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高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第一章 抛体运动第二节 运动的合成与分解学案设计
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第一章 抛体运动第二节 运动的合成与分解学案设计，共13页。
一、运动的分析
1．分运动与合运动
如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动称为这两个运动的合运动，这两个运动称为这一实际运动的分运动．
2．合运动与分运动的特点
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，互不影响．
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互替代．
二、位移和速度的合成与分解
1．合位移是两分位移的矢量和，满足平行四边形定则．
2．实际速度和分速度的关系以及合加速度与分加速度的关系都满足平行四边形定则(或三角形定则)．
3．已知分运动求合运动称为运动的合成．已知合运动求分运动称为运动的分解．
1．判断下列说法的正误．
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等．( √ )
(2)合运动一定是实际发生的运动．( √ )
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大．( × )
(4)当小船船头垂直岸航行时，水速大小不同不影响过河时间．( √ )
2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.3 m/s的速度匀速上浮．在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成37°角，如图1所示．若玻璃管的长度为0.9 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管沿水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别为________m/s和________m．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图1
答案 0.4 1.2
解析 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为x1，蜡块随玻璃管水平向右匀速移动的速度为v2，位移为x2，如图所示，v2＝eq \f(v1,tan 37°)＝eq \f(0.3,\f(3,4)) m/s＝0.4 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t＝eq \f(x1,v1)＝eq \f(0.9,0.3) s＝3 s．由于两分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为3 s，水平运动的位移x2＝v2t＝0.4×3 m＝1.2 m.
一、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的四个特性
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解．其合成、分解遵循平行四边形定则．
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解．
跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 B
解析 运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动．这两个分运动同时发生，相互独立．所以水平风力越大，运动员水平方向上的速度越大，则运动员着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B.
(2019·凯里校级期中)如图2所示，一架飞机沿仰角37°方向斜向上做匀速直线运动(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，速度的大小为v＝200 m/s，下列说法正确的是( )
图2
A．经过t＝4 s飞机发生的水平位移是800 m
B．飞机在竖直方向的分速度是100 m/s
C．经过t＝4 s飞机在竖直方向上升了480 m
D．飞机在飞行过程中飞行员处于完全失重状态
答案 C
解析 由于飞机做匀速直线运动，飞机发生的水平位移：x＝vcs 37°·t＝640 m，A错误；飞机在竖直方向的分速度：vy＝vsin 37°＝200×0.6 m/s＝120 m/s，B错误；经过t＝4 s飞机在竖直方向上升的高度：h＝vsin 37°·t＝480 m，C正确；由于飞机做匀速直线运动，加速度为零，没有竖直方向的加速度，飞行员不处于完全失重状态，D错误．
针对训练1 如图3所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为( )
图3
A．水平向左，大小为v
B．竖直向上，大小为vtan θ
C．沿A杆斜向上，大小为eq \f(v,cs θ)
D．沿A杆斜向上，大小为vcs θ
答案 C
解析 两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝eq \f(v,cs θ)，C正确．
二、小船渡河问题
1．运动分析
小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．
2．两类常见问题
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝eq \f(d,v⊥).
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图4所示，此时t＝eq \f(d,v船).
图4
(2)最短位移问题
①若v水图5
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cs θ＝eq \f(v船,v水)，最短位移x短＝eq \f(d,cs θ).
已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是两条理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)20 s 20eq \r(34) m (2)25 s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝eq \f(d,v1)＝eq \f(100,5) s＝20 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移大小为l＝eq \r(d2＋x2)，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝20eq \r(34) m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cs θ＝v2，cs θ＝eq \f(v2,v1)＝0.6，则sin θ＝eq \r(1－cs2 θ)＝0.8，船的实际速度大小为v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t′＝eq \f(d,v)＝eq \f(100,4) s＝25 s.
