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物理必修 第二册第三节 万有引力定律的应用导学案
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这是一份物理必修 第二册第三节 万有引力定律的应用导学案，共12页。
第三节 万有引力定律的应用
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学的重要应用.2.了解万有引力定律在预测地球形状和预测未知天体中的基本思路.3.了解万有引力与重力的关系.4.会利用万有引力定律估算中心天体的质量和平均密度．
一、预测地球形状
1．大胆预测：牛顿通过万有引力的理论计算预测，地球由于自转作用，赤道部分应该隆起，成为两极扁平的椭圆体．
2．现象：从两极移向赤道的物体变轻了．
3.解释：设地球半径为R且密度均匀，质量为M，在纬度为θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体，如图1所示．
图1
(1)受到地球的引力F＝G.
(2)作用效果：①在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，即F1＝FT，为重力．
②提供物体随地球自转所需的向心力，F2＝mω2Rcos θ，方向垂直指向地轴．
(3)随着纬度θ减小，F2增大，F1减小．
二、预测未知天体
1．海王星的发现：英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，发现了这颗行星——海王星．
2．英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确定了万有引力定律的地位．
三、估算天体的质量
估算地球的质量有以下两种方法
方法一 月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心力由它的万有引力提供＝m月()2r，得地球质量m地＝，只要知道月球绕地球运动的周期T和轨道半径r，就可估算地球质量．
方法二 地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，m物g＝，得m地＝，只要知道地球半径和地球表面重力加速度就可以估算地球的质量．
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体受到的重力一定等于地球对它的万有引力．( × )
(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量．( × )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( × )
(4)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．( √ )
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为________．(结果保留一位有效数字)
答案 6×1024 kg
一、万有引力与重力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图2所示．
图2
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G，重力加速度最大为gmax＝.
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝G－mω2R，重力加速度最小为gmin＝－ω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从两极到赤道，随着纬度减小，向心力F′＝mω2R′增大，F′与F引夹角减小，所以重力G在减小，重力加速度减小．
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
3．特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力．
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
(多选)如图3所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图3
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体所受的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的升高而增大，在两极处最大，故D错误．
火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员，(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)宇航员在地球表面上有mg＝G
在火星表面上有mg′＝G
代入数据，联立解得g′＝g＝ m/s2
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝
联立解得h＝H＝3.375 m.
二、天体质量和平均密度的计算
导学探究
1．月球是地球唯一的一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过46亿年，根据月球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？
答案 根据G＝m月r可知，我们可推导出地球的质量，无法推导出月球的质量．
2．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和平均密度．
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)由mg＝G得，M地＝，ρ＝＝＝.
知识深化
1．计算中心天体质量的两种方法
(1)环绕法
质量为m的行星或卫星绕质量为M的中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供行星或卫星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝.
说明：①已知v、r；ω、r；T、r等两个物理量，即可求出中心天体的质量．
②这种方法只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量，其中T为公转周期，r为公转轨道的半径．
(2)重力加速度法
①已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体的质量M＝.
②说明：g为天体表面重力加速度．
未知星球表面重力加速度通常这样给出：弹簧秤称重或让小球做自由落体、平抛、竖直上抛、竖直下抛等运动，从而计算出该星球表面重力加速度．
2．计算天体的平均密度
若天体的半径为R，则天体的平均密度ρ＝.
(1)将M＝代入上式得ρ＝.
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
说明：习惯上轨道半径用r表示，天体半径用R表示．
(2)将M＝代入上式得ρ＝.
(2019·潍坊一中期末)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的平均密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的平均密度是多少？
答案 (1) (2)
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
G＝m(R＋h)，则有M＝
天体的体积V＝πR3
故该天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝
ρ＝＝＝.
(2019·扬州市高一下期末)德国天文学家们曾于2008年证实，位于银河系中心，与地球相距2.6万光年的“人马座A”其实是一个质量超大的黑洞．假设银河系中心仅此一个黑洞，太阳系绕该黑洞中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量已知)( )
A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期
B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离
C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径
D．太阳系绕该黑洞的公转周期和公转半径
答案 D
解析 设太阳系的质量为m，该黑洞的质量为M，太阳系绕该黑洞做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则Gm＝mr＝m，解得该黑洞的质量M＝＝，则已知太阳系绕该黑洞的公转周期T和公转半径r，或者已知太阳系的运行速度v和公转半径r，可以估算出该黑洞的质量，故选D.
