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高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第二节 向心力与向心加速度第2课时学案设计
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第二节 向心力与向心加速度第2课时学案设计，共14页。
一、向心力的大小
F＝mω2r或F＝meq \f(v2,r).
二、向心加速度
1．定义：在匀速圆周运动中，F是指向圆心的向心力，所以加速度a也一定指向圆心，称为向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．向心加速度公式
a＝ω2r或a＝eq \f(v2,r).
4．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( × )
(2)匀速圆周运动的加速度方向指向圆心，大小不变．( √ )
(3)根据F＝meq \f(v2,r)知向心力F与半径r成反比．( × )
(4)根据a＝ω2r知向心加速度a与半径r成正比．( × )
2．一辆质量为1 000 kg的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r＝50 m的圆，以10 m/s的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，________对汽车提供向心力，此力大小为________ N.
答案 侧向摩擦力 2 000
3．在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6 m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为______，向心加速度大小为______．
答案 3 rad/s 1.8 m/s2
解析 角速度ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(0.6,0.2) rad/s＝3 rad/s，
小球运动的向心加速度大小a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(0.62,0.2) m/s2＝1.8 m/s2.
一、向心力的来源分析和计算
导学探究 如图1所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体．
图1
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
答案 (1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力．
(2)当物体转动的角速度变大后，由F＝mω2r可知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大．
知识深化
1．向心力的大小：F＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力；在非匀速圆周运动中，由沿半径方向的合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
如图2所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
图2
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误；水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，根据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．
一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从图3所示位置从静止开始释放，运动到最低点时球的速度为3 m/s.(球视为质点，绳不可伸长，取g＝10 m/s2)
图3
(1)分析球运动到最低点时向心力的来源，画出小球的受力示意图；
(2)球到达最低点时绳对球的拉力大小．
答案 (1)见解析 (2)3 N
解析 (1)由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示；
(2)由(1)可知，球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，FT－mg＝meq \f(v2,r)
则FT＝mg＋meq \f(v2,r)＝3 N.
针对训练1 (2019·通榆一中高一下月考)在光滑水平杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图4所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
图4
A．1∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析 由题图可知，两球均由所受绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.
二、向心加速度
导学探究
1．请根据牛顿第二定律以及向心力的表达式推导向心加速度的表达式．
答案 由牛顿第二定律知，a＝eq \f(F,m)，而F＝eq \f(mv2,r)＝mω2r，所以向心加速度的表达式为：a＝eq \f(v2,r)＝ω2r.
2．有人说：“匀速圆周运动的加速度恒定，所以是匀变速运动．”这种说法对吗？为什么？
答案 不对．匀速圆周运动的向心力大小不变，但方向时刻指向圆心，即方向始终变化，故加速度方向始终变化，所以匀速圆周运动是加速度时刻变化的变速运动．
知识深化
1．对向心加速度及其方向的理解
(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．
(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(3)圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动．
(4)变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小．
2．向心加速度公式
a＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
3．向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心．
4．向心加速度与半径的关系(如图5所示)
图5
(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案 ABD
解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向．所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心．故A、B、D正确，C错误．
(2019·大同一中期中)如图6所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( )
图6
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
答案 D
解析 传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度a＝eq \f(v2,r)可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由a＝ω2r可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，又A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，则A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4，故D正确．