(3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河．
针对训练2 (2019·泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图6所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列说法正确的是( )
图6
A．船渡河时间为eq \f(d,v2)
B．船渡河时间为eq \f(d,\r(v\\al(12)＋v\\al(22)))
C．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,v1)d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,\r(v\\al(12)＋v\\al(22)))d
答案 C
解析 船正对河岸运动，渡河时间最短为t＝eq \f(d,v1)，沿河岸方向运动的位移大小x2＝v2t＝eq \f(v2,v1)d，故A、B、D错误，C正确．
1．要使船垂直于河岸渡河，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时．
2．要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直．
3．要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划桨产生的分速度，后者是合速度．
1．(运动的合成与分解)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )
A．合运动的时间就是分运动的时间之和
B．已知两分运动的速度大小，就可以确定合速度的大小
C．已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向
D．若两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2
答案 CD
解析 合运动与分运动具有等时性，故A错误；已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向，故B错误，C正确；两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2，故D正确．
2．(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.
3．(小船渡河模型)(多选)在一条宽200 m的河中，水的流速v1＝1 m/s，一只小船要渡过河至少需要100 s的时间．则下列判断正确的是( )
A．小船相对于静水的速度为2 m/s
B．无论小船怎样渡河都无法到达正对岸
C．若小船以最短时间渡河，到达对岸时，距正对岸100 m
D．若小船船头的指向与上游河岸成60°，则小船渡河位移最短
答案 ACD
解析 当小船的船头始终正对河岸时，渡河时间最短t＝eq \f(d,v船)，因此v船＝eq \f(d,t)＝eq \f(200,100) m/s＝2 m/s；小船以最短时间渡河，到达对岸时，沿河岸方向运动的位移x＝v水t＝1×100 m＝100 m，即在正对岸下游100 m处靠岸，故A、C正确．当合速度与河岸垂直，小船到达正对岸，设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，如图所示，cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(1,2)，解得θ＝60°，故B错误，D正确．
4．(运动的合成与分解)现在自然灾害日益严重，在救灾过程中有时不得不出动军用直升机为被困灾民空投物资．直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中立即能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于在水平方向上受风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向东的速度．求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中在水平方向上移动的距离．
答案 (1)20 s (2)eq \r(26) m/s (3)20 m
解析 如图所示，物资的实际运动可以看成是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动．
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．
t＝eq \f(h,vy)＝eq \f(100,5) s＝20 s.
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝eq \r(v\\al(x2)＋v\\al(y2))＝eq \r(12＋52) m/s＝eq \r(26) m/s.
(3)物资在下落过程中在水平方向上移动的距离为x＝vxt＝1×20 m＝20 m.
考点一 运动的合成与分解
1．对于两个分运动及其合运动，下列说法正确的是( )
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度至少比其中一个分运动的速度大
C．合运动的速度方向就是物体实际运动的方向
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 C
2.如图1所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管内注满清水，管内有一个用红蜡块做成的圆柱体，当玻璃管倒置时圆柱体恰能匀速上升．现将玻璃管倒置，在圆柱体匀速上升的同时让玻璃管水平匀速运动．已知圆柱体运动的合速度是5 cm/s，α＝30°，则玻璃管水平运动的速度大小是( )
图1
A．5 cm/s B．4 cm/s
C．3 cm/s D．2.5 cm/s
答案 D
解析 玻璃管水平运动的速度等于蜡块在水平方向上的分速度，即vx＝vsin 30°＝5×0.5 cm/s＝2.5 cm/s，D正确．
3．如图2所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动．在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
图2
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，A、C、D错误，B正确．
4.如图3所示，跳伞员在降落伞打开一段时间以后，在空中做匀速运动．若跳伞员在无风时竖直匀速下落，着地速度大小是4.0 m/s.当有正东方向吹来的风，风速大小是3.0 m/s，则跳伞员着地时的速度( )
图3
A．大小为5.0 m/s，方向偏西
B．大小为5.0 m/s，方向偏东
C．大小为7.0 m/s，方向偏西
D．大小为7.0 m/s，方向偏东
答案 A
5．(2020·铁人中学期中)某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向)( )
答案 B
解析 如图所示，由于篮球和群众演员随大平台一起旋转，所以篮球抛出前有沿v0方向的初速度，若使篮球抛出后能沿虚线进入球筐，则沿vB方向投出，篮球可能被投入球筐，故选B.
考点二 小船渡河模型
6．小船船头指向对岸，以相对于静水的恒定速率向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速小时，位移小，时间也短
B．水速大时，位移大，时间也长
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间不变；水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小，故C正确．
7．(2019·平遥中学高一下期中)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.eq \f(dv2,\r(v\\al(22)－v\\al(12))) B．0
C.eq \f(dv1,v2) D.eq \f(dv2,v1)
答案 C
解析 摩托艇登陆的最短时间t＝eq \f(d,v2)，登陆点到O点的距离s＝v1t＝eq \f(dv1,v2)，故选C.
