的首项为，公差为d，

则.

由，得，

所以.

又，所以数列是首项为，公差为的等差数列.

（2）由，，得

解得

由（1）知数列是首项为-2，公差为的等差数列，

所以.

19.答案：（1）因为①号面不需要更换的概率为.
所以①号面需要更换的概率为.
（2）根据独立重复试验，知6个面中恰好有2个面需要更换的概率为.
（3）易知,
所以,,

，，
，，
.
所以的分布列为

20.答案：（1）由图（1）知，在图（2）中，，，

平面平面ABD，平面平面，平面ABD，

平面ACD，又平面ACD，

；

（2）以A为原点，AC，AB，AD所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间坐标系，

不妨设，则，，，，

，，，

设平面BCE的法向量，则，即，

令，得，，则是平面BCE的一个法向量，

设直线AE与平面BCE所成的角是，

则，

故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为.

21.答案：（1）.

因为的图象在处的切线方程为，

所以即解得

所以.

（2）因为，

所以直线l的斜率，令，则，，

所以，

即直线l的斜率k的取值范围是.

22.答案：（1）设双曲线的标准方程为.

由题意，得，，

则，，所以，

所以双曲线的标准方程为.

（2）因为双曲线焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为，

所以双曲线的渐近线方程为，

所以.

又焦点为，所以，解得，所以，

所以双曲线的标准方程为.