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2020-2021学年第四章 机械能及其守恒定律本章综合与测试学案
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这是一份2020-2021学年第四章 机械能及其守恒定律本章综合与测试学案，共15页。
一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒．
2．机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解．
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解．
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE减＝ΔE增来列式．
3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系．
如图1所示，固定斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面距离为eq \f(1,2)H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落，B落地后不反弹．若物块A恰好能到达斜面的顶点，试求m1和m2的比值．(滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计)
图1
答案 1∶2
解析 设B下落到地面前瞬间的速度大小为v，由系统机械能守恒得：
m2g·eq \f(H,2)－m1g·eq \f(H,2)sin 30°＝eq \f(1,2)(m1＋m2)v2①
A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则：
eq \f(1,2)m1v2＝m1g·eq \f(H,2)sin 30°，②
由①②得eq \f(m1,m2)＝1∶2.
针对训练 (多选)如图2所示，长度均为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕过O点且与支架所在平面垂直的固定轴转动．开始时OB与地面垂直，放手后支架开始运动．重力加速度为g，在不计任何阻力的情况下，下列说法中正确的是( )
图2
A．A球运动到最低点时速度为零
B．A球运动到最低点时速度大小为eq \r(\f(gL,3))
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始释放的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
答案 BCD
解析 在不计任何阻力的情况下，A球与B球组成的系统在整个摆动过程中机械能守恒，所以2mg·eq \f(L,2)＝mg·eq \f(L,2)＋eq \f(1,2)·3mv2，得v＝eq \r(\f(gL,3))，故选项A错误，B正确；因B球的质量小于A球的质量，故B上升至与A释放位置相同高度时增加的重力势能小于A球减少的重力势能，故当B球到达与A球开始释放的位置等高时，B球仍具有一定的速度，即B球继续升高，故选项C正确；系统在整个摆动过程中机械能守恒，当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度，故选项D正确．
二、链条类物体的机械能守恒问题
链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是参考平面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化．
如图3所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B平齐，当略有扰动时其A端下落，则在铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)
图3
答案 eq \r(\f(gL,2))
解析 方法一 取整个铁链为研究对象：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq \f(1,4)L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量ΔEp＝mg·eq \f(1,4)L
由机械能守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＝mg·eq \f(1,4)L，则v＝eq \r(\f(gL,2)).
方法二 将铁链看成两段：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置．
重力势能减少量
ΔEp＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)
由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)
则v＝ eq \r(\f(gL,2)).
三、功能关系的理解与应用
1．功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，做了多少功，就有多少能量发生转化．
2．具体功能关系如下表：
(2019·沈阳市铁路实验学校高一月考)质量为m的物体，从距地面h高度处由静止开始以加速度a＝eq \f(1,3)g竖直下落到地面．在此过程中( )
A．物体的动能增加了eq \f(1,3)mgh
B．物体的重力势能减少了eq \f(1,3)mgh
C．物体的机械能减少了eq \f(1,3)mgh
D．物体的机械能保持不变
答案 A
解析 物体动能的增加量等于合外力做的功，即W＝mah＝eq \f(1,3)mgh，A正确；物体的重力势能的减少量等于重力做的功，即WG＝mgh，B错误；除重力以外的其他力对物体做功WF＝－(mg－ma)h＝－eq \f(2,3)mgh，因此机械能的减少量为eq \f(2,3)mgh，C、D错误．
(多选)如图4所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为s，木块对子弹的平均阻力为f，那么在这一过程中，下列说法正确的是( )
图4
A．木块的机械能增加量为fs
B．子弹的机械能减少量为f(s＋d)
C．系统的机械能减少量为fd
D．系统的机械能减少量为f(s＋d)
答案 ABC
解析 木块机械能的增加量等于子弹对木块的作用力f 做的功fs，A对；子弹机械能的减少量等于动能的减少量，即子弹克服阻力做的功f(s＋d)，B对；系统减少的机械能等于产生的内能，也等于摩擦力乘以相对位移，即fd，C对，D错．
1．(功能关系)(多选)(2019·白水中学高一下期末)如图5所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为eq \f(3,4)g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
图5
A．重力势能增加了eq \f(3,4)mgh
B．克服摩擦力做功eq \f(1,4)mgh
C．动能损失了eq \f(3,2)mgh
D．机械能损失了eq \f(1,2)mgh
答案 CD
解析 这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误；加速度a＝eq \f(3,4)g＝eq \f(mgsin 30°＋f,m)，则摩擦力f＝eq \f(1,4)mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功Wf＝f·2h＝eq \f(1,4)mg·2h＝eq \f(mgh,2)，故B错误；由动能定理可知，动能损失量ΔEk＝F合·2h＝m·eq \f(3,4)g·2h＝eq \f(3,2)mgh，故C正确；机械能的损失量ΔE＝fx＝eq \f(1,4)mg·2h＝eq \f(1,2)mgh，故D正确．
2．(链条类机械能守恒问题)如图6所示，一个质量为m，质量分布均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长度为eq \f(L,2)的部分垂在桌面下(桌面高度大于链条长度)．现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时链条的动能为( )
图6
A．0 B.eq \f(1,2)mgL C.eq \f(1,4)mgL D.eq \f(3,8)mgL
答案 D
解析 取桌面下eq \f(L,2)处为参考平面，根据机械能守恒定律得Ek＝eq \f(mg,2)·eq \f(L,2)＋eq \f(mg,2)·eq \f(L,4)＝eq \f(3,8)mgL.
