2022届高考理科数学一轮复习收官测评卷（全国卷）

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 2022届高考理科数学一轮复习收官测评卷（全国卷）【满分：150分】【时间：120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则(   )A. B. C. D.2.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物的消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据,估计在网上购物的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(     )A. B. C. D.3.设为虚数单位,复数满足,则　　A.1 B. C.2 D.4.以下四种说法中，正确的是(   )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有5.双曲线的方程为：（，），过右焦点作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，与双曲线右支交于点，点恰好为的中点，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．36.在等比数列中，若，，则的值为(   )A.12 B.21 C.192 D.1987.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(   )A.32 B.24 C.16 D.88.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰髙程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，满足，.由C点测得B点的仰角为15°，与的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面的高度差约为（）(   )A.346 B.373 C.446 D.4739.若,则(   )
A. B. C. D.10.某学校有4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得-30分；选乙题答对得10分，答错得-10分.若4位同学的总得分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是(   )
A.24 B.36 C.40 D.4411.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆的圆心，球O的表面积为，则的长度为(   )A. B.2 C. D.312.若定义在R上的函数满足，其中是的导数，且，则不等式的解集为(   )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点M是曲线上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为__________.14.已知均为单位向量，且，则夹角的余弦值为______________15.已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C的右顶点，B为双曲线C上的点，且BF垂直于x轴，若直线AB的斜率为3，则双曲线C的离心率为_____________.16.的值为______________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818. （12分）已知数列满足，，数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．19. （12分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，且平面平面分別为 的中点.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成的角的余弦值.20. （12分）已知的面积为，且，其中O为坐标原点.（1）设，求与的夹角的正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，，，当取得最小值时，求此双曲线的标准方程.21. （12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）若直线，分别与直线l交于点A,B，求的面积；（2）若点P,Q分别为曲线C及直线l上的动点，求的最小值.23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数，且）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程，并说明是什么曲线；
（2）若与交于点A，将射线OA绕极点按顺时针方向旋转交于点B，求的面积.


       答案以及解析一、选择题1.答案：A解析：解：由已知可得，
又，所以，
故选：A.
解出集合A，即可判断A，B的关系.
本题考查了集合间的包含关系，涉及到解一元二次不等式的问题，属于基础题.2.答案：C解析：由题意得，，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.3.答案：B解析：由可得:所以.4.答案：D解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.5.答案：A解析：双曲线（，）的右焦点，双曲线的渐近线方程不妨为：，则过双曲线的右焦点作一条渐近线的平行线为：由，解得，线段的中点恰好在此双曲线上，可得：，即，得，故选：A.6.答案：C解析：设等比数列的公比为q，则，则.7.答案：A解析：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面ABC.AB，底面ABC.所以，，所以，因为，即，所以.该几何体的表面积.故选A.8.答案：B解析：本题考查空间几何体、三角变换、正弦定理.由题意可知.在中，由正弦定理可知，则，过B点作于点M，易得，则.9.答案：C解析：.由得.10.答案：D解析：分以下四种情况讨论：
①2位同学选甲题作答，一人答对一人答错.另外2位同学选乙题作答，一人答对一人答错，此时不同得分情况的种数为.
②4位同学都选择甲题或乙题作答,两人答对，另外两人答错，此吋不同得分情况的种数为;
③1位同学选甲题作答并且答对，另外3位同学选乙题作答并且全部答错，此时不同得分情况的种数为;
④1位同学选甲题作答并且答错，另外3位同学选乙题作答并且全部答对，此时不同得分情况的种数为.
综上所述，不同得分情况的种数为.故选D.11.答案：C解析：本题考查球的球心距，截面性质的应用.设圆的半径为r，球O的半径为R，依题意得为等边三角形，则由正弦定理得，即又因为球O的表面积为，所以根据球的截面性质得平面ABC，所以，所以故选C.12.答案：A解析：令，则，由题意可知在R上恒成立，故函数为R上的增函数，且，又不等式可化为，即，故不等式的解集为.二、填空题13.答案：解析：本题考查导数的几何意义.时有最小值1，此时，故切线方程为，即.14.答案：解析：由得 15.答案：2解析：设点.因为B为双曲线上的点，所以，所以.因为直线AB的斜率为3，所以，，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以双曲线C的离心率.16.答案：解析：
.三、解答题17.答案：(1)由调查数据知,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2).由于,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.答案：（1）当时，,
又,
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
,
.
（2）,,
当时,,
当,,
,
当时符合，
,
,


.19.答案：（1）取的中点为，连接，则，又，所以，因为平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，记的交点为，则.以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设轴交于点，因为所以，于是有，所以，设平面的法向量为则，即，令，得，所以平面的一个法向量为易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，则，所以平面与平面所成的角的余弦值为.20.答案：（1）因为所以.又，所以，即的取值范围为.（2）设双曲线的标准方程为，，则，所以，结合题图知.又，即，解得，所以，当且仅当时，最小，这时点Q的坐标为.因为所以所以双曲线的标准方程为.21.答案：（1）由题可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在单调递增，在单调递减.（2）由，得，即.令，，则，为的两根，其中.不妨令，，则，先证，即证，即证.令，则.因为，所以.所以在内，恒成立，所以单调递增，所以，所以，所以得证.同理，不妨令，，则.要证，即证.令，，则，令，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，且，故，，，所以恒成立，所以得证，所以.22.答案：（1）因为直线，分别与直线交于点A，B，
所以，，
又，
所以的面积.
（2）直线的极坐标方程为，即，
由，，得直线的直角坐标方程为.
的最小值即点P到直线距离的最小值，
设，则点P到直线的距离，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.23.答案：（1）将曲线的参数方程（t为参数，且）中的参数消去,
得.
将代入,
得，所以,
所以的极坐标方程为.
因为曲线的极坐标方程为，，
所以曲线的直角坐标方程为，
即.
所以是中心为，长轴长为6，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆.
（2）由题意可设点A的极坐标为，点B的极坐标为，
则,,
因为,，所以，,
所以.