8．一只小船在静水中的速度为v1＝5 m/s，它要渡过一条宽为d＝50 m的河，河水流速为v2＝4 m/s，则( )
A．这只船过河位移不可能为50 m
B．这只船过河时间不可能为10 s
C．若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变
D．若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变
答案 C
解析 当船头垂直指向河岸航行时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v1)＝eq \f(50,5) s＝10 s，B错误；由于船在静水中的速度大于河水流速，船的实际航向可以垂直河岸，即过河最短位移为s＝d＝50 m，A错误；根据运动的独立性，渡河最短时间为10 s，与水速无关，C正确；若河水流速大于船在静水中的速度，则船过河最短位移大小大于河宽，D错误．
9.如图4所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则( )
图4
A．t1＞t2，s1＜s2 B．t1＜t2，s1＞s2
C．t1＝t2，s1＜s2 D．t1＝t2，s1＞s2
答案 D
解析 因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝eq \f(d,v静⊥)，所以两次渡河时间相等t1＝t2；设AB、AC与河岸夹角为θ，船头向着AB方向时，沿河岸方向的分速度v1＝v静cs θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2＝|v－v静cs θ|＜v1，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D正确，A、B、C错误．
10．小船过河时，船头偏向上游，与水流方向成α角，船在静水中的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度突然增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是( )
A．增大α角，增大船速v
B．减小α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D．增大α角，保持船速v不变
答案 A
解析 由平行四边形定则可画出如图所示的示意图，由图可知，v1′>v1，则α′>α，v′>v，选项A正确．
11．(多选)玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形．假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L＝2 m，它沿切割机的轨道(与玻璃板的两侧边平行)以v1＝0.15 m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃板的切割速度v2＝0.2 m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面( )
A．割刀运动的轨迹是一段直线
B．割刀完成一次切割的时间为10 s
C．割刀运动的实际速度大小为0.05eq \r(7) m/s
D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移大小是1.5 m
答案 ABD
解析 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的实际运动速度应垂直于玻璃板侧边，割刀实际参与了两个分运动，即沿玻璃板侧边方向的运动和垂直于玻璃板侧边方向的运动．两个分运动都是匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动，故A正确；对于垂直于玻璃板侧边方向的运动，运动时间t＝eq \f(2,0.2) s＝10 s，故B正确；割刀运动的实际速度大小v＝eq \r(v\\al(12)＋v\\al(22))＝eq \r(0.152＋0.22) m/s＝0.25 m/s，故C错误；10 s内玻璃板沿轨道方向的位移x＝v1t＝1.5 m，故D正确．
12．如图5所示，图甲表示某物体在x轴上分速度的vx－t图像，图乙表示该物体在y轴方向上分速度的vy－t图像．求：
图5
(1)在t＝0时刻物体的速度大小；
(2)在t＝8 s时刻物体的速度大小；
(3)在0～4 s内物体的位移大小．
答案 (1)3 m/s (2)5 m/s (3)4eq \r(10) m
解析 根据题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动．
(1)在t＝0时刻，物体的速度大小为v0＝vx＝3 m/s.
(2)在t＝8 s时刻，物体在x轴方向上的速度为3 m/s，在y轴方向上的速度为4 m/s，所以物体的速度大小为v＝eq \r(v\\al(x2)＋v\\al(y2))＝5 m/s.
(3)在0～4 s时间内，物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，在y轴方向发生的位移为y＝eq \f(1,2)at2＝4 m，所以物体的位移大小为s＝eq \r(x2＋y2)＝4eq \r(10) m.
13.如图6所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，若船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点．求：
图6
(1)小船在静水中的速度大小v1；
(2)河水的流速大小v2；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，
故有v1＝eq \f(d,tmin)＝eq \f(120,60×8) m/s＝0.25 m/s.