3．(系统机械能守恒问题)(多选)(2019·厦门市高一下期末)如图7所示，一个质量为m1的有孔小球套在竖直固定的光滑直杆上，通过一条跨过定滑轮的轻绳与质量为m2的重物相连，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g，现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离为eq \f(3,4)d(图中B处)时，下列说法正确的是( )
图7
A．小球的速度与重物上升的速度大小之比为5∶4
B．小球的速度与重物上升的速度大小之比为5∶3
C．小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量
D．小球机械能的减少量等于重物机械能的增加量
答案 BD
解析 设小球运动到B处时轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据绳系连接体的特点知小球与物体沿绳方向的速度相等，将小球在B处时的速度沿绳方向和垂直绳方向分解有v球cs θ＝v绳＝v物，而cs θ＝eq \f(\f(3,4)d,\r(\f(3,4)d2＋d2))＝eq \f(3,5)，故eq \f(v球,v物)＝eq \f(5,3)，故A错误，B正确；对小球和重物组成的系统分析，绳的拉力对小球和重物做功之和为零，则系统只有小球和重物的重力做功，系统的机械能守恒，小球机械能的减少量等于重物机械能的增加量，小球重力势能的减少量等于二者动能的增加量与重物重力势能的增加量之和，故C错误，D正确．
4.(系统机械能守恒的计算)(2019·正定中学期末)如图8所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动．已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放．(重力加速度为g)
图8
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
答案 (1)eq \f(2\r(10gl),5) eq \f(\r(10gl),5) (2)－eq \f(6,5)mgl
解析 (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒．设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝eq \f(\r(10gl),5)，vA＝eq \f(2\r(10gl),5)
(2)对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝eq \f(1,2)mvA2
联立解得W＝－eq \f(6,5)mgl.
1.(多选)如图1所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是( )
图1
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减少
C．M球和N球组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N球做负功
答案 BC
解析 因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减少，N球的机械能增加，但M球和N球组成的系统机械能守恒，B、C正确，A、D错误．
2.(2019·常州高级中学月考)如图2所示，物体B的质量是物体A质量的eq \f(1,2)，在不计摩擦阻力的情况下，物体A自H高处由静止开始下落．以地面为参考平面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是(B与滑轮未碰撞) ( )
图2
A.eq \f(1,5)HB.eq \f(2,5)H
C.eq \f(4,5)HD.eq \f(1,3)H
答案 B
解析 设当物体A距地面的高度为h时，其动能与势能相等，对A、B组成的系统由机械能守恒定律得mAg(H－h)＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2，又根据题意可知eq \f(1,2)mAv2＝mAgh，解得h＝eq \f(2,5)H，故选项B正确．
3.如图3所示为低空跳伞表演，假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为eq \f(4,5)g，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是( )
图3
A．运动员的重力势能减少了eq \f(4,5)mgh
B．运动员的动能增加了eq \f(4,5)mgh
C．运动员克服阻力所做的功为eq \f(4,5)mgh
D．运动员的机械能减少了eq \f(4,5)mgh
答案 B
解析 在运动员下落h的过程中，重力势能减少了mgh，故A错误；根据牛顿第二定律得，F合＝ma＝eq \f(4,5)mg，则根据动能定理得，合力做功为W合＝F合h＝eq \f(4,5)mgh，则动能增加了eq \f(4,5)mgh，故B正确；合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和，因为重力做功为mgh，则运动员克服阻力所做的功为eq \f(1,5)mgh，故C错误；重力势能减少了mgh，动能增加了eq \f(4,5)mgh，故运动员机械能减少了eq \f(1,5)mgh，故D错误．
4．(多选)如图4所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是( )
图4
A．A物体与B物体组成的系统机械能守恒
B．A物体与B物体组成的系统机械能不守恒