针对训练2 (2019·深圳中学期中)如图7所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
图7
A．1∶1∶8 B．4∶1∶4
C．4∶1∶32 D．1∶2∶4
答案 C
解析 小齿轮A和大齿轮B通过链条连接，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小a＝eq \f(v2,R)可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度大小a＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，故选项C正确．
1.(向心力来源分析)(多选)如图8所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
图8
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于mgtan θ
答案 BCD
解析 对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A错误，B、C正确；向心力F＝mgtan θ，D正确．
2．(向心力公式的应用)(2019·通榆一中高一下月考)甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
答案 C
3.(对向心加速度公式的理解)如图9所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是一条过原点的直线．由图线可知( )
图9
A．质点P的线速度不变
B．质点P的角速度不变
C．质点Q的角速度不变
D．质点Q的线速度不变
答案 C
解析 质点P的a－r图线是双曲线的一支，即a与r成反比，由a＝eq \f(v2,r)知质点P的线速度v的大小是定值，但方向变化，A错误；根据ω＝eq \f(v,r)知质点P的角速度ω是变量，所以B错误；质点Q的a－r图线是一条过原点的直线，表示a∝r，由a＝rω2知角速度ω是定值，C正确；根据v＝ωr知质点Q的线速度v是变量，所以D错误．
4.(向心加速度的计算)(多选)(2019·遂宁市高一下期末)如图10所示，小球A用不可伸长的轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，当小球A运动到左侧时，在小球A的正上方高度为R处的小球B水平飞出，飞出时的速度大小为eq \r(gR).不计空气阻力，重力加速度为g，要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，则小球A的向心加速度大小可能为( )
图10
A.eq \f(π2g,8) B.eq \f(π2g,4) C.eq \f(7π2g,4) D.eq \f(9π2g,8)
答案 AD
解析 B做平抛运动，在竖直方向上有：R＝eq \f(1,2)gt2，得：t＝eq \r(\f(2R,g))，则水平方向的位移为x＝v0t＝eq \r(gR)·eq \r(\f(2R,g))＝eq \r(2)R，若要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，根据几何关系可知，当A运动eq \f(T,4)或eq \f(3T,4)时恰能与B相碰，则有：t＝eq \r(\f(2R,g))＝eq \f(T,4)或t＝eq \r(\f(2R,g))＝eq \f(3T,4)，又有a＝eq \f(4π2,T2)R，联立解得：a＝eq \f(π2g,8)或a＝eq \f(9π2g,8)，故A、D正确．
考点一 向心力的来源分析和计算
1.(2020·牡丹江一中高一下期中)如图1所示，小物块A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、与运动方向相同的摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
答案 B
解析 物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力，所以B正确，A、C、D错误．
2．狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速率行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(图中O为圆心)正确的是( )
答案 C
解析 滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，雪橇做匀速圆周运动，合力应该指向圆心，可知C正确，A、B、D错误．
3.(多选)(2019·棠湖中学高一质检)如图2所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
图2
A．螺丝帽受到的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝eq \r(\f(g,μr))
D．若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动
答案 AC
解析 螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，故A正确；螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力，弹力的方向指向圆心，故B错误；根据mg＝f＝μFN，FN＝mω2r，解得ω＝eq \r(\f(g,μr))，故C正确；若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力仍然平衡，故D错误．
考点二 向心加速度
4．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同 B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心 D．始终保持不变
答案 C
解析 做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，故C正确．
5．(多选)(2019·长丰二中高一下期末)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是( )
A．当它们的角速度相等时，乙的线速度小，则乙的向心加速度小
B．当它们的周期相等时，甲的半径大，则甲的向心加速度大
C．当它们的线速度相等时，乙的半径小，则乙的向心加速度小
D．当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向心加速度比乙的小
答案 AB
解析 角速度相等，乙的线速度小，根据公式a＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正确；周期相等，甲的半径大，根据公式a＝(eq \f(2π,T))2r，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故B正确；线速度相等，乙的半径小，根据公式a＝eq \f(v2,r)，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故C错误；线速度相等，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，即甲的角速度大，根据公式a＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故D错误．
