粤教版 (2019)必修 第二册第一节 匀速圆周运动导学案及答案

这是一份粤教版 (2019)必修 第二册第一节 匀速圆周运动导学案及答案，共14页。

[学习目标] 1.掌握线速度的定义式，理解圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动.2.掌握角速度的定义式和单位.3.知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式v＝ωr和ω＝2πn.
一、线速度
1．定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δl，则Δl与Δt的比值称为线速度，公式：v＝eq \f(Δl,Δt).
2．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．
3．方向：线速度为矢(填“标”或“矢”)量，方向为物体做圆周运动时该点的切线方向．
4．匀速圆周运动
(1)定义：如果做圆周运动的质点线速度大小不随时间变化，这种运动称为匀速圆周运动．
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变．
(3)匀速圆周运动的线速度v＝eq \f(l,t).其中l表示质点通过的弧长，t为通过这段弧长所用时间．
二、角速度
1．定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，半径转过的角度为Δθ，则Δθ与Δt的比值，称为角速度，公式ω＝eq \f(Δθ,Δt).
2．意义：描述物体绕圆心转动的快慢．
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s.
4．物体做匀速圆周运动时，角速度不变(填“不变”或“变化”)，此时角速度的大小ω可以用质点所在的半径转过的角度θ与所用时间t之比来表示，即ω＝eq \f(θ,t).
三、线速度、角速度和周期间的关系
1．线速度大小与周期的关系：v＝eq \f(2πr,T).
2．角速度大小与周期的关系：ω＝eq \f(2π,T).
3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.
1．判断下列说法的正误．
(1)匀速圆周运动是一种匀速运动．( × )
(2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．( × )
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变．( √ )
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变．( √ )
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．( √ )
2.如图1所示，转笔深受广大中学生的喜爱．某一时刻，笔绕手指上的某一点O做匀速转动，OA∶OB＝1∶2，设A、B线速度大小分别为vA和vB，角速度大小分别为ωA和ωB，则vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.
图1
答案 1∶2 1∶1
一、描述圆周运动的物理量
导学探究 如图2所示，A、B为自行车车轮辐条上的两点，当它们随轮一起转动时：
图2
(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？
(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？
(3)A、B两点哪个运动得快？哪个转动得快？
答案 (1)A、B两点的速度方向均沿各自圆周在该点的切线方向．
(2)B运动的方向时刻变化，故B做变速运动．
(3)B运动得快．A、B转动得同样快．
知识深化
1．对匀速圆周运动的理解
(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化．
(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变．
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零．
2．描述圆周运动的物理量及其关系
(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
答案 ABC
解析 匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误．
(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A．它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
答案 BC
解析 A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝eq \f(Δθ,Δt)得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝eq \f(1,T)，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误．
二、圆周运动的传动问题
如图3所示，rA＝3rB＝3rC，则：
图3
(1)vA∶vB＝________，
ωA∶ωB＝________.
(2)ωA∶ωC＝________，
vA∶vC＝________.
答案 (1)1∶1 1∶3 (2)1∶1 3∶1
(多选)如图4为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r′，已知R＝2r，r′＝eq \f(2,3)R，设皮带不打滑，则三轮边缘上A、B、C三点的( )
图4
A．角速度之比为2∶2∶3
B．线速度大小之比为1∶1∶2
C．周期之比为3∶3∶2
D．转速之比为3∶2∶2
答案 AC
解析 A、B两点角速度相同，则ωA∶ωB＝1∶1，由v＝ωr知eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)＝eq \f(1,2)，B、C两点线速度大小相同，则vB∶vC＝1∶1，由ω＝eq \f(v,r)知eq \f(ωB,ωC)＝eq \f(r′,R)＝eq \f(2,3)，故vA∶vB∶vC＝1∶2∶2，B错误；ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶3，A正确；T＝eq \f(2π,ω)，则TA∶TB∶TC＝3∶3∶2，C正确；ω＝2πn，则nA∶nB∶nC＝2∶2∶3，D错误．
线速度与角速度之间关系的理解：
由线速度大小v＝ωr知，r一定时，v∝ω；
v一定时，ω∝eq \f(1,r)；
ω一定时，v∝r.