C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
答案 BD
解析 A物体、弹簧与B物体组成的系统机械能守恒，但A物体与B物体组成的系统机械能不守恒，选项A错误，B正确；B物体机械能的减少量等于A物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，选项C错误；把A物体和弹簧看作一个系统，只有细线的拉力对该系统做功，即细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，选项D正确．
5.如图5所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
图5
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功eq \f(1,2)mgR
答案 D
解析 重力做功与路径无关，所以WG＝mgR，选项A错误；小球在B点时所受重力提供向心力，即mg＝meq \f(v2,R)，所以v＝eq \r(gR)，从P点到B点，由动能定理知：W合＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mgR，故选项C错误；根据功能关系知，机械能的减少量|ΔE|＝|ΔEp|－|ΔEk|＝eq \f(1,2)mgR，故选项B错误；克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，故选项D正确．
6.如图6所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是( )
图6
A.eq \f(4R,3) B.eq \f(3R,2) C.eq \f(5R,3) D．2R
答案 B
解析 设B的质量为m，则A的质量为3m，A落地前，A、B组成的系统机械能守恒，
有3mgR－mgR＝eq \f(1,2)(3m＋m)v2
解得v＝eq \r(gR)，
对B应用动能定理有
－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2
解得h＝eq \f(R,2)
则B上升的最大高度H＝h＋R＝eq \f(3R,2).
故选B.
7.如图7所示，传送带的速度是3 m/s，两圆心之间的距离s＝4.5 m，现将m＝1 kg的小物体轻放在左轮正上方的传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.15，电动机带动传送带将物体从左轮运送到右轮正上方时，求：(g取10 m/s2)
图7
(1)小物体获得的动能Ek；
(2)这一过程克服摩擦力产生的热量Q；
(3)这一过程电动机多消耗的电能E.
答案 (1)4.5 J (2)4.5 J (3)9 J
解析 (1)设小物体与传送带达到共同速度时，物体相对地面的位移为s′.
μmgs′＝eq \f(1,2)mv2，
解得s′＝3 m<4.5 m，
即物体可与传送带达到共同速度，此时
Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)×1×32 J＝4.5 J.
(2)由μmg＝ma得a＝1.5 m/s2，
由v＝at得t＝2 s，
则Q＝μmg(vt－s′)＝0.15×1×10×(3×2－3) J＝4.5 J.
(3)由功能关系知，E＝Ek＋Q＝4.5 J＋4.5 J＝9 J.
8．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力．不计空气阻力，在整个过程中，物体机械能随时间变化关系正确的是( )
答案 C
解析 以地面为零势能面，以竖直向上为正方向，则对于物体，在撤去外力前，有F－mg＝ma，h＝eq \f(1,2)at2，某一时刻的机械能E＝ΔE＝F·h，联立以上各式得E＝eq \f(Fa,2)·t2∝t2，撤去外力后，物体机械能守恒，故选项C正确．
9.如图8所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图8
A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋eq \f(1,2)mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
答案 A
解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误．
10.(多选)如图9所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1＝2 m/s顺时针运行，质量m＝2.0 kg的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处以初速度v2＝4 m/s向左滑上传送带，若传送带足够长，已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
图9
A．物块离开传送带时的速度大小为2 m/s
B．物块离开传送带时的速度大小为4 m/s
C．摩擦力对物块做的功为－12 J
D．物块与传送带间因摩擦产生了12 J的内能
答案 AC
解析 小物块先向左做匀减速直线运动，然后向右做匀加速直线运动，当速度增加到与传送带速度相同时，以2 m/s的速度向右做匀速运动，故A正确，B错误；根据动能定理，摩擦力对物块做的功等于物块动能的减少量：W＝eq \f(1,2)m(v12－v22)＝eq \f(1,2)×2.0×(22－42) J＝－12 J，故C正确；小物块先向左做匀减速直线运动，加速度大小a＝μg＝4 m/s2，物块与传送带间的相对位移s1＝eq \f(42－0,2×4) m＋2×eq \f(4－0,4) m＝4 m，小物块向右做匀加速直线运动时物块与传送带间的相对位移s2＝eq \f(2－0,4)×2 m－eq \f(22－0,2×4) m＝0.5 m，故物块与传送带间因摩擦产生的内能Q＝μmg(s1＋s2)＝0.4×2.0×10×(4＋0.5) J＝36 J，故D错误．