6．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为( )
A．1∶4 B．4∶1 C．4∶9 D．9∶4
答案 B
解析 设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意eq \f(r1,r2)＝eq \f(9,4)，eq \f(T1,T2)＝eq \f(3,4)，由a＝eq \f(4π2,T2)r得：eq \f(a1,a2)＝eq \f(r1,r2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2＝eq \f(9,4)×(eq \f(4,3))2＝eq \f(4,1)，B选项正确．
7．(2019·山东省实验中学期中)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图3所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为( )
图3
A.eq \f(r12ω2,r3) B.eq \f(r32ω2,r1) C.eq \f(r33ω2,r\\al(2,1)) D.eq \f(r1r2ω2,r3)
答案 A
解析 三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据a＝eq \f(v2,r)和a＝ω2r，可得a丙＝eq \f(a甲r1,r3)＝eq \f(r12ω2,r3)，故A正确．
8.(2019·重庆十一中高一下期中)如图4所示，一竖直圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止．当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
图4
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
答案 D
解析 容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝F＝mω2r＝4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确．
9.(多选)如图5所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
图5
A．A球所受向心力为F1，B球所受向心力为F2
B．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1
C．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1－F2
D．F1∶F2＝3∶2
答案 CD
解析 A、B小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，A球靠拉力提供向心力，则A球做圆周运动的向心力为F2，B球靠两个拉力的合力提供向心力，则B球做圆周运动的向心力为F1－F2.由牛顿第二定律，对A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，联立各式解得F1∶F2＝3∶2，故C、D正确，A、B错误．
10.如图6所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是( )
图6
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
答案 A
解析 A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做匀速圆周运动，B以Q为圆心做匀速圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，eq \f(vA,vB)＝eq \f(ωrA,ωrB)＝eq \f(sin 60°,sin 30°)＝eq \r(3)，B错误；eq \f(aA,aB)＝eq \f(ω2rA,ω2rB)＝eq \r(3)，D错误．
11.(多选)如图7所示，某拖拉机后轮半径是前轮半径的2倍，A、B分别是前、后轮边缘上的点，C是后轮某半径的中点．拖拉机匀速行驶时，A、B、C三点的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC.以下选项正确的是( )
图7
A．vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
B．ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶2
C．aA∶aB∶aC＝4∶2∶1
D．aA∶aB∶aC＝1∶2∶1
答案 AC
解析 B和C都是后轮上的点，同轴转动时各点角速度相等，故有ωB＝ωC.A和B分别是前、后轮边缘上的点，由于拖拉机匀速行驶时，前、后轮边缘上的点的线速度大小相等，故有vA＝vB.根据线速度和角速度的关系v＝rω，可得ωA∶ωB＝2∶1，vB∶vC＝2∶1，故ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，根据公式a＝ω2r，可得aA∶aB∶aC＝4∶2∶1，选项A、C正确．
12．如图8所示是一游乐转筒的模型图，它是一个半径约为2 m的直圆筒，可绕中间的竖直轴转动，里面的乘客背靠圆筒壁站立．当转筒转速达到至少每分钟30圈时，乘客脚下的踏板突然脱落，乘客随筒一起转动而不掉下来．要保证乘客的安全，乘客与转筒之间的动摩擦因数至少为多大？(g取10 m/s2，π2＝10)
图8
答案 0.5
解析 乘客随转筒旋转时受三个力：重力mg、筒壁对他的支持力FN和静摩擦力f，
要使乘客随筒一起转动而不掉下来，筒壁对他的最大静摩擦力应至少等于重力，乘客做圆周运动的向心力由筒壁对他的支持力FN来提供．
转筒的角速度为ω＝2nπ＝π rad/s
由牛顿第二定律可得FN＝mrω2
f＝μFN＝mg
联立解得μ＝0.5.
13.甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动的溜冰表演，如图9所示．两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N，下列判断正确的是( )
图9
A．两人的线速度大小相等，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为5 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
答案 D
解析 甲、乙两人绕共同的圆心做匀速圆周运动，角速度相同，他们间的拉力提供向心力，F＝mω2r，质量不同，所以他们的运动半径不同，v＝ωr，则两人的线速度不相等，设甲的半径为r1，则乙的半径为r2＝0.9 m－r1，故m甲ω2r1＝m乙ω2(0.9 m－r1)，解得r1＝0.3 m，r2＝0.6 m，再根据9.2 N＝m甲ω2r1可知，角速度ω≈0.62 rad/s，故A、B、C错误，D正确．实例分析
图例
向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动
弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动
绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止
静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时
拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时
绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
一、向心力的大小
F＝mω2r或F＝meq \f(v2,r).
