高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律本章综合与测试学案及答案

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一、天体运动的物理量与轨道半径的关系
1．一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．
Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r.
向心加速度an＝eq \f(GM,r2)＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r.
2．天体运动的物理量与轨道半径的关系
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝man得GM＝anr2，即an＝eq \f(GM,r2).
(2)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得GM＝v2r，即v＝eq \r(\f(GM,r)).
(3)由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得GM＝ω2r3，即ω＝eq \r(\f(GM,r3)).
(4)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得GM＝eq \f(4π2,T2)r3，即T＝2πeq \r(\f(r3,GM)).
由以上关系式可知：
①同一中心天体
a．行星(或卫星)的轨道半径确定后，其对应的向心加速度大小、线速度大小、角速度大小和周期与卫星质量无关，且均是唯一的．
b．行星(或卫星)的轨道半径r越大，an、v、ω越小，T越大，即“越远越慢”．
②不同的中心天体
比较或计算行星(或卫星)各物理量时，除了要考虑轨道半径r外，还要考虑中心天体的质量不同．
(2019·潍坊市联考)如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
图1
A．a、b的线速度大小之比是eq \r(2)∶1
B．a、b的周期之比是1∶2eq \r(2)
C．a、b的角速度大小之比是3eq \r(6)∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
答案 C
解析 两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向．
由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(r2,r1))＝eq \r(\f(3R,2R))＝eq \r(\f(3,2))，故A错误；
由eq \f(GMm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2得eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(r\\al(13),r\\al(23)))＝eq \f(2,3)eq \r(\f(2,3))，故B错误；
由eq \f(GMm,r2)＝mrω2得eq \f(ω1,ω2)＝eq \r(\f(r\\al(23),r\\al(13)))＝eq \f(3\r(6),4)，故C正确；
由eq \f(GMm,r2)＝man得eq \f(an1,an2)＝eq \f(r\\al(22),r\\al(12))＝eq \f(9,4)，故D错误．
针对训练 (多选)(2019·峨山第一中学期末)如图2所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量，则( )
图2
A．b所需向心力最小
B．b、c的运动周期相同且大于a的运动周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
答案 ABD
解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝eq \f(GMm,r2)，则b所需向心力最小，A对；由eq \f(GMm,r2)＝mr(eq \f(2π,T))2得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大，所以b、c的运动周期相等且大于a的运动周期，B对；由eq \f(GMm,r2)＝man，得an＝eq \f(GM,r2)，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对．
二、“黄金代换式”的应用
1．忽略星球自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”．
2．“黄金代换式”与万有引力提供向心力公式的结合
由“黄金代换式”可得GM＝gR2，由万有引力提供向心力可得GM＝anr2＝v2r＝ω2r3＝eq \f(4π2,T2)r3，GM可以作为中间量，相互求未知量．
2018年5月21日，我国在西昌卫星发射中心将“鹊桥”号中继星发射升空并成功进入预定轨道．设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R.求：
(1)“鹊桥”号中继星离地面的高度h；
(2)“鹊桥”号中继星运行的线速度大小v；
(3)“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度的大小．
答案 (1) eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R (2) eq \r(3,\f(2πgR2,T)) (3) eq \r(3,\f(16π4gR2,T4))
解析 (1)设地球质量为M，“鹊桥”号中继星的质量为m，万有引力提供向心力，
则Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)
对地面上质量为m′的物体有Geq \f(Mm′,R2)＝m′g
联立解得：h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R.
(2)“鹊桥”号中继星线速度大小v＝eq \f(2πR＋h,T)
联立解得v＝eq \r(3,\f(2πgR2,T)).
(3)“鹊桥”号中继星的向心加速度大小an＝eq \f(v2,R＋h)
联立解得an＝eq \r(3,\f(16π4gR2,T4)).
三、天体中的“追及、相遇”问题
1．根据eq \f(GMm,r2)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝meq \f(v2,r)，得GM＝ω2r3＝eq \f(4π2,T2)r3＝v2r，可知r越小，ω越大，T越小，行星(或卫星)运动得越快．
2.如图3所示，卫星P、Q在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动．
t＝0时刻，轨道1上的卫星P与轨道2上的卫星Q距离最近，经时间t两卫星又一次距离最近，两卫星在时间t内经过的圆心角分别为θ1、θ2，两卫星公转周期分别为T1、T2，则有θ1－θ2＝2π，即ω1t－ω2t＝2π，因ω＝eq \f(2π,T)，(eq \f(2π,T1)－eq \f(2π,T2))t＝2π得t＝eq \f(T1T2,T2－T1).