11．(多选)如图10所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为f，经过一段时间小车运动的位移为s时小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法正确的是( )
图10
A．此时物块的动能为F(s＋L)
B．此时小车的动能为fs
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs－fL
D．这一过程中，因摩擦而产生的热量为fL
答案 BD
解析 此时物块的动能等于合外力做功，为(F－f)(L＋s)，选项A错误；此时小车的动能等于摩擦力对小车做的功fs，选项B正确；在这一过程中，物块与小车增加的机械能为二者动能之和，即F(L＋s)－fL，选项C错误；因摩擦而产生的热量为fL，选项D正确．
12．如图11所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为θ＝30°，物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，P为固定在斜面上且与斜面垂直的光滑挡板，物体A、B的质量分别为m和4m.开始时用手托住物体A，滑轮两边的细绳恰好伸直，且左边的细绳与斜面平行，弹簧处于原长状态，A距离地面高度为h，放手后A从静止开始下落，在A下落至地面前的瞬间，物体B恰好对挡板无压力，不计空气阻力，下列关于物体A的说法正确的是( )
图11
A．在下落至地面前的过程中机械能守恒
B．在下落至地面前的瞬间，速度不一定为零
C．在下落至地面前的过程中轻弹簧对A做的功为－mgh
D．在下落至地面前的过程中可能一直在做加速运动
答案 C
解析 物体A在下落到地面的瞬间，弹簧的拉力FT＝4mgsin θ＝2mg，弹簧对A有向上的拉力2mg，A在下落的过程中有一部分能量转化为弹簧的弹性势能，故A的机械能不守恒，A错误；对物体A而言，重力对它做正功mgh，弹簧弹力对它做负功－eq \f(0＋2mg,2)h＝－mgh，C正确；合外力对A做的总功为零，根据动能定理可知物体A落到地面前的瞬间，速度一定为零，B错误；在下落到地面前的过程中，A先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，D错误．
13.如图12所示，质量分别为m、2m的a、b两物块用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后将其由静止释放，直至a、b物块间高度差为h.在此过程中，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
图12
A．物块a的机械能守恒
B．物块b的机械能减少了eq \f(2,3)mgh
C．物块b的重力势能减少量等于它克服细绳拉力所做的功
D．物块a的重力势能增加量小于其动能增加量
答案 B
解析 物块a受重力、绳的拉力作用，其中拉力做正功，则a的机械能增加，选项A错误；物块b受重力、绳的拉力作用，其中拉力做负功，则b的机械能减少，a、b组成的系统只有重力做功，其机械能守恒，有(2m－m)geq \f(h,2)＝eq \f(1,2)(m＋2m)v2，即gh＝3v2，则b的机械能减少了ΔE＝2mg·eq \f(h,2)－eq \f(1,2)×2mv2＝eq \f(2,3)mgh，选项B正确；a的重力势能的增加量为mgeq \f(h,2)>eq \f(1,2)mv2，选项D错误；根据动能定理，对b，有－WT＋WG＝eq \f(1,2)×2mv2，即WG＝eq \f(1,2)×2mv2＋WT，选项C错误．
14.(2019·西安交大附中期中)如图13所示，在长为L的轻杆的中点和端点处分别固定质量均为m的小球A、B，杆可绕轴O无摩擦转动，使杆从水平位置无初速度释放．不计空气阻力，重力加速度为g，当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
图13
答案 －0.2mgL 0.2mgL
解析 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB，如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，系统机械能守恒．若取B在竖直位置时的最低点所在水平面为零重力势能参考平面，可得
mgL＋eq \f(1,2)mgL＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
解得vA＝eq \r(\f(3gL,5))，vB＝eq \r(\f(12gL,5))
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．
对于A有WA＋eq \f(1,2)mgL＝eq \f(1,2)mvA2－0
所以WA＝－0.2mgL
对于B有WB＋mgL＝eq \f(1,2)mvB2－0
所以WB＝0.2mgL
15．(2019·泉州五中期中考试)如图14所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．试求：
图14
(1)斜面倾角α；
(2)A获得的最大速度的大小．
答案 (1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
解析 (1)A沿斜面下滑至速度最大时，A、B的加速度为零，而此时弹簧的弹力大小为mg，
所以有4mgsin α＝2mg
解得α＝30°.