二、向心加速度
1．定义：在匀速圆周运动中，F是指向圆心的向心力，所以加速度a也一定指向圆心，称为向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．向心加速度公式
a＝ω2r或a＝eq \f(v2,r).
4．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( × )
(2)匀速圆周运动的加速度方向指向圆心，大小不变．( √ )
(3)根据F＝meq \f(v2,r)知向心力F与半径r成反比．( × )
(4)根据a＝ω2r知向心加速度a与半径r成正比．( × )
2．一辆质量为1 000 kg的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r＝50 m的圆，以10 m/s的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，________对汽车提供向心力，此力大小为________ N.
答案 侧向摩擦力 2 000
3．在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6 m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为______，向心加速度大小为______．
答案 3 rad/s 1.8 m/s2
解析 角速度ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(0.6,0.2) rad/s＝3 rad/s，
小球运动的向心加速度大小a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(0.62,0.2) m/s2＝1.8 m/s2.
一、向心力的来源分析和计算
导学探究 如图1所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体．
图1
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
答案 (1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力．
(2)当物体转动的角速度变大后，由F＝mω2r可知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大．
知识深化
1．向心力的大小：F＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力；在非匀速圆周运动中，由沿半径方向的合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
如图2所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
图2
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误；水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，根据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．
一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从图3所示位置从静止开始释放，运动到最低点时球的速度为3 m/s.(球视为质点，绳不可伸长，取g＝10 m/s2)
图3
(1)分析球运动到最低点时向心力的来源，画出小球的受力示意图；
(2)球到达最低点时绳对球的拉力大小．
答案 (1)见解析 (2)3 N
解析 (1)由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示；
(2)由(1)可知，球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，FT－mg＝meq \f(v2,r)
则FT＝mg＋meq \f(v2,r)＝3 N.
针对训练1 (2019·通榆一中高一下月考)在光滑水平杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图4所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
图4
A．1∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析 由题图可知，两球均由所受绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.
二、向心加速度
导学探究
1．请根据牛顿第二定律以及向心力的表达式推导向心加速度的表达式．
答案 由牛顿第二定律知，a＝eq \f(F,m)，而F＝eq \f(mv2,r)＝mω2r，所以向心加速度的表达式为：a＝eq \f(v2,r)＝ω2r.
2．有人说：“匀速圆周运动的加速度恒定，所以是匀变速运动．”这种说法对吗？为什么？
答案 不对．匀速圆周运动的向心力大小不变，但方向时刻指向圆心，即方向始终变化，故加速度方向始终变化，所以匀速圆周运动是加速度时刻变化的变速运动．
知识深化
1．对向心加速度及其方向的理解
(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．
(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(3)圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动．
(4)变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小．
2．向心加速度公式
a＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
3．向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心．
4．向心加速度与半径的关系(如图5所示)
图5
(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案 ABD
解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向．所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心．故A、B、D正确，C错误．
(2019·大同一中期中)如图6所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( )
图6
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
答案 D
解析 传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度a＝eq \f(v2,r)可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由a＝ω2r可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，又A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，则A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4，故D正确．
针对训练2 (2019·深圳中学期中)如图7所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
