粤教版 (2019)必修 第二册第四章 机械能及其守恒定律第二节 功率学案设计

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一、做功快慢的描述
功率
(1)意义：功率是表示物体做功快慢的物理量．
(2)定义：力对物体所做的功W与做功所用时间t之比．
(3)定义式：P＝eq \f(W,t).单位：瓦特，简称瓦，符号是W.
(4)功率是标(填“标”或“矢”)量．
二、功率与力、速度
1．当作用在物体上的某个恒力的方向与物体运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于力与物体速度的乘积．
2．关系式：P＝Fv(F与v方向相同)
(1)若v是物体的平均速度，则P＝Fv对应这段时间内的平均功率．
(2)若v是物体的瞬时速度，则P＝Fv对应该时刻的瞬时功率．
3．应用：由功率和速度的关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反(填“正”或“反”)比，要增大牵引力，就要减小速度．
三、生产和生活中常见机械的功率
在生产中，功率是衡量机械性能的重要指标．新能源汽车的各项性能指标，如发动机的输出功率等不亚于一般的燃油汽车．现代农业机械，输出功率不断提升．航空航天领域，发动机需要满足功率大、质量小、安全性好等要求．
1．判断下列说法的正误．
(1)由公式P＝eq \f(W,t)知，做功越多，功率越大．( × )
(2)力对物体做功越快，力的功率一定越大．( √ )
(3)汽车爬坡时常常需要换高速挡．( × )
(4)沿水平方向运动2 km的物体，速度越大，重力做功的功率越大．( × )
2．质量为1 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地，下落过程中重力做功的平均功率为________，落地前瞬间重力的瞬时功率为________．(g取10 m/s2)
答案 100 W 200 W
一、对功率的理解
导学探究 建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：
(1)两台起重机哪台做功多？
(2)哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？
答案 (1)两台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J，所以A做功多．
(2)B做功快．可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢．
知识深化
1．功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然．
2．应用公式P＝eq \f(W,t)解题时，必须明确是哪个力在哪段时间内做功．
(多选)关于功率，以下说法正确的是( )
A．单位时间内物体做功越多，其功率越大
B．物体做功越多，它的功率就越大
C．物体做功越快，它的功率就越大
D．额定功率是发动机正常工作时的最大输出功率
答案 ACD
解析 根据P＝eq \f(W,t)可知，单位时间内物体做功越多，其功率越大，故A正确，B错误；物体做功越快，说明单位时间内物体做功越多，则它的功率就越大，故C正确；额定功率是发动机正常工作时的最大输出功率，D正确．
某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进s距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进s距离．若先后两次拉力做的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则( )
A．W1＝W2，P1＝P2
B．W1＝W2，P1>P2
C．W1>W2，P1>P2
D．W1>W2，P1＝P2
答案 B
解析 两次拉物体用的力都是F，物体的位移都是s，由W＝Fscs α可知W1＝W2；物体在粗糙水平面上前进时，加速度a较小，由s＝eq \f(1,2)at2可知用时较长，再由P＝eq \f(W,t)可知P1>P2，选项B正确．
二、功率与力、速度
导学探究 在光滑水平面上，一个物体在水平恒力F作用下从静止开始加速运动，经过一段时间t，末速度为v，求：
(1)在t时间内力F的功率；
(2)在t时刻力F的功率．
答案 (1)物体在t时间内的位移s＝eq \f(vt,2)
W＝Fs＝eq \f(1,2)Fvt
在t时间内力F的功率为平均功率
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(1,2)Fv.
(2)t时刻的功率为瞬时功率
P＝Fv.
知识深化
1．功率的计算
(1)平均功率的计算
①利用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)；适用于任何情况．
②利用eq \x\t(P)＝Feq \x\t(v)cs α，其中F为恒力，eq \x\t(v)为物体运动的平均速度，仅适用于计算恒力的平均功率．
(2)瞬时功率的计算
①利用公式P＝Fvcs α，其中v为瞬时速度；
②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度；
③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力．
(3)公式P＝eq \f(W,t)和P＝Fv的比较
2．在交通工具中公式P＝Fv中三个量的制约关系
如图1所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
图1
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W
解析 (1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律
mgsin θ－μmgcs θ＝ma，
前2 s内木块的位移s＝eq \f(1,2)at2
联立解得s＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功
W＝mgsin θ·s＝2×10×0.6×4 J＝48 J.
(2)前2 s内重力的平均功率
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(48,2) W＝24 W.