1．(万有引力与重力的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
答案 A
解析 设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，若忽略地球的自转，万有引力等于重力，则有＝m，mg＝，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，选项A正确．
2．(天体质量的计算)(2019·临夏中学期末)若有一星球，其平均密度与地球的平均密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的( )
A．27倍 B．3倍 C．0.5倍 D．9倍
答案 A
解析 物体在地球表面受到的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即G＝mg，解得g＝，质量M＝ρ·πR3，联立解得g＝GπρR，该星球的平均密度跟地球的平均密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，由M＝ρ·πR3可知，该星球质量是地球质量的27倍，故A正确．
3．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ.
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝g月t2，
解得g月＝.
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，
月球的质量M＝＝.
(3)月球的平均密度ρ＝＝＝.
考点一 万有引力与重力的关系
1．(多选)地球绕地轴自转时，对静止在地面上的某一个物体，下列说法正确的是( )
A．物体的重力并不等于它随地球自转所需的向心力
B．在地面上的任何位置，物体向心加速度的大小都相等，方向都指向地心
C．在地面上的任何位置，物体向心加速度的方向都垂直指向地球的自转轴
D．物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的降低而增大
答案 ACD
解析 考虑地球自转的作用效果时，地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动，其运动平面与地轴垂直，向心力的大小为mrω2，选项B错误，C正确；由于在不同位置的轨道半径各不相同，故向心力大小不一样，在赤道时向心力最大，选项D正确；物体随地球自转，所受向心力指向地轴，万有引力垂直地轴方向的分力提供物体做圆周运动的向心力，所以物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力，选项A正确．
2．(2019·洛阳一高高一下月考)假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是( )
A．放在赤道地面上的物体所受的万有引力大小不变
B．放在两极地面上的物体的重力变小
C．放在赤道地面上的物体的重力不变
D．放在两极地面上的物体的重力变大
答案 A
3．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 在地球表面处，有G＝mg0，在距离地心4R处，有G＝mg，联立得＝()2＝，故D正确．
4．(2019·哈尔滨六中高一下期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 在两极地区，万有引力等于物体的重力，则有＝mg0，在赤道处，万有引力和重力的合力提供物体做圆周运动的向心力，则有－mg＝mR，联立解得R＝，故A正确，B、C、D错误．
5．据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由mg＝G可知：g地＝G，g星＝G，＝·＝，所以选项B正确．
考点二 估算天体的质量和平均密度
6．(多选)(2019·西安高级中学期中)已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)( )
A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
答案 AC
7．(2019·铜陵市第一中学期末)如果我们能测出月球表面的重力加速度g，月球的半径R和月球绕地球的转动周期T，就能够根据万有引力定律“称量”月球的质量了．已知引力常量为G，关于月球质量m月的表达式正确的是( )
A．m月＝ B．m月＝
C．m月＝ D．m月＝
答案 A
8．(2019·天津七中期末)美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
答案 D
解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又因为土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D正确．
9．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
10．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳的质量与地球的质量之比为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 地球绕太阳公转，由太阳对地球的引力提供地球做圆周运动的向心力得：＝
m地R，解得：m太＝.月球绕地球公转，由地球对月球的引力提供月球做圆周运动的向心力得：＝m月·r，解得：m地＝，所以太阳的质量与地球的质量之比：＝，故B正确．
11．一卫星在某一行星表面附近绕其做匀速圆周运动，线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，忽略该行星的自转，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设行星半径为R，行星质量为M，卫星质量为m1，卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有＝m1，在行星表面物体所受的重力等于万有引力，即F＝mg′＝，联立解得行星质量M＝，选项B正确．
12．(多选)宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
答案 AB
解析 根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝，解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．
13．已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设太阳的质量为M，对地球绕太阳的圆周运动有＝mr
对地球表面的物体有m′g＝
联立两式可得太阳质量M＝，B正确．
14．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，此时G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝
＝ kg/m3
≈5×1015 kg/m3，故C项正确．
第三节 万有引力定律的应用
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学的重要应用.2.了解万有引力定律在预测地球形状和预测未知天体中的基本思路.3.了解万有引力与重力的关系.4.会利用万有引力定律估算中心天体的质量和平均密度．
一、预测地球形状
1．大胆预测：牛顿通过万有引力的理论计算预测，地球由于自转作用，赤道部分应该隆起，成为两极扁平的椭圆体．
2．现象：从两极移向赤道的物体变轻了．
3.解释：设地球半径为R且密度均匀，质量为M，在纬度为θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体，如图1所示．
图1
(1)受到地球的引力F＝G.