(2)因为开始弹簧的压缩量与C刚好离开地面时弹簧的伸长量相等，由机械能守恒定律得
4mgsin α·eq \f(2mg,k)＝eq \f(1,2)(4m＋m)vmax2＋mg·eq \f(2mg,k)
解得vmax＝2geq \r(\f(m,5k)).功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
W弹＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
机械能转化为内能
f·s相对＝Q
一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒．
2．机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解．
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解．
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE减＝ΔE增来列式．
3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系．
如图1所示，固定斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面距离为eq \f(1,2)H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落，B落地后不反弹．若物块A恰好能到达斜面的顶点，试求m1和m2的比值．(滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计)
图1
答案 1∶2
解析 设B下落到地面前瞬间的速度大小为v，由系统机械能守恒得：
m2g·eq \f(H,2)－m1g·eq \f(H,2)sin 30°＝eq \f(1,2)(m1＋m2)v2①
A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则：
eq \f(1,2)m1v2＝m1g·eq \f(H,2)sin 30°，②
由①②得eq \f(m1,m2)＝1∶2.
针对训练 (多选)如图2所示，长度均为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕过O点且与支架所在平面垂直的固定轴转动．开始时OB与地面垂直，放手后支架开始运动．重力加速度为g，在不计任何阻力的情况下，下列说法中正确的是( )
图2
A．A球运动到最低点时速度为零
B．A球运动到最低点时速度大小为eq \r(\f(gL,3))
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始释放的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
答案 BCD
解析 在不计任何阻力的情况下，A球与B球组成的系统在整个摆动过程中机械能守恒，所以2mg·eq \f(L,2)＝mg·eq \f(L,2)＋eq \f(1,2)·3mv2，得v＝eq \r(\f(gL,3))，故选项A错误，B正确；因B球的质量小于A球的质量，故B上升至与A释放位置相同高度时增加的重力势能小于A球减少的重力势能，故当B球到达与A球开始释放的位置等高时，B球仍具有一定的速度，即B球继续升高，故选项C正确；系统在整个摆动过程中机械能守恒，当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度，故选项D正确．
二、链条类物体的机械能守恒问题
链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是参考平面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化．
如图3所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B平齐，当略有扰动时其A端下落，则在铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)
图3
答案 eq \r(\f(gL,2))
解析 方法一 取整个铁链为研究对象：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq \f(1,4)L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量ΔEp＝mg·eq \f(1,4)L
由机械能守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＝mg·eq \f(1,4)L，则v＝eq \r(\f(gL,2)).
方法二 将铁链看成两段：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置．
重力势能减少量
ΔEp＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)
由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)
则v＝ eq \r(\f(gL,2)).
三、功能关系的理解与应用
1．功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，做了多少功，就有多少能量发生转化．
2．具体功能关系如下表：
(2019·沈阳市铁路实验学校高一月考)质量为m的物体，从距地面h高度处由静止开始以加速度a＝eq \f(1,3)g竖直下落到地面．在此过程中( )
A．物体的动能增加了eq \f(1,3)mgh
B．物体的重力势能减少了eq \f(1,3)mgh
C．物体的机械能减少了eq \f(1,3)mgh