图7
A．1∶1∶8 B．4∶1∶4
C．4∶1∶32 D．1∶2∶4
答案 C
解析 小齿轮A和大齿轮B通过链条连接，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小a＝eq \f(v2,R)可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度大小a＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，故选项C正确．
1.(向心力来源分析)(多选)如图8所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
图8
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于mgtan θ
答案 BCD
解析 对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A错误，B、C正确；向心力F＝mgtan θ，D正确．
2．(向心力公式的应用)(2019·通榆一中高一下月考)甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
答案 C
3.(对向心加速度公式的理解)如图9所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是一条过原点的直线．由图线可知( )
图9
A．质点P的线速度不变
B．质点P的角速度不变
C．质点Q的角速度不变
D．质点Q的线速度不变
答案 C
解析 质点P的a－r图线是双曲线的一支，即a与r成反比，由a＝eq \f(v2,r)知质点P的线速度v的大小是定值，但方向变化，A错误；根据ω＝eq \f(v,r)知质点P的角速度ω是变量，所以B错误；质点Q的a－r图线是一条过原点的直线，表示a∝r，由a＝rω2知角速度ω是定值，C正确；根据v＝ωr知质点Q的线速度v是变量，所以D错误．
4.(向心加速度的计算)(多选)(2019·遂宁市高一下期末)如图10所示，小球A用不可伸长的轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，当小球A运动到左侧时，在小球A的正上方高度为R处的小球B水平飞出，飞出时的速度大小为eq \r(gR).不计空气阻力，重力加速度为g，要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，则小球A的向心加速度大小可能为( )
图10
A.eq \f(π2g,8) B.eq \f(π2g,4) C.eq \f(7π2g,4) D.eq \f(9π2g,8)
答案 AD
解析 B做平抛运动，在竖直方向上有：R＝eq \f(1,2)gt2，得：t＝eq \r(\f(2R,g))，则水平方向的位移为x＝v0t＝eq \r(gR)·eq \r(\f(2R,g))＝eq \r(2)R，若要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，根据几何关系可知，当A运动eq \f(T,4)或eq \f(3T,4)时恰能与B相碰，则有：t＝eq \r(\f(2R,g))＝eq \f(T,4)或t＝eq \r(\f(2R,g))＝eq \f(3T,4)，又有a＝eq \f(4π2,T2)R，联立解得：a＝eq \f(π2g,8)或a＝eq \f(9π2g,8)，故A、D正确．
考点一 向心力的来源分析和计算
1.(2020·牡丹江一中高一下期中)如图1所示，小物块A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、与运动方向相同的摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
答案 B
解析 物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力，所以B正确，A、C、D错误．
2．狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速率行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(图中O为圆心)正确的是( )
答案 C
解析 滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，雪橇做匀速圆周运动，合力应该指向圆心，可知C正确，A、B、D错误．
3.(多选)(2019·棠湖中学高一质检)如图2所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
图2
A．螺丝帽受到的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝eq \r(\f(g,μr))
D．若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动
答案 AC
解析 螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，故A正确；螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力，弹力的方向指向圆心，故B错误；根据mg＝f＝μFN，FN＝mω2r，解得ω＝eq \r(\f(g,μr))，故C正确；若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力仍然平衡，故D错误．
考点二 向心加速度
4．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同 B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心 D．始终保持不变
答案 C
解析 做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，故C正确．
5．(多选)(2019·长丰二中高一下期末)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是( )
A．当它们的角速度相等时，乙的线速度小，则乙的向心加速度小
B．当它们的周期相等时，甲的半径大，则甲的向心加速度大
C．当它们的线速度相等时，乙的半径小，则乙的向心加速度小
D．当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向心加速度比乙的小
答案 AB
解析 角速度相等，乙的线速度小，根据公式a＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正确；周期相等，甲的半径大，根据公式a＝(eq \f(2π,T))2r，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故B正确；线速度相等，乙的半径小，根据公式a＝eq \f(v2,r)，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故C错误；线速度相等，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，即甲的角速度大，根据公式a＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故D错误．
6．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为( )
A．1∶4 B．4∶1 C．4∶9 D．9∶4
答案 B