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W.
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fvcs α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率则是指平均功率，此时可用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)求解，也可以用eq \x\t(P)＝Feq \x\t(v)cs α求解．
针对训练 (2019·鸡西市校级期中)某同学进行体能训练，用了100 s时间跑上20 m高的高楼，试估测该同学登楼的平均功率最接近的数值是( )
A．10 W B．100 W
C．1 kW D．10 kW
答案 B
解析 该同学上楼时克服重力做功，则克服重力所做的功W＝mgh≈50×10×20 J＝10 000 J，
则该同学登楼的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(10 000,100) W＝100 W，故选B.
(多选)设匀速行驶的汽车，发动机的功率保持不变，则( )
A．路面越粗糙，汽车行驶得越慢
B．路面越粗糙，汽车行驶得越快
C．在同一路面上，汽车不载货比载货时行驶得快
D．在同一路面上，汽车不载货比载货时行驶得慢
答案 AC
解析 汽车匀速行驶时，牵引力大小等于汽车受到的阻力大小，故速度v＝eq \f(P,f)，而汽车在越粗糙的路面上，重力越大时所受阻力越大，功率不变，速度越小，所以A、C正确，B、D错误．
(多选)(2020·贵阳市高一下期末)如图2所示，为轿车中的手动变速杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同挡位，可获得不同的运行速度，从“1”～“5”挡速度增大，R是倒车挡．某型号轿车发动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶的最大速度可达180 km/h.假设该轿车在水平路面上行驶时所受阻力恒定，则该轿车( )
图2
A．以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“1”挡
B．以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“5”挡
C．以额定功率在水平路面上以最大速度行驶时，其牵引力为1 200 N
D．以54 km/h的速度在水平路面上匀速行驶时，发动机的输出功率为60 kW
答案 AC
解析 根据功率与牵引力的关系P＝Fv可知，当速度最小时，牵引力最大，变速杆应推至“1”挡，故A正确，B错误；在额定功率下以最大速度行驶时，F＝eq \f(P额,vmax)＝eq \f(60 000,50) N＝1 200 N，故C正确；54 km/h＝15 m/s，汽车匀速运动，牵引力等于阻力，故F′＝f＝1 200 N，此时发动机的输出功率P＝F′v＝1 200×15 W＝18 kW，故D错误．
1.(瞬时功率分析)飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程如图3所示，飞行员所受重力的瞬时功率变化情况是( )
图3
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
答案 C
解析 由瞬时功率计算式P＝Fvcs α可知，初状态P1＝0，最低点P2＝0，中间状态P＞0.所以瞬时功率先增大后减小，故C正确．
2．(功率与速度的关系)火车在一段平直的轨道上做匀加速直线运动，若阻力不变，则牵引力F和它的瞬时功率P的变化情况是( )
A．F不变，P变大 B．F变小，P不变
C．F变大，P变大 D．F不变，P不变
答案 A
解析 因为火车做匀加速直线运动，所以牵引力F不变，但速度在增大，故牵引力的瞬时功率变大，故选A.
3．(平均功率和瞬时功率的计算)在F＝6 N的水平力作用下，质量m＝3 kg的物体在光滑水平面上由静止开始运动，运动时间t＝3 s．求：
(1)力F在前3 s内对物体做的功；
(2)力F在前3 s内对物体做功的平均功率；
(3)在3 s末力F对物体做功的瞬时功率．
答案 (1)54 J (2)18 W (3)36 W
解析 (1)在水平力的作用下，物体在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知，加速度a＝eq \f(F,m)＝2 m/s2
物体在前3 s内的位移大小s＝eq \f(1,2)at2＝9 m
故力F在前3 s内对物体做的功W＝Fs＝54 J.
(2)力F在前3 s内的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝18 W.
(3)物体在3 s末的瞬时速度大小v＝at＝6 m/s
故3 s末力F的瞬时功率P＝Fv＝6×6 W＝36 W.
