物理必修 第二册第四章 机械能及其守恒定律第五节 机械能守恒定律学案设计

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一、动能与势能的相互转化
1．机械能：动能与势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能．
2．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．
3．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．
二、机械能守恒定律的理论验证
1．内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量保持不变．
2．表达式：mgh1＋eq \f(1,2)mv12＝mgh2＋eq \f(1,2)mv22，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.
1．判断下列说法的正误．
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化．( √ )
(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用．( × )
(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变．( × )
(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒．( √ )
2.如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，以桌面所在水平面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为________．
图1
答案 mgH
一、对机械能守恒定律的理解
导学探究 如图2所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
图2
(1)求从A至B的过程中重力做的功；
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小．
答案 (1)W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝mgh1－mgh2①
(2)EA＝mgh1＋eq \f(1,2)mv12②
EB＝mgh2＋eq \f(1,2)mv22③
(3)由动能定理：W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12④
由①④得：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1
即EB＝EA.
知识深化
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和弹力做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力或弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
2．判断机械能是否守恒的方法
(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的代数和始终为零．
(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转化，则机械能守恒．
(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．
如图3所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图3
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
答案 C
解析 若不计空气阻力，题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，正负功的代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误．
针对训练1 (2019·宁德六市高一期中联考)在下列情况中，机械能守恒的是( )
A．飘落的树叶
B．沿着斜面匀速下滑的物体
C．被起重机匀加速吊起的物体
D．不计空气阻力，推出的铅球在空中运动的过程
答案 D
解析 树叶在飘落过程中，空气阻力做负功，机械能减少，故A错误；沿着斜面匀速下滑的物体，摩擦力做负功，故机械能不守恒，故B错误；物体被起重机匀加速吊起时拉力对物体做功，故物体的机械能不守恒，故C错误；推出的铅球在空中运动且不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，故D正确．
(多选)如图4，一根轻弹簧下端固定，竖直立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力大小，在D位置小球速度减小到零．不计空气阻力，则小球( )
图4
A．下落至C处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至D的过程中，动能先增大后减小
D．由A运动到D的过程中，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
答案 ACD
解析 小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B→D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D的过程中，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．
二、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统两个状态的机械能总量相等．
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量．
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减
此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量．
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初态和末态的机械能．
(4)选取机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．
(2019·大庆中学高一期末)一条长为0.80 m的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.10 kg的小球，悬点O距离水平地面的高度H＝1.00 m，开始时小球处于A点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图5所示，让小球从静止释放，当小球运动到B点时，轻绳碰到悬点O正下方一个固定的光滑小钉子P时立刻断裂，不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
图5
(1)当小球运动到B点时的速度大小；
(2)绳断裂后球从B点抛出并落在水平地面上的C点，求小球落到C点前瞬间的瞬时速度的大小．
答案 (1)4.0 m/s (2)2eq \r(5) m/s
解析 (1)设小球运动到B点时的速度大小为vB，轻绳长度为l，由机械能守恒定律得：eq \f(1,2)mvB2＝mgl，解得小球运动到B点时的速度大小vB＝eq \r(2gl)＝4.0 m/s.
(2)小球从B点做平抛运动，小球只受重力，全过程机械能守恒，由机械能守恒定律得mgH＝eq \f(1,2)mvC2，vC＝eq \r(2gH)＝2eq \r(5) m/s.
针对训练2 如图6所示，由距离地面h2＝1 m的高度处以v0＝4 m/s的速度斜向上抛出质量m＝1 kg的物体，当其上升的高度h1＝0.4 m时到达最高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为参考平面，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则( )
图6
A．物体在最大高度处的重力势能为14 J
B．物体在最大高度处的机械能为16 J
C．物体落地前瞬间的机械能为8 J
D．物体落地前瞬间的动能为8 J
答案 C
解析 物体在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh1＝1×10×0.4 J＝4 J，A错误；物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即8 J，B错误；物体在下落过程中机械能守恒，落地前在任意位置的机械能都等于8 J，C正确；物体落地前瞬间的动能Ek＝E－Ep2＝E－mgh2＝8 J－1×10×(－1) J＝18 J，D错误．
1．(机械能守恒的判断)(2019·泉州市高一下月考)下列说法中正确的是( )
图7
A．图7甲中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑过程中，物块的机械能守恒
C．图丙中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，物块的机械能不守恒
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
答案 C