(2)设AB与河岸上游成α角，船头指向河对岸上游的B点时，恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cs α，此时渡河时间为t＝eq \f(d,v1sin α)，所以sin α＝eq \f(d,v1t)＝0.8，则cs α＝0.6，故v2＝v1cs α＝0.15 m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m.等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
一、运动的分析
1．分运动与合运动
如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动称为这两个运动的合运动，这两个运动称为这一实际运动的分运动．
2．合运动与分运动的特点
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，互不影响．
(3)等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互替代．
二、位移和速度的合成与分解
1．合位移是两分位移的矢量和，满足平行四边形定则．
2．实际速度和分速度的关系以及合加速度与分加速度的关系都满足平行四边形定则(或三角形定则)．
3．已知分运动求合运动称为运动的合成．已知合运动求分运动称为运动的分解．
1．判断下列说法的正误．
(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等．( √ )
(2)合运动一定是实际发生的运动．( √ )
(3)合运动的速度一定比分运动的速度大．( × )
(4)当小船船头垂直岸航行时，水速大小不同不影响过河时间．( √ )
2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.3 m/s的速度匀速上浮．在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成37°角，如图1所示．若玻璃管的长度为0.9 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管沿水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别为________m/s和________m．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图1
答案 0.4 1.2
解析 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为x1，蜡块随玻璃管水平向右匀速移动的速度为v2，位移为x2，如图所示，v2＝eq \f(v1,tan 37°)＝eq \f(0.3,\f(3,4)) m/s＝0.4 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t＝eq \f(x1,v1)＝eq \f(0.9,0.3) s＝3 s．由于两分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为3 s，水平运动的位移x2＝v2t＝0.4×3 m＝1.2 m.
一、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的四个特性
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解．其合成、分解遵循平行四边形定则．
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解．
跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 B
解析 运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动．这两个分运动同时发生，相互独立．所以水平风力越大，运动员水平方向上的速度越大，则运动员着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B.
(2019·凯里校级期中)如图2所示，一架飞机沿仰角37°方向斜向上做匀速直线运动(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，速度的大小为v＝200 m/s，下列说法正确的是( )
图2
A．经过t＝4 s飞机发生的水平位移是800 m
B．飞机在竖直方向的分速度是100 m/s
C．经过t＝4 s飞机在竖直方向上升了480 m
D．飞机在飞行过程中飞行员处于完全失重状态
答案 C
解析 由于飞机做匀速直线运动，飞机发生的水平位移：x＝vcs 37°·t＝640 m，A错误；飞机在竖直方向的分速度：vy＝vsin 37°＝200×0.6 m/s＝120 m/s，B错误；经过t＝4 s飞机在竖直方向上升的高度：h＝vsin 37°·t＝480 m，C正确；由于飞机做匀速直线运动，加速度为零，没有竖直方向的加速度，飞行员不处于完全失重状态，D错误．
针对训练1 如图3所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为( )
图3
A．水平向左，大小为v
B．竖直向上，大小为vtan θ
C．沿A杆斜向上，大小为eq \f(v,cs θ)
D．沿A杆斜向上，大小为vcs θ
答案 C
解析 两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝eq \f(v,cs θ)，C正确．
二、小船渡河问题
1．运动分析
小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．
2．两类常见问题
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝eq \f(d,v⊥).
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图4所示，此时t＝eq \f(d,v船).
图4
(2)最短位移问题
①若v水
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cs θ＝eq \f(v船,v水)，最短位移x短＝eq \f(d,cs θ).
已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是两条理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)20 s 20eq \r(34) m (2)25 s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝eq \f(d,v1)＝eq \f(100,5) s＝20 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移大小为l＝eq \r(d2＋x2)，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝20eq \r(34) m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cs θ＝v2，cs θ＝eq \f(v2,v1)＝0.6，则sin θ＝eq \r(1－cs2 θ)＝0.8，船的实际速度大小为v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t′＝eq \f(d,v)＝eq \f(100,4) s＝25 s.
(3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河．
针对训练2 (2019·泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图6所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列说法正确的是( )
图6
A．船渡河时间为eq \f(d,v2)
B．船渡河时间为eq \f(d,\r(v\\al(12)＋v\\al(22)))
C．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,v1)d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为eq \f(v2,\r(v\\al(12)＋v\\al(22)))d
答案 C
解析 船正对河岸运动，渡河时间最短为t＝eq \f(d,v1)，沿河岸方向运动的位移大小x2＝v2t＝eq \f(v2,v1)d，故A、B、D错误，C正确．
1．要使船垂直于河岸渡河，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时．
2．要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直．
3．要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划桨产生的分速度，后者是合速度．
1．(运动的合成与分解)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )
A．合运动的时间就是分运动的时间之和
B．已知两分运动的速度大小，就可以确定合速度的大小
C．已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向
D．若两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2
答案 CD
解析 合运动与分运动具有等时性，故A错误；已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形定则确定合速度的大小和方向，故B错误，C正确；两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2，故D正确．
2．(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.