图3
同理两卫星：
①若相距最近，θ1－θ2＝n·2π(n＝1,2,3，…)
②若下一次相距最远，θ1－θ2＝π
③若相距最远，θ1－θ2＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)
④若共线，θ1－θ2＝n·π(n＝1,2,3，…)
3．若两卫星沿相反的方向绕地球做圆周运动，若两卫星相距最近，应满足θ1＋θ2＝n·2π(n＝1,2,3，…)
若两卫星相距最远，应满足θ1＋θ2＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3，…)
两颗卫星在同一轨道平面同向绕地球做匀速圆周运动，如图4所示，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面的高度为3R，则：
图4
(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则之后a至少经过多少个周期两卫星相距最远？
答案 (1)1∶2eq \r(2) (2)eq \f(4＋\r(2),7)
解析 (1)设a卫星运行轨道的半径为Ra，b卫星运行轨道的半径为Rb，由题可知，Ra＝2R，Rb＝4R
由开普勒定律知eq \f(R\\al(a3),T\\al(a2))＝eq \f(R\\al(b3),T\\al(b2))
所以Ta∶Tb＝1∶2eq \r(2)①
(2)设经过时间t二者第一次相距最远，此时a比b多转半圈，即(eq \f(2π,Ta)－eq \f(2π,Tb))t＝π
解得t＝eq \f(TaTb,2Tb－Ta)②
这段时间a经过的周期数n＝eq \f(t,Ta).③
联立①②③式可得n＝eq \f(4＋\r(2),7).
1．(天体运动的物理量与轨道半径的关系)(2019·安阳市二十六中期末)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 “高分五号”运动的轨道半径小于“高分四号”运动的轨道半径，即r五T＝2πeq \r(\f(r3,GM))∝eq \r(r3)，T五ω＝eq \r(\f(GM,r3))∝eq \r(\f(1,r3))，ω五>ω四，故B错；
v＝eq \r(\f(GM,r))∝eq \r(\f(1,r))，v五>v四，故C错；
an＝eq \f(GM,r2)∝eq \f(1,r2)，an五>an四，故D错．
2．(天体运动各参量比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图5
A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大
答案 A
解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r＝mω2r＝meq \f(v2,r)，可得a＝eq \f(GM,r2)，T＝
2πeq \r(\f(r3,GM))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，v＝eq \r(\f(GM,r)).由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.
3．(“黄金代换式”的应用)(2019·肥东高级中学高一下期末)已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，一颗距离地面高度为2R的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列关于卫星运动的说法正确的是( )
A．线速度大小为eq \r(\f(gR,2)) B．角速度大小为eq \r(\f(g,27R))
C．加速度大小为eq \f(g,4) D．周期为6πeq \r(\f(R,g))
答案 B
解析 由“黄金代换式”得GM＝gR2，卫星轨道半径r＝3R；由万有引力提供向心力得：GM＝v2·3R＝ω2·(3R)3＝an(3R)2＝eq \f(4π2,T2)(3R)3，解得v＝eq \r(\f(gR,3))，A错误；ω＝eq \r(\f(g,27R))，B正确；an＝eq \f(1,9)g，C错误；T＝6πeq \r(\f(3R,g))，D错误．
4．(卫星的“追及、相遇”问题)2018年7月27日发生火星冲日现象，我国整夜可见．火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以其明亮而易于观察．地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都可近似为圆形，已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，如图6所示，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，则火星再次与地球相距最近时所需时间约为( )
图6
A．0.5年 B．1年 C．2年 D．4年
答案 C
解析 根据开普勒第三定律有eq \f(T火,T地)＝eq \r(\f(r\\al(火3),r\\al(地3)))＝1.5eq \r(1.5)，又地球的公转周期为1年，即T地＝1年，则T火≈1.8年，由(ω地－ω火)·t＝2π，得距下一次火星冲日所需时间为t＝eq \f(2π,ω地－ω火)＝eq \f(T火·T地,T火－T地)＝2.25年≈2年，故选项C正确．
考点一 天体运动各物理量与轨道半径的关系
1．(2019·贵阳市高一下期末)关于人造地球卫星所受向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是( )
A．由Fn＝eq \f(mv2,r)可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的eq \f(1,2)
B．由Fn＝mrω2可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的2倍
C．由Fn＝mvω可知，卫星的向心力与轨道半径r无关
D．由Fn＝eq \f(GMm,r2)可知，当r减小为原来的eq \f(1,2)时，卫星的向心力变为原来的4倍
答案 D
解析 由万有引力提供向心力eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，可知r变化，对应的v、ω也变化，A、B、C错误；由Fn＝eq \f(GMm,r2)可知，r减小为原来的eq \f(1,2)时，向心力变为原来的4倍，D正确．