解析 题图甲中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中，动能不变，重力势能变小，所以机械能不守恒，故A错误；题图乙中物块在恒力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑过程中，恒力F做正功，物块的机械能增加，故B错误；题图丙中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，物块在斜面上受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，物块的机械能减少，故C正确；题图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中，撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能，所以运动员的机械能不守恒，故D错误．
2．(机械能守恒定律的应用)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑固定斜面(足够长)上滑，如图8所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则( )
图8
A．h1＝h2＞h3 B．h1＝h2＜h3
C．h1＝h3＜h2 D．h1＝h3＞h2
答案 D
解析 竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv02，所以h＝eq \f(v\\al(02),2g)；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12，所以h2＜h1＝h3，D正确．
3．(机械能守恒定律的应用)如图9所示，在竖直平面内有由eq \f(1,4)圆弧轨道AB和eq \f(1,2)圆弧轨道BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为eq \f(R,2).一小球在A点正上方与A相距eq \f(R,4)处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动(不计空气阻力)．
图9
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
答案 (1)5∶1 (2)见解析
解析 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mgeq \f(R,4)①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mgeq \f(5R,4)②
由①②式得EkB∶EkA＝5∶1③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律有
FN＋mg＝meq \f(v\\al(C2),\f(R,2))⑤
由④⑤式得：mg≤meq \f(2v\\al(C2),R)
vC≥eq \r(\f(Rg,2))
由机械能守恒定律得mgeq \f(R,4)＝eq \f(1,2)mvC′2
vC′＝eq \r(\f(Rg,2))，
故小球恰好可以沿轨道运动到C点．
考点一 机械能守恒的判断
1．(2019·玉山一中高一下期中)关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
答案 B
解析 若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误．
2．如图所示，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中木块机械能守恒的是( )
答案 C
解析 依据机械能守恒条件：只有重力(或弹力)做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B均有外力F做功，D中有摩擦力做功，故选项A、B、D均不符合机械能守恒的条件，故选项C正确．
3．(多选)如图所示，物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
答案 CD
解析 物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．
4.如图1所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
图1
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物、弹簧与地球组成的系统机械能守恒
答案 D
解析 重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物、弹簧与地球组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，选项C错误，D正确．
考点二 机械能守恒定律的应用
5.(多选)两个质量不同的小铁块A和B(均可视为质点)，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图2所示．如果它们的初速度都为零，则下列说法正确的是( )
图2
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速率相等
D．它们在下滑过程中各自的机械能保持不变
答案 CD
解析 在小铁块A和B下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，由mgH＝eq \f(1,2)mv2得v＝eq \r(2gH)，所以A和B到达底部时速率相等，选项C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，选项A、B错误．
6.(2019·天津市第一中学高一下期中)如图3，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，重力加速度为g，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则( )
图3
A．物体在海平面上的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
答案 C
解析 以地面为参考平面，海平面低于地面的高度为h，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故A错误；重力做功与路径无关，与初、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝Ek2－eq \f(1,2)mv02，则物体在海平面上的动能Ek2＝eq \f(1,2)mv02＋mgh，故C正确；根据机械能守恒定律知，物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能，为E＝eq \f(1,2)mv02，故D错误．
7.(多选)如图4，重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整个过程中( )
图4
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．整个过程系统机械能守恒
答案 BCD
解析 以滑块和弹簧为系统，在滑块的整个运动过程中，只发生动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统机械能守恒，选项D正确；滑块从a到c重力势能减少了Gacsin 30°＝6 J，全部转化为弹簧的弹性势能，选项A错误，B正确；从c到b弹簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6 J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，选项C正确．
8.如图5所示，质量为m的物体(可视为质点)，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度大小为3eq \r(gR)，求：
图5
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高．
答案 (1)eq \r(3gR) (2)3.5R
解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点所在的平面为零势能参考平面．设物体在B处的速度为vB，
则mg·3R＋eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mvB2，
得v0＝eq \r(3gR).
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒定律得mgHB＝eq \f(1,2)mvB2，HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R.
9．(2019·大庆中学高一期末)一个小石子从高为10 m处自由下落，不计空气阻力，经一段时间后小石子的动能恰等于它的重力势能(以地面为参考平面)，g＝10 m/s2，则该时刻小石子的速度大小为( )
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案 B
解析 不计空气阻力，小石子只受重力作用，运动的过程中小石子的机械能守恒，设小石子在离地高度为h′时动能等于重力势能，根据机械能守恒定律可得：mgh＝mgh′＋eq \f(1,2)mv2，由于动能和重力势能相等，则有mgh′＝eq \f(1,2)mv2，代入数据解得v＝eq \r(gh)＝eq \r(10×10) m/s＝10 m/s，故选B.