3．(小船渡河模型)(多选)在一条宽200 m的河中，水的流速v1＝1 m/s，一只小船要渡过河至少需要100 s的时间．则下列判断正确的是( )
A．小船相对于静水的速度为2 m/s
B．无论小船怎样渡河都无法到达正对岸
C．若小船以最短时间渡河，到达对岸时，距正对岸100 m
D．若小船船头的指向与上游河岸成60°，则小船渡河位移最短
答案 ACD
解析 当小船的船头始终正对河岸时，渡河时间最短t＝eq \f(d,v船)，因此v船＝eq \f(d,t)＝eq \f(200,100) m/s＝2 m/s；小船以最短时间渡河，到达对岸时，沿河岸方向运动的位移x＝v水t＝1×100 m＝100 m，即在正对岸下游100 m处靠岸，故A、C正确．当合速度与河岸垂直，小船到达正对岸，设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，如图所示，cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(1,2)，解得θ＝60°，故B错误，D正确．
4．(运动的合成与分解)现在自然灾害日益严重，在救灾过程中有时不得不出动军用直升机为被困灾民空投物资．直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中立即能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于在水平方向上受风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向东的速度．求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中在水平方向上移动的距离．
答案 (1)20 s (2)eq \r(26) m/s (3)20 m
解析 如图所示，物资的实际运动可以看成是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动．
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．
t＝eq \f(h,vy)＝eq \f(100,5) s＝20 s.
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝eq \r(v\\al(x2)＋v\\al(y2))＝eq \r(12＋52) m/s＝eq \r(26) m/s.
(3)物资在下落过程中在水平方向上移动的距离为x＝vxt＝1×20 m＝20 m.
考点一 运动的合成与分解
1．对于两个分运动及其合运动，下列说法正确的是( )
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度至少比其中一个分运动的速度大
C．合运动的速度方向就是物体实际运动的方向
D．合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 C
2.如图1所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管内注满清水，管内有一个用红蜡块做成的圆柱体，当玻璃管倒置时圆柱体恰能匀速上升．现将玻璃管倒置，在圆柱体匀速上升的同时让玻璃管水平匀速运动．已知圆柱体运动的合速度是5 cm/s，α＝30°，则玻璃管水平运动的速度大小是( )
图1
A．5 cm/s B．4 cm/s
C．3 cm/s D．2.5 cm/s
答案 D
解析 玻璃管水平运动的速度等于蜡块在水平方向上的分速度，即vx＝vsin 30°＝5×0.5 cm/s＝2.5 cm/s，D正确．
3．如图2所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动．在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
图2
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，A、C、D错误，B正确．
4.如图3所示，跳伞员在降落伞打开一段时间以后，在空中做匀速运动．若跳伞员在无风时竖直匀速下落，着地速度大小是4.0 m/s.当有正东方向吹来的风，风速大小是3.0 m/s，则跳伞员着地时的速度( )
图3
A．大小为5.0 m/s，方向偏西
B．大小为5.0 m/s，方向偏东
C．大小为7.0 m/s，方向偏西
D．大小为7.0 m/s，方向偏东
答案 A
5．(2020·铁人中学期中)某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向)( )
答案 B
解析 如图所示，由于篮球和群众演员随大平台一起旋转，所以篮球抛出前有沿v0方向的初速度，若使篮球抛出后能沿虚线进入球筐，则沿vB方向投出，篮球可能被投入球筐，故选B.
考点二 小船渡河模型
6．小船船头指向对岸，以相对于静水的恒定速率向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速小时，位移小，时间也短
B．水速大时，位移大，时间也长
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间不变；水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小，故C正确．
7．(2019·平遥中学高一下期中)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.eq \f(dv2,\r(v\\al(22)－v\\al(12))) B．0
C.eq \f(dv1,v2) D.eq \f(dv2,v1)
答案 C
解析 摩托艇登陆的最短时间t＝eq \f(d,v2)，登陆点到O点的距离s＝v1t＝eq \f(dv1,v2)，故选C.