2.(多选)(2019·修远中学3月月考)如图1所示，a、b两颗人造地球卫星分别在半径不同的轨道上绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图1
A．a的加速度大于b的加速度
B．a的周期小于b的周期
C．a的线速度大于b的线速度
D．地球对a的引力小于地球对b的引力
答案 ABC
解析 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝man，可知T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，v＝eq \r(\f(GM,r))，an＝Geq \f(M,r2)，故轨道半径小的卫星向心加速度大、周期小、线速度大，故A、B、C正确；a、b两颗卫星质量关系未知，地球对其的引力大小关系无法确定，故D错误．
3.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P点，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图2所示，下列说法中正确的是( )
图2
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在在P点相撞的危险
答案 A
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝man可知an＝eq \f(GM,r2)，v＝eq \f(GM,r)，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，选项B、C错误，A正确；因a、c轨道半径相同，则二者周期相同，由题图可知当c运动到P点时不会与a相撞，以后也不可能相撞，选项D错误．
4.(2019·武邑中学高一下月考)在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C，某时刻恰好在同一直线上，如图3所示，当卫星B经过一个周期时，则( )
图3
A．各卫星角速度相等，因而三星仍在同一直线上
B．A超前于B，C落后于B
C．A、C均超前于B
D．A、C都落后于B
答案 B
解析 设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))；由于rA5．两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比eq \f(MA,MB)＝p，两行星的半径之比eq \f(RA,RB)＝q，则两颗卫星的周期之比eq \f(Ta,Tb)为( )
A.eq \r(pq) B．qeq \r(p)
C．peq \r(\f(p,q)) D．qeq \r(\f(q,p))
答案 D
解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，则有Geq \f(Mm,R2)＝mR(eq \f(2π,T))2，得T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，解得eq \f(Ta,Tb)＝qeq \r(\f(q,p))，故D正确，A、B、C错误．
6．(2019·太原市高一期末)2019年1月，我国在西昌卫星发射中心成功发射了“中星2D”卫星．“中星2D”是我国研制的通信广播卫星，可为全国提供广播电视及宽带多媒体等传输任务．“中星2D”的质量为m、运行轨道距离地面的高度为h.已知地球的质量为m地，半径为R，引力常量为G，据以上信息可知“中星2D”在轨道运行时( )
A．速度的大小为eq \r(\f(Gm,R＋h))
B．角速度大小为eq \r(\f(Gm地,R3))
C．向心加速度大小为eq \f(Gm地,R＋h2)
D．周期为2πReq \r(\f(R,Gm地))
答案 C
解析 地球对“中星2D”卫星的万有引力提供其环绕地球做匀速圆周运动的向心力，有Geq \f(m地m,R＋h2)＝meq \f(v2,R＋h)＝mω2(R＋h)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)＝man，得速度大小v＝eq \r(\f(Gm地,R＋h))，选项A错误；角速度大小ω＝eq \r(\f(Gm地,R＋h3))，选项B错误；向心加速度大小an＝eq \f(Gm地,R＋h2)，选项C正确；周期T＝2π(R＋h)eq \r(\f(R＋h,Gm地))，选项D错误．
考点二 “黄金代换式”的应用
7．(多选)人造地球卫星在地球表面附近做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，人造地球卫星( )
A．绕行的线速度最大为eq \r(gR)
B．绕行的周期小于2πeq \r(\f(R,g))
C．在距地面高为R处的绕行速度大小为eq \r(\f(Rg,2))
D．在距地面高为R处的周期为2πeq \r(\f(2R,g))
答案 AC
解析 在距地面高为h处做匀速圆周运动的卫星，由万有引力提供向心力，则Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(v2,R＋h)＝m(R＋h)(eq \f(2π,T))2，Geq \f(M,R2)＝g，所以v＝eq \r(\f(GM,R＋h))＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，当h＝0时线速度最大，为v＝eq \r(Rg)，选项A正确；周期T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))，当h＝0时，最小周期T0＝2πeq \r(\f(R,g))，选项B错误；在距地面高为R处的绕行速度大小v′＝eq \r(\f(Rg,2))，选项C正确；在距地面高为R处的周期T′＝4πeq \r(\f(2R,g))，选项D错误．
考点三 天体“追及、相遇”问题
8.(多选)(2020·通榆县第一中学月考)2019年9月12日，我国在太原卫星发射中心“一箭三星”发射成功．现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，如图4所示，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta＝6 h、Tb＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是( )
图4
A．a、b每经过6 h相遇一次
B．a、b每经过8 h相遇一次
C．b、c每经过8 h相遇一次
D．b、c每经过6 h相遇一次