D．物体的机械能保持不变
答案 A
解析 物体动能的增加量等于合外力做的功，即W＝mah＝eq \f(1,3)mgh，A正确；物体的重力势能的减少量等于重力做的功，即WG＝mgh，B错误；除重力以外的其他力对物体做功WF＝－(mg－ma)h＝－eq \f(2,3)mgh，因此机械能的减少量为eq \f(2,3)mgh，C、D错误．
(多选)如图4所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为s，木块对子弹的平均阻力为f，那么在这一过程中，下列说法正确的是( )
图4
A．木块的机械能增加量为fs
B．子弹的机械能减少量为f(s＋d)
C．系统的机械能减少量为fd
D．系统的机械能减少量为f(s＋d)
答案 ABC
解析 木块机械能的增加量等于子弹对木块的作用力f 做的功fs，A对；子弹机械能的减少量等于动能的减少量，即子弹克服阻力做的功f(s＋d)，B对；系统减少的机械能等于产生的内能，也等于摩擦力乘以相对位移，即fd，C对，D错．
1．(功能关系)(多选)(2019·白水中学高一下期末)如图5所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为eq \f(3,4)g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
图5
A．重力势能增加了eq \f(3,4)mgh
B．克服摩擦力做功eq \f(1,4)mgh
C．动能损失了eq \f(3,2)mgh
D．机械能损失了eq \f(1,2)mgh
答案 CD
解析 这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误；加速度a＝eq \f(3,4)g＝eq \f(mgsin 30°＋f,m)，则摩擦力f＝eq \f(1,4)mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功Wf＝f·2h＝eq \f(1,4)mg·2h＝eq \f(mgh,2)，故B错误；由动能定理可知，动能损失量ΔEk＝F合·2h＝m·eq \f(3,4)g·2h＝eq \f(3,2)mgh，故C正确；机械能的损失量ΔE＝fx＝eq \f(1,4)mg·2h＝eq \f(1,2)mgh，故D正确．
2．(链条类机械能守恒问题)如图6所示，一个质量为m，质量分布均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长度为eq \f(L,2)的部分垂在桌面下(桌面高度大于链条长度)．现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时链条的动能为( )
图6
A．0 B.eq \f(1,2)mgL C.eq \f(1,4)mgL D.eq \f(3,8)mgL
答案 D
解析 取桌面下eq \f(L,2)处为参考平面，根据机械能守恒定律得Ek＝eq \f(mg,2)·eq \f(L,2)＋eq \f(mg,2)·eq \f(L,4)＝eq \f(3,8)mgL.
3．(系统机械能守恒问题)(多选)(2019·厦门市高一下期末)如图7所示，一个质量为m1的有孔小球套在竖直固定的光滑直杆上，通过一条跨过定滑轮的轻绳与质量为m2的重物相连，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g，现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离为eq \f(3,4)d(图中B处)时，下列说法正确的是( )
图7
A．小球的速度与重物上升的速度大小之比为5∶4
B．小球的速度与重物上升的速度大小之比为5∶3
C．小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量
D．小球机械能的减少量等于重物机械能的增加量
答案 BD
解析 设小球运动到B处时轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据绳系连接体的特点知小球与物体沿绳方向的速度相等，将小球在B处时的速度沿绳方向和垂直绳方向分解有v球cs θ＝v绳＝v物，而cs θ＝eq \f(\f(3,4)d,\r(\f(3,4)d2＋d2))＝eq \f(3,5)，故eq \f(v球,v物)＝eq \f(5,3)，故A错误，B正确；对小球和重物组成的系统分析，绳的拉力对小球和重物做功之和为零，则系统只有小球和重物的重力做功，系统的机械能守恒，小球机械能的减少量等于重物机械能的增加量，小球重力势能的减少量等于二者动能的增加量与重物重力势能的增加量之和，故C错误，D正确．
4.(系统机械能守恒的计算)(2019·正定中学期末)如图8所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动．已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放．(重力加速度为g)
图8
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
答案 (1)eq \f(2\r(10gl),5) eq \f(\r(10gl),5) (2)－eq \f(6,5)mgl
解析 (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒．设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝eq \f(\r(10gl),5)，vA＝eq \f(2\r(10gl),5)
(2)对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝eq \f(1,2)mvA2
联立解得W＝－eq \f(6,5)mgl.