考点一 对功率的理解
1．对公式P＝Fv的理解，下列说法中正确的是( )
A．F一定是物体所受的合力
B．P一定是合力的功率
C．此公式中F与v必须共线
D．此公式中F与v可以成任意夹角
答案 C
解析 公式P＝Fv中的F可以是物体所受的合力，也可以是物体所受的某个分力，但F、v必须共线，故C正确．
2．(2020·张家口一中高一下期中)关于功率，下列说法正确的是( )
A．根据P＝eq \f(W,t)可知，机器做功越多，其功率越大
B．根据P＝Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．根据P＝eq \f(W,t)可知，只要知道时间t内机器所做的功，可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．根据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
答案 D
解析 由功率公式P＝eq \f(W,t)可知，在相同时间内，做功多的机器，功率一定大，选项A无“相同时间”这一条件，故A错误；根据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与速度成反比，故B错误，D正确；公式P＝eq \f(W,t)求的是一段时间内的平均功率，故C错误．
3．关于平均功率的概念，以下说法正确的是( )
A．平均功率大说明物体做功多
B．平均功率小说明物体做功少
C．机器做功越多，其平均功率越大
D．机器做功越快，其平均功率越大
答案 D
解析 平均功率反映一段时间内物体做功的快慢，不能反映做功多少，当平均功率大时，做功不一定多，故选D.
4．(多选)(2019·唐山一中期中)竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度，则下列说法正确的是( )
A．球在上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B．球在上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
C．球在上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率
D．球在上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率
答案 BC
解析 球在上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功，选项B正确，A错误；因为存在空气阻力，故上升时间小于下降时间，所以球在上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率，选项C正确，D错误．
考点二 功率的计算
5．设一个学生在平直公路上以一般速度骑自行车，所受阻力约为车、人总重力的0.03倍，则学生的功率最接近于( )
A．1 000 W B．1 W C．100 W D．10 W
答案 C
解析 一个学生与车的质量约为50 kg，重力约为500 N，则受到的阻力的大小约为15 N，骑自行车的速度一般约为15～20 km/h，即约为4～6 m/s，取大小为6 m/s，则匀速行驶时，学生的功率P＝Fv＝fv＝15×6 W＝90 W，最接近的为C选项100 W．故A、B、D错误，C正确．
6．(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中( )
A．前2 s内重力做功的功率为300 W
B．前2 s内重力做功的功率为675 W
C．第2 s末重力做功的功率为600 W
D．第2 s末重力做功的功率为900 W
答案 AC
解析 前2 s内物体下落h＝eq \f(1,2)gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝eq \f(mgh,t)＝eq \f(3×10×20,2) W＝300 W，A正确，B错误；2 s末物体的速度v＝gt＝20 m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600 W，C正确，D错误．
7.如图1所示，从空中以40 m/s的初速度平抛一重力为10 N的物体，物体在空中运动3 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为( )
图1
A．300 W B．400 W
C．500 W D．700 W
答案 A
解析 物体落地前瞬间vy＝gt＝30 m/s，所以PG＝Gvy＝300 W，故A正确．
8．汽车在平直公路上行驶，前一段时间内发动机的功率为P1，后一段时间内发动机的功率为P2，已知在两段时间内发动机做的功相等，则在全部时间内发动机的平均功率为( )
A.eq \f(P1＋P2,2) B.eq \r(P1P2)
C.eq \f(P1P2,P1＋P2) D.eq \f(2P1P2,P1＋P2)
答案 D
解析 设前一段时间为t1，后一段时间为t2，则全部时间内发动机的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(P1t1＋P2t2,t1＋t2)，又P1t1＝P2t2，故eq \x\t(P)＝eq \f(2P1P2,P1＋P2)，D正确．
9.如图2所示，质量为50 kg的同学在做仰卧起坐．若该同学上半身的质量约为全身质量的eq \f(3,5)，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，g取10 m/s2，则她在1 min内克服重力做的功W和相应的平均功率P约为( )
图2
A．W＝4 500 J，P＝75 W
B．W＝450 J，P＝7.5 W
C．W＝3 600 J，P＝60 W
D．W＝360 J，P＝6 W
答案 A
解析 每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，上半身质量约为全身质量的eq \f(3,5)，则她每一次克服重力做的功约为W′＝eq \f(3,5)mgh＝eq \f(3,5)×50×10×0.3 J＝90 J,1 min内克服重力所做的功约为W＝50W′＝50×90 J＝4 500 J；相应的平均功率约为eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(4 500,60) W＝75 W，故A正确，B、C、D错误．
10.把动力装置分散安装在每节车厢上，使其既具有牵引力，又可以载客，这样的客车车辆叫作动车．几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组就是动车组，如图3所示．假设动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比，每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率都相等．若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120 km/h，则6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为( )