答案 BC
解析 a、b转动方向相同，在相邻两次相遇的过程中，a比b多转一圈，设相邻两次相遇的时间为Δt，则有eq \f(Δt,Ta)－eq \f(Δt,Tb)＝1，解得Δt＝8 h，所以A错误，B正确；b、c转动方向相反，在相邻两次相遇的过程中，b、c共转一圈，设相邻两次相遇的时间为Δt′，则有eq \f(Δt′,Tb)＋eq \f(Δt′,Tc)＝1，解得Δt′＝8 h，故C正确，D错误．
9．(多选)(2019·东华高级中学期末)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R，则该层是土星的卫星群
B．若v∝R，则该层是土星的一部分
C．若v∝eq \f(1,R)，则该层是土星的一部分
D．若v2∝eq \f(1,R)，则该层是土星的卫星群
答案 BD
解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω大小相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得v2∝eq \f(1,R)，故A错误，D正确．
10.如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1；金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，如图5所示，则由此条件不可求的是( )
图5
A．水星和金星绕太阳运动的周期之比
B．水星和金星绕太阳运动的向心加速度之比
C．水星和金星绕太阳运动的轨道半径之比
D．水星和金星的平均密度之比
答案 D
解析 相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2，可知它们的角速度之比为θ1∶θ2.周期T＝eq \f(2π,ω)，则周期之比为θ2∶θ1，选项A可求；万有引力提供向心力，则Geq \f(m太m,r2)＝mω2r，知道了角速度之比，就可求出轨道半径之比，选项C可求；根据an＝rω2，轨道半径之比、角速度之比都知道，则可求出向心加速度之比，选项B可求；水星和金星是环绕天体，由已知条件无法求出其质量关系，也无法知道它们的半径关系，所以不能求出其密度之比，选项D不可求．
11．(2019·嘉兴市高一下期末)电影《流浪地球》深受观众喜爱，影片中人们最后找到的新家园是一颗质量比太阳大一倍的恒星，假设地球绕该恒星做匀速圆周运动，地球到这颗恒星中心的距离是地球到太阳中心的距离的2倍．则现在地球绕新的恒星与原来绕太阳运动相比，下列说法正确的是( )
A．线速度是原来的eq \f(1,2)
B．万有引力是原来的eq \f(1,4)
C．向心加速度是原来的2倍
D．周期是原来的2倍
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，由题意知，新恒星的质量是太阳质量的2倍，地球到这颗恒星中心的距离是地球到太阳中心的距离的2倍，则地球绕新恒星的线速度大小不变，故A错误；由万有引力F＝Geq \f(Mm,r2)可知，万有引力是原来的eq \f(1,2)，故B错误；由向心加速度an＝eq \f(v2,r)可知，线速度v不变，轨道半径r变为原来的2倍，则向心加速度是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由周期T＝eq \f(2πr,v)可知，线速度v不变，轨道半径r是原来的2倍，则周期是原来的2倍，故D正确．
12．(2019·泉港一中期末)(1)已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，忽略地球的自转．试求出月球绕地球运动的轨道半径r.
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点．已知月球半径为R月，引力常量为G，忽略月球的自转．试求出月球的质量m月．
答案 (1)eq \r(3,\f(gR2T2,4π2)) (2)eq \f(2v0R\\al(月2),Gt)
解析 (1)设地球的质量为m，根据万有引力定律和向心力公式：
Geq \f(m月m,r2)＝m月(eq \f(2π,T))2r
忽略地球的自转，质量为m1的物体在地球表面有eq \f(Gm·m1,R2)＝m1g
联立解得：r＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2)).
(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意知t＝eq \f(2v0,g月)
忽略月球的自转，质量为m1的物体在月球表面有：eq \f(Gm月m1,R\\al(月2))＝m1g月
联立解得：m月＝eq \f(2v0R\\al(月2),Gt).
13．(2019·商丘市九校期末联考)a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a卫星在地球表面运行，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球的自转)
(1)a、b两颗卫星的运动周期；
(2)a、b两颗卫星的线速度大小之比；
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远．(两卫星同向运转)
答案 (1)2πeq \r(\f(R,g)) 16πeq \r(\f(R,g)) (2)2∶1
(3)eq \f(8π,7)eq \r(\f(R,g))
解析 (1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有F引＝Fn，设地球质量为M，
对地球表面上质量为m的物体，有Geq \f(Mm,R2)＝mg
对a卫星，有eq \f(GMma,R2)＝maeq \f(4π2,T\\al(a2))R
解得Ta＝2πeq \r(\f(R,g))
对b卫星，有eq \f(GMmb,4R2)＝mbeq \f(4π2,T\\al(b2))·4R
解得Tb＝16πeq \r(\f(R,g)).
(2)对a卫星，有eq \f(GMma,R2)＝eq \f(mav\\al(a2),R)
解得va＝eq \r(\f(GM,R))
对b卫星，有Geq \f(Mmb,4R2)＝mbeq \f(v\\al(b2),4R)
解得vb＝eq \r(\f(GM,4R))
所以va∶vb＝2∶1.
(3)设经过时间t，二者第一次相距最远，此时a比b多转半圈，则(eq \f(2π,Ta)－eq \f(2π,Tb))t＝π
解得t＝eq \f(8π,7)eq \r(\f(R,g)).