1.(多选)如图1所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是( )
图1
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减少
C．M球和N球组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N球做负功
答案 BC
解析 因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减少，N球的机械能增加，但M球和N球组成的系统机械能守恒，B、C正确，A、D错误．
2.(2019·常州高级中学月考)如图2所示，物体B的质量是物体A质量的eq \f(1,2)，在不计摩擦阻力的情况下，物体A自H高处由静止开始下落．以地面为参考平面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是(B与滑轮未碰撞) ( )
图2
A.eq \f(1,5)HB.eq \f(2,5)H
C.eq \f(4,5)HD.eq \f(1,3)H
答案 B
解析 设当物体A距地面的高度为h时，其动能与势能相等，对A、B组成的系统由机械能守恒定律得mAg(H－h)＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2，又根据题意可知eq \f(1,2)mAv2＝mAgh，解得h＝eq \f(2,5)H，故选项B正确．
3.如图3所示为低空跳伞表演，假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为eq \f(4,5)g，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是( )
图3
A．运动员的重力势能减少了eq \f(4,5)mgh
B．运动员的动能增加了eq \f(4,5)mgh
C．运动员克服阻力所做的功为eq \f(4,5)mgh
D．运动员的机械能减少了eq \f(4,5)mgh
答案 B
解析 在运动员下落h的过程中，重力势能减少了mgh，故A错误；根据牛顿第二定律得，F合＝ma＝eq \f(4,5)mg，则根据动能定理得，合力做功为W合＝F合h＝eq \f(4,5)mgh，则动能增加了eq \f(4,5)mgh，故B正确；合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和，因为重力做功为mgh，则运动员克服阻力所做的功为eq \f(1,5)mgh，故C错误；重力势能减少了mgh，动能增加了eq \f(4,5)mgh，故运动员机械能减少了eq \f(1,5)mgh，故D错误．
4．(多选)如图4所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是( )
图4
A．A物体与B物体组成的系统机械能守恒
B．A物体与B物体组成的系统机械能不守恒
C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
答案 BD
解析 A物体、弹簧与B物体组成的系统机械能守恒，但A物体与B物体组成的系统机械能不守恒，选项A错误，B正确；B物体机械能的减少量等于A物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，选项C错误；把A物体和弹簧看作一个系统，只有细线的拉力对该系统做功，即细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，选项D正确．
5.如图5所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
图5
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功eq \f(1,2)mgR
答案 D
解析 重力做功与路径无关，所以WG＝mgR，选项A错误；小球在B点时所受重力提供向心力，即mg＝meq \f(v2,R)，所以v＝eq \r(gR)，从P点到B点，由动能定理知：W合＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mgR，故选项C错误；根据功能关系知，机械能的减少量|ΔE|＝|ΔEp|－|ΔEk|＝eq \f(1,2)mgR，故选项B错误；克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，故选项D正确．
6.如图6所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是( )
图6
A.eq \f(4R,3) B.eq \f(3R,2) C.eq \f(5R,3) D．2R
答案 B
解析 设B的质量为m，则A的质量为3m，A落地前，A、B组成的系统机械能守恒，
有3mgR－mgR＝eq \f(1,2)(3m＋m)v2
解得v＝eq \r(gR)，
对B应用动能定理有
－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2
解得h＝eq \f(R,2)
则B上升的最大高度H＝h＋R＝eq \f(3R,2).
故选B.
7.如图7所示，传送带的速度是3 m/s，两圆心之间的距离s＝4.5 m，现将m＝1 kg的小物体轻放在左轮正上方的传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.15，电动机带动传送带将物体从左轮运送到右轮正上方时，求：(g取10 m/s2)
图7
(1)小物体获得的动能Ek；
(2)这一过程克服摩擦力产生的热量Q；
(3)这一过程电动机多消耗的电能E.
答案 (1)4.5 J (2)4.5 J (3)9 J
解析 (1)设小物体与传送带达到共同速度时，物体相对地面的位移为s′.
μmgs′＝eq \f(1,2)mv2，
解得s′＝3 m<4.5 m，
即物体可与传送带达到共同速度，此时
Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)×1×32 J＝4.5 J.
(2)由μmg＝ma得a＝1.5 m/s2，
由v＝at得t＝2 s，
则Q＝μmg(vt－s′)＝0.15×1×10×(3×2－3) J＝4.5 J.
(3)由功能关系知，E＝Ek＋Q＝4.5 J＋4.5 J＝9 J.