三、圆周运动的周期性和多解问题
1．问题特点：
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量．
2．分析技巧：
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点．
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．
如图5所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其圆心正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω的大小．
图5
答案 Req \r(\f(g,2h)) 2nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)
解析 设球在空中运动时间为t，此时间内圆盘转过θ角，则R＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2
故初速度大小v＝Req \r(\f(g,2h))
θ＝n·2π(n＝1,2,3…)
又因为θ＝ωt
则圆盘角速度大小ω＝eq \f(n·2π,t)＝2nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)．
1．(对匀速圆周运动的认识)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相同
D．在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
答案 ABD
解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，故A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C错误．
2．(描述圆周运动各物理量的关系)(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法正确的是( )
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径为eq \f(4,π) m D．频率为0.5 Hz
答案 BCD
解析 由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝eq \f(2π,T)＝π rad/s；由v＝ωr得r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(4,π) m；由T＝eq \f(1,n)得转速n＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2) r/s＝0.5 r/s；又由频率与周期的关系得f＝eq \f(1,T)＝0.5 Hz.故A错误，B、C、D正确．
3．(传动问题)(多选)在如图6所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
图6
A．角速度之比为2∶1∶2
B．线速度大小之比为1∶1∶2
C．周期之比为1∶2∶2
D．转速之比为1∶2∶2
答案 BD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等；B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A错误，B正确；
由ω＝2πn知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D正确；
T＝eq \f(1,n)，故Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，C错误．
4.(圆周运动的周期性)(多选)如图7所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不改变，空气阻力不计，重力加速度为g，则( )
图7
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝deq \r(\f(g,2h))
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2deq \r(\f(g,2h))
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝2πeq \r(\f(g,2h))
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3πeq \r(\f(g,2h))
答案 AD
解析 由题意可知，子弹的运动过程为平抛运动，子弹穿过两个弹孔的水平速度为v0＝eq \f(d,t)，时间为t＝eq \r(\f(2h,g))，所以水平速度为v0＝deq \r(\f(g,2h))，故A正确，B错误；由子弹从右侧射穿圆筒后两弹孔在同一竖直线上可知子弹在圆筒中的运动时间是圆筒半个周期的奇数倍，即t＝eq \r(\f(2h,g))＝neq \f(π,ω)(n＝1,3,5…)，则圆筒的角速度为ω＝nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,3,5…)，故C错误，D正确．
考点一 描述圆周运动的物理量及它们之间的关系
1．(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B．因为ω＝eq \f(v,r)，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝eq \f(2π,T)，所以角速度ω与周期T成反比
答案 CD
解析 当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，所以A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，所以C、D正确．
2．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速率跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速率跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1>ω2，v1>v2 B．ω1<ω2，v1C．ω1＝ω2，v1答案 C
解析 由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝eq \f(2πR,t)，v2＝eq \f(4πR,t)，v1由t＝eq \f(2π,ω)，得ω1＝ω2，故选项C正确．
3．(多选)火车以60 m/s的速率驶过一段弯道，某乘客发现放在水平桌面上的指南针在10 s内匀速转过了10°.在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
答案 AD
解析 由s＝vt知，s＝600 m，A正确；火车在弯道处做曲线运动，加速度不为零，B错误；由10 s内匀速转过10°知，角速度ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(\f(10°,360°)×2π,10)rad/s＝eq \f(π,180) rad/s≈0.017 rad/s，C错误；由v＝rω知，r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(60,\f(π,180)) m≈3.4 km，D正确．
4．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求该物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期．
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
解析 (1)根据线速度的定义式v＝eq \f(Δl,Δt)可得
v＝eq \f(100,10) m/s＝10 m/s；
(2)根据v＝ωr可得，ω＝eq \f(v,r)＝eq \f(10,20) rad/s＝0.5 rad/s；
(3)T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,0.5) s＝4π s.
考点二 传动问题
5.(2020·山东省实验中学期中)如图1所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于水平地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
图1
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
答案 B
解析 同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，v＝ωr，c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B.