图3
A．320 km/h B．240 km/h
C．120 km/h D．480 km/h
答案 A
解析 设每节车厢所受的阻力大小为f，若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120 km/h，牵引力等于阻力时速度最大，则P＝Fvm＝4fvm.设6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为vm′，则有6P＝9fvm′，联立解得vm′＝320 km/h，故A正确．
11．(多选)如图4所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2的功率相同．则可能有( )
图4
A．F2＝F1，v1>v2 B．F2＝F1，v1C．F2>F1，v1>v2 D．F2答案 BD
解析 设F2与水平面的夹角为θ，则F1的功率P1＝F1v1，F2的功率P2＝F2v2cs θ.由题意知P1＝P2，若F2＝F1，则一定有v1F1，还是F212．(2019·龙岩市校级期中)如图5甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
图5
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的瞬时功率为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
答案 C
解析 由v－t图像知物体加速度为0.5 m/s2，故A错误；
由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，
F＝10.5 N，故B错误；
由题图乙知，4 s内物体上升4 m，则绳端上升8 m，则4 s末绳子末端速度为4 m/s,4 s末F的瞬时功率P＝Fv＝42 W,4 s内F的平均功率eq \x\t(P)＝Feq \x\t(v)＝21 W，故C正确，D错误．
13．(多选)如图6甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10 m/s2，则( )
图6
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功为2 J
C．t＝1.5 s时推力F的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率为3 W
答案 BD
解析 由题图丙可知，第1 s内物体保持静止状态，在推力方向上没有位移，故推力做功为0，故A错误；由题图乙、丙可知，第3 s内物体做匀速运动，F＝2 N，故f＝F＝2 N，由题图丙知，第2 s内物体的位移大小s＝eq \f(1,2)×1×2 m＝1 m，第2 s内物体克服摩擦力做的功Wf＝fs＝2 J，故B正确；第2 s内推力F＝3 N，t＝1.5 s时物体的速度大小v＝1 m/s，故t＝1.5 s时推力的功率P＝Fv＝3 W，第2 s内推力F做功WF＝Fs＝3 J，故第2 s内推力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(WF,t)＝3 W，故C错误，D正确．
14．一台起重机将静止在地面上、质量为m＝1.0×103 kg 的货物匀加速竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s.(取g＝10 m/s2，不计额外功)求：
(1)起重机在这2 s内的平均功率；
(2)起重机在2 s末的瞬时功率．
答案 (1)2.4×104 W (2)4.8×104 W
解析 (1)设货物所受的拉力为F，加速度为a
由a＝eq \f(v,t)，得a＝2 m/s2
由牛顿第二定律知，F－mg＝ma
则F＝mg＋ma＝1.0×103×10 N＋1.0×103×2 N
＝1.2×104 N
0～2 s内货物上升的高度
h＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)×2×22 m＝4 m
起重机在这2 s内对货物所做的功
W＝F·h＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J
起重机在这2 s内的平均功率
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(4.8×104,2) W＝2.4×104 W
(2)起重机在2 s末的瞬时功率
P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W.
15.(2019·泉州五中期末)如图7所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)则：
图7
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
答案 (1)960 W (2)480 W
解析 (1)水平面对物体的支持力大小FN＝mg－Fsin 37°＝10×10 N－100×0.6 N＝40 N
由牛顿第二定律得物体的加速度大小
a＝eq \f(Fcs 37°－μFN,m)＝eq \f(100×0.8－0.5×40,10) m/s2＝6 m/s2
第2 s末，物体的速度大小v＝at＝12 m/s
第2 s末，拉力F对物体做功的功率P＝Fvcs 37°＝960 W.
(2)从开始运动到物体前进12 m，所用时间
t′＝eq \r(\f(2s,a))＝eq \r(\f(2×12,6)) s＝2 s
该过程中拉力对物体做功
W＝Fscs 37°＝100×12×0.8 J＝960 J
拉力对物体做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t′)＝eq \f(960,2) W＝480 W.起重机编号
被吊物体重力
匀速上升速度
上升的高度
所用时间
做功
A
2.0×103 N
4 m/s
16 m
4 s
B
4.0×103 N
3 m/s
6 m
2 s
公式
P＝eq \f(W,t)
P＝Fv
适用条件
(1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率
(2)当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率
(1)功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若不同向，P＝eq \f(W,t)＝eq \f(Fscs α,t)＝Fvcs α
(2)v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率
联系
(1)公式P＝Fv是P＝eq \f(W,t)的推论
(2)功率P的大小与W、t无关
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度