8．一只小船在静水中的速度为v1＝5 m/s，它要渡过一条宽为d＝50 m的河，河水流速为v2＝4 m/s，则( )
A．这只船过河位移不可能为50 m
B．这只船过河时间不可能为10 s
C．若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变
D．若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变
答案 C
解析 当船头垂直指向河岸航行时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v1)＝eq \f(50,5) s＝10 s，B错误；由于船在静水中的速度大于河水流速，船的实际航向可以垂直河岸，即过河最短位移为s＝d＝50 m，A错误；根据运动的独立性，渡河最短时间为10 s，与水速无关，C正确；若河水流速大于船在静水中的速度，则船过河最短位移大小大于河宽，D错误．
9.如图4所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则( )
图4
A．t1＞t2，s1＜s2 B．t1＜t2，s1＞s2
C．t1＝t2，s1＜s2 D．t1＝t2，s1＞s2
答案 D
解析 因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝eq \f(d,v静⊥)，所以两次渡河时间相等t1＝t2；设AB、AC与河岸夹角为θ，船头向着AB方向时，沿河岸方向的分速度v1＝v静cs θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2＝|v－v静cs θ|＜v1，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D正确，A、B、C错误．
10．小船过河时，船头偏向上游，与水流方向成α角，船在静水中的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度突然增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是( )
A．增大α角，增大船速v
B．减小α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D．增大α角，保持船速v不变
答案 A
解析 由平行四边形定则可画出如图所示的示意图，由图可知，v1′>v1，则α′>α，v′>v，选项A正确．
11．(多选)玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形．假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L＝2 m，它沿切割机的轨道(与玻璃板的两侧边平行)以v1＝0.15 m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃板的切割速度v2＝0.2 m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面( )
A．割刀运动的轨迹是一段直线
B．割刀完成一次切割的时间为10 s
C．割刀运动的实际速度大小为0.05eq \r(7) m/s
D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移大小是1.5 m
答案 ABD
解析 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的实际运动速度应垂直于玻璃板侧边，割刀实际参与了两个分运动，即沿玻璃板侧边方向的运动和垂直于玻璃板侧边方向的运动．两个分运动都是匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动，故A正确；对于垂直于玻璃板侧边方向的运动，运动时间t＝eq \f(2,0.2) s＝10 s，故B正确；割刀运动的实际速度大小v＝eq \r(v\\al(12)＋v\\al(22))＝eq \r(0.152＋0.22) m/s＝0.25 m/s，故C错误；10 s内玻璃板沿轨道方向的位移x＝v1t＝1.5 m，故D正确．
12．如图5所示，图甲表示某物体在x轴上分速度的vx－t图像，图乙表示该物体在y轴方向上分速度的vy－t图像．求：
图5
(1)在t＝0时刻物体的速度大小；
(2)在t＝8 s时刻物体的速度大小；
(3)在0～4 s内物体的位移大小．
答案 (1)3 m/s (2)5 m/s (3)4eq \r(10) m
解析 根据题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动．
(1)在t＝0时刻，物体的速度大小为v0＝vx＝3 m/s.
(2)在t＝8 s时刻，物体在x轴方向上的速度为3 m/s，在y轴方向上的速度为4 m/s，所以物体的速度大小为v＝eq \r(v\\al(x2)＋v\\al(y2))＝5 m/s.
(3)在0～4 s时间内，物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，在y轴方向发生的位移为y＝eq \f(1,2)at2＝4 m，所以物体的位移大小为s＝eq \r(x2＋y2)＝4eq \r(10) m.
13.如图6所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，若船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点．求：
图6
(1)小船在静水中的速度大小v1；
(2)河水的流速大小v2；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，
故有v1＝eq \f(d,tmin)＝eq \f(120,60×8) m/s＝0.25 m/s.
(2)设AB与河岸上游成α角，船头指向河对岸上游的B点时，恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cs α，此时渡河时间为t＝eq \f(d,v1sin α)，所以sin α＝eq \f(d,v1t)＝0.8，则cs α＝0.6，故v2＝v1cs α＝0.15 m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m.等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
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