10．(多选)蹦极是一项有趣的极限运动，轻质弹性绳的一端固定，另一端和运动员相连，运动员经一段自由下落后绳被拉直，整个过程中不计空气阻力，绳的形变是弹性形变，绳处于原长时的弹性势能为零．则在运动员从静止开始自由下落，直至最低点的过程中，下列表述正确的是( )
A．运动员的机械能守恒
B．弹性绳的弹性势能先增加后减少
C．运动员与弹性绳的总机械能守恒
D．运动员动能最大时弹性绳的弹性势能不为零
答案 CD
解析 运动员开始自由下落，接着从弹性绳开始伸直到最低点的过程中，弹性绳的拉力先增大但还是小于重力，合外力向下，运动员向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，动能最大，此后拉力大于重力且拉力继续增大，合外力向上，运动员开始做加速度逐渐增大的减速运动，速度减小，动能减少，所以运动员的机械能不守恒，但运动员与弹性绳的总机械能守恒，故A错误，C正确；运动员开始自由下落，弹性绳的弹性势能不变，从弹性绳开始伸直到最低点的过程中，弹性绳的弹性势能一直增加，故B错误；当加速度为零时，速度最大，动能最大，弹性绳的弹性势能不为零，故D正确．
11．(多选)质量相同的小球A和B分别悬挂在长为L和2L的不同长绳上，先将小球拉至同一水平位置(如图6所示)从静止释放，当两绳竖直时，不计空气阻力，则( )
图6
A．两球的速率一样大 B．两球的动能一样大
C．两球的机械能一样大 D．两球所受的拉力一样大
答案 CD
解析 两球在下落过程中机械能守恒，开始下落时，重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，下落到最低点时的机械能也一样大，选项C正确．选取小球A为研究对象，设小球到达最低点时的速度大小为vA，动能为EkA，小球所受的拉力大小为FA，则mgL＝eq \f(1,2)mvA2，FA－mg＝eq \f(mv\\al(A2),L)，可得vA＝eq \r(2gL)，EkA＝mgL，FA＝3mg；同理可得vB＝2eq \r(gL)，EkB＝2mgL，FB＝3mg，故选项A、B错误，D正确．
12．(多选)(2019·萍乡市高一下期中)如图所示，A、B、C、D四个图中的小球完全相同．现从同一高度h处由静止释放小球，小球下落同样的高度，然后进入不同的轨道．A图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管，其上部为直管，下部为圆弧形管道，圆弧形管道与斜面平滑衔接，管的高度高于h；B图中的轨道是半圆轨道，其直径等于h；C图中的轨道高度低于h；D图中的轨道是一段斜面，且高于h.如果不计任何阻力和拐弯处的能量损失，小球进入轨道后不能运动到h高度的图是( )
答案 BC
解析 A中小球离开轨道后做竖直上抛运动，运动到最高点时的速度为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋0，则h＝h′，故能运动到h高度；B中小球在内轨道运动，假设小球能通过圆轨道最高点，则小球通过最高点的最小速度v＝eq \r(\f(gh,2))，故小球在最高点的速度不为零，根据机械能守恒定律可知假设不成立，故小球不能运动到h高度；C中小球离开轨道后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，运动到最高点时在水平方向上有速度，即在最高点的速度不为零，根据机械能守恒定律可知，小球不能运动到h高度；D中小球到达右侧斜面上最高点时的速度为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋0，则h＝h′，故能运动到h高度．故选B、C.
13.如图7所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最低位置时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，重力加速度为g，则在圆环下滑到最低位置的过程中( )
图7
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了eq \r(3)mgL
C．圆环下滑到最低位置时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
答案 B
解析 圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒．圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝eq \r(2L2－L2)＝eq \r(3)L，所以圆环重力势能减少了eq \r(3)mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了eq \r(3)mgL.故选B.
14．图8是某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小坡度，电车进站要上坡，出站要下坡．已知坡高为2 m，电车到a点时的速度为25.2 km/h，此后便切断电车的电源，如果不考虑电车所受的摩擦力，电车能否冲上站台？如果电车不能冲上站台，请说明理由；如果电车能冲上站台，求它到达b点时的速度大小．(g取10 m/s2)
图8
答案 能 3 m/s
解析 电车电源被切断后，只有重力做功，故机械能守恒．
取a点所在平面为参考平面，电车在a点的机械能E1＝Ek1＝eq \f(1,2)mv12
其中v1＝25.2 km/h＝7 m/s
若这些动能全部转化为重力势能，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv12＝mgh′
解得h′＝eq \f(v\\al(12),2g)＝eq \f(72,2×10) m＝2.45 m>2 m，所以电车能冲上站台．
设电车到达b点时的速度大小为v2，由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv12＝mgh＋eq \f(1,2)mv22
解得v2＝eq \r(v\\al(2,1)－2gh)＝eq \r(72－2×10×2) m/s＝3 m/s.
15.如图9所示，竖直平面内的eq \f(3,4)圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R(远大于管道半径)，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，求：
图9
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离．
答案 (1)3R (2)(2eq \r(2)－1)R
解析 (1)设小球到达B点的速度大小为v1，释放点距A点的竖直高度为h.
因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，
所以有9mg－mg＝meq \f(v\\al(12),R)
又由机械能守恒定律得mg(h＋R)＝eq \f(1,2)mv12
联立解得h＝3R.
(2)设小球到达最高点的速度大小为v2，落点C与A点的水平距离为x.
由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv12＝eq \f(1,2)mv22＋2mgR
由平抛运动规律得R＝eq \f(1,2)gt2，R＋x＝v2t
联立解得x＝(2eq \r(2)－1)R.