(2)作用效果：①在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，即F1＝FT，为重力．
②提供物体随地球自转所需的向心力，F2＝mω2Rcos θ，方向垂直指向地轴．
(3)随着纬度θ减小，F2增大，F1减小．
二、预测未知天体
1．海王星的发现：英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，发现了这颗行星——海王星．
2．英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确定了万有引力定律的地位．
三、估算天体的质量
估算地球的质量有以下两种方法
方法一 月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心力由它的万有引力提供＝m月()2r，得地球质量m地＝，只要知道月球绕地球运动的周期T和轨道半径r，就可估算地球质量．
方法二 地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，m物g＝，得m地＝，只要知道地球半径和地球表面重力加速度就可以估算地球的质量．
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体受到的重力一定等于地球对它的万有引力．( × )
(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量．( × )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( × )
(4)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．( √ )
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为________．(结果保留一位有效数字)
答案 6×1024 kg
一、万有引力与重力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图2所示．
图2
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G，重力加速度最大为gmax＝.
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝G－mω2R，重力加速度最小为gmin＝－ω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从两极到赤道，随着纬度减小，向心力F′＝mω2R′增大，F′与F引夹角减小，所以重力G在减小，重力加速度减小．
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
3．特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力．
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
(多选)如图3所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图3
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体所受的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的升高而增大，在两极处最大，故D错误．
火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员，(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)宇航员在地球表面上有mg＝G
在火星表面上有mg′＝G
代入数据，联立解得g′＝g＝ m/s2
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝
联立解得h＝H＝3.375 m.
二、天体质量和平均密度的计算
导学探究
1．月球是地球唯一的一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过46亿年，根据月球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？
答案 根据G＝m月r可知，我们可推导出地球的质量，无法推导出月球的质量．
2．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和平均密度．
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)由mg＝G得，M地＝，ρ＝＝＝.
知识深化
1．计算中心天体质量的两种方法
(1)环绕法
质量为m的行星或卫星绕质量为M的中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供行星或卫星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝.
说明：①已知v、r；ω、r；T、r等两个物理量，即可求出中心天体的质量．
②这种方法只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量，其中T为公转周期，r为公转轨道的半径．
(2)重力加速度法
①已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体的质量M＝.
②说明：g为天体表面重力加速度．
未知星球表面重力加速度通常这样给出：弹簧秤称重或让小球做自由落体、平抛、竖直上抛、竖直下抛等运动，从而计算出该星球表面重力加速度．
2．计算天体的平均密度
若天体的半径为R，则天体的平均密度ρ＝.
(1)将M＝代入上式得ρ＝.
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
说明：习惯上轨道半径用r表示，天体半径用R表示．
(2)将M＝代入上式得ρ＝.
(2019·潍坊一中期末)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的平均密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的平均密度是多少？
答案 (1) (2)
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
G＝m(R＋h)，则有M＝
天体的体积V＝πR3
故该天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝
ρ＝＝＝.
(2019·扬州市高一下期末)德国天文学家们曾于2008年证实，位于银河系中心，与地球相距2.6万光年的“人马座A”其实是一个质量超大的黑洞．假设银河系中心仅此一个黑洞，太阳系绕该黑洞中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量已知)( )
A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期
B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离
C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径
D．太阳系绕该黑洞的公转周期和公转半径
答案 D
解析 设太阳系的质量为m，该黑洞的质量为M，太阳系绕该黑洞做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则Gm＝mr＝m，解得该黑洞的质量M＝＝，则已知太阳系绕该黑洞的公转周期T和公转半径r，或者已知太阳系的运行速度v和公转半径r，可以估算出该黑洞的质量，故选D.