解析 设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意eq \f(r1,r2)＝eq \f(9,4)，eq \f(T1,T2)＝eq \f(3,4)，由a＝eq \f(4π2,T2)r得：eq \f(a1,a2)＝eq \f(r1,r2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2＝eq \f(9,4)×(eq \f(4,3))2＝eq \f(4,1)，B选项正确．
7．(2019·山东省实验中学期中)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图3所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为( )
图3
A.eq \f(r12ω2,r3) B.eq \f(r32ω2,r1) C.eq \f(r33ω2,r\\al(2,1)) D.eq \f(r1r2ω2,r3)
答案 A
解析 三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据a＝eq \f(v2,r)和a＝ω2r，可得a丙＝eq \f(a甲r1,r3)＝eq \f(r12ω2,r3)，故A正确．
8.(2019·重庆十一中高一下期中)如图4所示，一竖直圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止．当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
图4
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
答案 D
解析 容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝F＝mω2r＝4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确．
9.(多选)如图5所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
图5
A．A球所受向心力为F1，B球所受向心力为F2
B．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1
C．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1－F2
D．F1∶F2＝3∶2
答案 CD
解析 A、B小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，A球靠拉力提供向心力，则A球做圆周运动的向心力为F2，B球靠两个拉力的合力提供向心力，则B球做圆周运动的向心力为F1－F2.由牛顿第二定律，对A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，联立各式解得F1∶F2＝3∶2，故C、D正确，A、B错误．
10.如图6所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是( )
图6
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
答案 A
解析 A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做匀速圆周运动，B以Q为圆心做匀速圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，eq \f(vA,vB)＝eq \f(ωrA,ωrB)＝eq \f(sin 60°,sin 30°)＝eq \r(3)，B错误；eq \f(aA,aB)＝eq \f(ω2rA,ω2rB)＝eq \r(3)，D错误．
11.(多选)如图7所示，某拖拉机后轮半径是前轮半径的2倍，A、B分别是前、后轮边缘上的点，C是后轮某半径的中点．拖拉机匀速行驶时，A、B、C三点的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC.以下选项正确的是( )
图7
A．vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
B．ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶2
C．aA∶aB∶aC＝4∶2∶1
D．aA∶aB∶aC＝1∶2∶1
答案 AC
解析 B和C都是后轮上的点，同轴转动时各点角速度相等，故有ωB＝ωC.A和B分别是前、后轮边缘上的点，由于拖拉机匀速行驶时，前、后轮边缘上的点的线速度大小相等，故有vA＝vB.根据线速度和角速度的关系v＝rω，可得ωA∶ωB＝2∶1，vB∶vC＝2∶1，故ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，根据公式a＝ω2r，可得aA∶aB∶aC＝4∶2∶1，选项A、C正确．
12．如图8所示是一游乐转筒的模型图，它是一个半径约为2 m的直圆筒，可绕中间的竖直轴转动，里面的乘客背靠圆筒壁站立．当转筒转速达到至少每分钟30圈时，乘客脚下的踏板突然脱落，乘客随筒一起转动而不掉下来．要保证乘客的安全，乘客与转筒之间的动摩擦因数至少为多大？(g取10 m/s2，π2＝10)
图8
答案 0.5
解析 乘客随转筒旋转时受三个力：重力mg、筒壁对他的支持力FN和静摩擦力f，
要使乘客随筒一起转动而不掉下来，筒壁对他的最大静摩擦力应至少等于重力，乘客做圆周运动的向心力由筒壁对他的支持力FN来提供．
转筒的角速度为ω＝2nπ＝π rad/s
由牛顿第二定律可得FN＝mrω2
f＝μFN＝mg
联立解得μ＝0.5.
13.甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动的溜冰表演，如图9所示．两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N，下列判断正确的是( )
图9
A．两人的线速度大小相等，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为5 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
答案 D
解析 甲、乙两人绕共同的圆心做匀速圆周运动，角速度相同，他们间的拉力提供向心力，F＝mω2r，质量不同，所以他们的运动半径不同，v＝ωr，则两人的线速度不相等，设甲的半径为r1，则乙的半径为r2＝0.9 m－r1，故m甲ω2r1＝m乙ω2(0.9 m－r1)，解得r1＝0.3 m，r2＝0.6 m，再根据9.2 N＝m甲ω2r1可知，角速度ω≈0.62 rad/s，故A、B、C错误，D正确．实例分析
图例
向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动
弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动
绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止
静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时
拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时
绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
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