6.(多选)如图2所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中( )
图2
A．甲、乙两轮的角速度之比为3∶1
B．甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C．甲、乙两轮边缘处的线速度大小之比为3∶1
D．甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
答案 AD
解析 这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度大小相等，故C错误；根据线速度的定义v＝eq \f(Δl,Δt)可知，弧长Δl＝vΔt，故D正确；根据v＝ωr可知ω＝eq \f(v,r)，又甲、乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正确；周期T＝eq \f(2π,ω)，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B错误．
7．(多选)如图3所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图3
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为eq \f(r1,r2)n
D．从动轮的转速为eq \f(r2,r1)n
答案 BC
解析 主动轮做顺时针转动，由皮带缠绕的方式知从动轮做逆时针转动，B正确，A错误；两轮边缘的线速度大小相等，由v＝rω，ω＝2πn可知，2πn·r1＝2πn′·r2，解得从动轮的转速n′＝eq \f(r1,r2)n，C正确，D错误．
8．如图4是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮．假设脚踏板的转速为n(r/s)，则自行车前进的速度为( )
图4
A.eq \f(πnr2r3,r1) B.eq \f(πnr1r3,r2)
C.eq \f(2πnr2r3,r1) D.eq \f(2πnr1r3,r2)
答案 D
解析 脚踏板的转速为n，则大齿轮边缘的线速度v1＝ω1r1＝2πnr1，后轮的角速度ω2＝eq \f(v1,r2)＝eq \f(2πnr1,r2)，故自行车前进的速度v2＝ω2r3＝eq \f(2πnr1r3,r2)，选项D正确．
9．(多选)如图5所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是( )
图5
A．a、b两点的运动周期相同
B．a、b两点的角速度是不同的
C．a、b两点的线速度大小相同
D．a、b两点线速度大小之比为2∶eq \r(3)
答案 AD
解析 a、b两点随地球一起自转，故周期与地球自转周期相同，选项A正确；由ω＝eq \f(2π,T)可知，a、b两点的角速度相同，选项B错误；ra＝R赤，rb＝R赤cs 30°，则ra∶rb＝2∶eq \r(3)，由v＝ωr可知，va∶vb＝2∶eq \r(3)，选项C错误，D正确．
10.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图6所示．当小球1的速度大小为v1时，小球2的速度大小为v2，则O点到小球2的距离是( )
图6
A.eq \f(Lv1,v1＋v2) B.eq \f(Lv2,v1＋v2)
C.eq \f(Lv1＋v2,v1) D.eq \f(Lv1＋v2,v2)
答案 B
解析 两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝L.又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)，联立得r2＝eq \f(Lv2,v1＋v2)，B正确．
11.(多选)如图7所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
图7
A．线速度大小之比为3∶3∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．周期之比为2∶3∶3
答案 AD
解析 A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点线速度大小相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝eq \f(2π,ω)，有Ta∶Tb＝2∶3；B轮、C轮是同轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝eq \f(2π,ω)，有Tb∶Tc＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3，故A、D正确，B、C错误．
12.如图8所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略重力、圆筒的阻力及空气阻力，则子弹的速度不可能是( )
图8
A.eq \f(dω,2π) B.eq \f(dω,3π) C.eq \f(dω,5π) D.eq \f(dω,7π)
答案 A
解析 圆筒上只有一个弹孔，说明子弹从同一孔射入、射出，子弹运动的时间t＝eq \f(d,v)，圆筒转过的角度θ＝2nπ＋π(n＝0,1,2，…)，而ω＝eq \f(θ,t)，联立可得v＝eq \f(ωd,2n＋1π)(n＝0,1,2…)，所以选项A不可能．
13.如图9所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，圆轮最低点距地面的高度为R，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．(不计空气阻力，重力加速度为g)
图9
(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；
(2)求圆轮转动的角速度大小．
答案 见解析
解析 (1)由题意知，a点物体做平抛运动，若与b点物体下落的时间相同，则b点物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向．
(2)a点物体平抛：R＝eq \f(1,2)gt2①
b点物体竖直下抛：2R＝v0t＋eq \f(1,2)gt2②
由①②得v0＝eq \r(\f(gR,2))③
又因ω＝eq \f(v0,R)④
由③④解得ω＝eq \r(\f(g,2R)).
14．如图10所示，一位同学玩飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出(不计空气阻力，重力加速度为g)，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是( )
图10
A．d＝eq \f(L2g,v02)
B．ω＝eq \f(π2n＋1v0,L)(n＝0,1,2,3…)
C．v0＝ωeq \f(d,2)
D．ω2＝eq \f(gπ22n＋12,d)(n＝0,1,2,3…)
答案 B
解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝eq \f(φ,ω)＝eq \f(2n＋1π,ω)(n＝0,1,2，3…)，平抛的时间t＝eq \f(L,v0)，则有eq \f(L,v0)＝eq \f(2n＋1π,ω)(n＝0,1,2，3…)，故可得ω＝eq \f(π2n＋1v0,L)(n＝0,1,2,3…)，v0＝eq \f(Lω,2n＋1π)(n＝0,1,2,3…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝eq \f(1,2)gt2，联立有dω2＝eq \f(1,2)gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3…)，d＝eq \f(gL2,2v02)，A、D错误．
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
规律
线速度大小与半径成正比：eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)
角速度与半径成反比：eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(R,r)
角速度与半径成反比：eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(R,r)