1．(万有引力与重力的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
答案 A
解析 设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，若忽略地球的自转，万有引力等于重力，则有＝m，mg＝，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，选项A正确．
2．(天体质量的计算)(2019·临夏中学期末)若有一星球，其平均密度与地球的平均密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的( )
A．27倍 B．3倍 C．0.5倍 D．9倍
答案 A
解析 物体在地球表面受到的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即G＝mg，解得g＝，质量M＝ρ·πR3，联立解得g＝GπρR，该星球的平均密度跟地球的平均密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，由M＝ρ·πR3可知，该星球质量是地球质量的27倍，故A正确．
3．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ.
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝g月t2，
解得g月＝.
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，
月球的质量M＝＝.
(3)月球的平均密度ρ＝＝＝.
考点一 万有引力与重力的关系
1．(多选)地球绕地轴自转时，对静止在地面上的某一个物体，下列说法正确的是( )
A．物体的重力并不等于它随地球自转所需的向心力
B．在地面上的任何位置，物体向心加速度的大小都相等，方向都指向地心
C．在地面上的任何位置，物体向心加速度的方向都垂直指向地球的自转轴
D．物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的降低而增大
答案 ACD
解析 考虑地球自转的作用效果时，地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动，其运动平面与地轴垂直，向心力的大小为mrω2，选项B错误，C正确；由于在不同位置的轨道半径各不相同，故向心力大小不一样，在赤道时向心力最大，选项D正确；物体随地球自转，所受向心力指向地轴，万有引力垂直地轴方向的分力提供物体做圆周运动的向心力，所以物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力，选项A正确．
2．(2019·洛阳一高高一下月考)假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是( )
A．放在赤道地面上的物体所受的万有引力大小不变
B．放在两极地面上的物体的重力变小
C．放在赤道地面上的物体的重力不变
D．放在两极地面上的物体的重力变大
答案 A
3．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 在地球表面处，有G＝mg0，在距离地心4R处，有G＝mg，联立得＝()2＝，故D正确．
4．(2019·哈尔滨六中高一下期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 在两极地区，万有引力等于物体的重力，则有＝mg0，在赤道处，万有引力和重力的合力提供物体做圆周运动的向心力，则有－mg＝mR，联立解得R＝，故A正确，B、C、D错误．
5．据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由mg＝G可知：g地＝G，g星＝G，＝·＝，所以选项B正确．
考点二 估算天体的质量和平均密度
6．(多选)(2019·西安高级中学期中)已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)( )
A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
答案 AC
7．(2019·铜陵市第一中学期末)如果我们能测出月球表面的重力加速度g，月球的半径R和月球绕地球的转动周期T，就能够根据万有引力定律“称量”月球的质量了．已知引力常量为G，关于月球质量m月的表达式正确的是( )
A．m月＝ B．m月＝
C．m月＝ D．m月＝
答案 A
8．(2019·天津七中期末)美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
答案 D
解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又因为土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D正确．
9．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
10．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳的质量与地球的质量之比为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 地球绕太阳公转，由太阳对地球的引力提供地球做圆周运动的向心力得：＝
m地R，解得：m太＝.月球绕地球公转，由地球对月球的引力提供月球做圆周运动的向心力得：＝m月·r，解得：m地＝，所以太阳的质量与地球的质量之比：＝，故B正确．
11．一卫星在某一行星表面附近绕其做匀速圆周运动，线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，忽略该行星的自转，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设行星半径为R，行星质量为M，卫星质量为m1，卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有＝m1，在行星表面物体所受的重力等于万有引力，即F＝mg′＝，联立解得行星质量M＝，选项B正确．
12．(多选)宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
答案 AB
解析 根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝，解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．
13．已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设太阳的质量为M，对地球绕太阳的圆周运动有＝mr
对地球表面的物体有m′g＝
联立两式可得太阳质量M＝，B正确．
14．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，此时G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝
＝ kg/m3
≈5×1015 kg/m3，故C项正确．
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