8．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力．不计空气阻力，在整个过程中，物体机械能随时间变化关系正确的是( )
答案 C
解析 以地面为零势能面，以竖直向上为正方向，则对于物体，在撤去外力前，有F－mg＝ma，h＝eq \f(1,2)at2，某一时刻的机械能E＝ΔE＝F·h，联立以上各式得E＝eq \f(Fa,2)·t2∝t2，撤去外力后，物体机械能守恒，故选项C正确．
9.如图8所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图8
A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋eq \f(1,2)mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
答案 A
解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误．
10.(多选)如图9所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1＝2 m/s顺时针运行，质量m＝2.0 kg的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处以初速度v2＝4 m/s向左滑上传送带，若传送带足够长，已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
图9
A．物块离开传送带时的速度大小为2 m/s
B．物块离开传送带时的速度大小为4 m/s
C．摩擦力对物块做的功为－12 J
D．物块与传送带间因摩擦产生了12 J的内能
答案 AC
解析 小物块先向左做匀减速直线运动，然后向右做匀加速直线运动，当速度增加到与传送带速度相同时，以2 m/s的速度向右做匀速运动，故A正确，B错误；根据动能定理，摩擦力对物块做的功等于物块动能的减少量：W＝eq \f(1,2)m(v12－v22)＝eq \f(1,2)×2.0×(22－42) J＝－12 J，故C正确；小物块先向左做匀减速直线运动，加速度大小a＝μg＝4 m/s2，物块与传送带间的相对位移s1＝eq \f(42－0,2×4) m＋2×eq \f(4－0,4) m＝4 m，小物块向右做匀加速直线运动时物块与传送带间的相对位移s2＝eq \f(2－0,4)×2 m－eq \f(22－0,2×4) m＝0.5 m，故物块与传送带间因摩擦产生的内能Q＝μmg(s1＋s2)＝0.4×2.0×10×(4＋0.5) J＝36 J，故D错误．
11．(多选)如图10所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为f，经过一段时间小车运动的位移为s时小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法正确的是( )
图10
A．此时物块的动能为F(s＋L)
B．此时小车的动能为fs
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs－fL
D．这一过程中，因摩擦而产生的热量为fL
答案 BD
解析 此时物块的动能等于合外力做功，为(F－f)(L＋s)，选项A错误；此时小车的动能等于摩擦力对小车做的功fs，选项B正确；在这一过程中，物块与小车增加的机械能为二者动能之和，即F(L＋s)－fL，选项C错误；因摩擦而产生的热量为fL，选项D正确．
12．如图11所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为θ＝30°，物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，P为固定在斜面上且与斜面垂直的光滑挡板，物体A、B的质量分别为m和4m.开始时用手托住物体A，滑轮两边的细绳恰好伸直，且左边的细绳与斜面平行，弹簧处于原长状态，A距离地面高度为h，放手后A从静止开始下落，在A下落至地面前的瞬间，物体B恰好对挡板无压力，不计空气阻力，下列关于物体A的说法正确的是( )
图11
A．在下落至地面前的过程中机械能守恒
B．在下落至地面前的瞬间，速度不一定为零
C．在下落至地面前的过程中轻弹簧对A做的功为－mgh
D．在下落至地面前的过程中可能一直在做加速运动
答案 C
解析 物体A在下落到地面的瞬间，弹簧的拉力FT＝4mgsin θ＝2mg，弹簧对A有向上的拉力2mg，A在下落的过程中有一部分能量转化为弹簧的弹性势能，故A的机械能不守恒，A错误；对物体A而言，重力对它做正功mgh，弹簧弹力对它做负功－eq \f(0＋2mg,2)h＝－mgh，C正确；合外力对A做的总功为零，根据动能定理可知物体A落到地面前的瞬间，速度一定为零，B错误；在下落到地面前的过程中，A先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，D错误．
13.如图12所示，质量分别为m、2m的a、b两物块用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后将其由静止释放，直至a、b物块间高度差为h.在此过程中，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
图12
A．物块a的机械能守恒
B．物块b的机械能减少了eq \f(2,3)mgh
C．物块b的重力势能减少量等于它克服细绳拉力所做的功
D．物块a的重力势能增加量小于其动能增加量
答案 B
解析 物块a受重力、绳的拉力作用，其中拉力做正功，则a的机械能增加，选项A错误；物块b受重力、绳的拉力作用，其中拉力做负功，则b的机械能减少，a、b组成的系统只有重力做功，其机械能守恒，有(2m－m)geq \f(h,2)＝eq \f(1,2)(m＋2m)v2，即gh＝3v2，则b的机械能减少了ΔE＝2mg·eq \f(h,2)－eq \f(1,2)×2mv2＝eq \f(2,3)mgh，选项B正确；a的重力势能的增加量为mgeq \f(h,2)>eq \f(1,2)mv2，选项D错误；根据动能定理，对b，有－WT＋WG＝eq \f(1,2)×2mv2，即WG＝eq \f(1,2)×2mv2＋WT，选项C错误．
14.(2019·西安交大附中期中)如图13所示，在长为L的轻杆的中点和端点处分别固定质量均为m的小球A、B，杆可绕轴O无摩擦转动，使杆从水平位置无初速度释放．不计空气阻力，重力加速度为g，当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
图13
答案 －0.2mgL 0.2mgL
解析 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB，如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，系统机械能守恒．若取B在竖直位置时的最低点所在水平面为零重力势能参考平面，可得
mgL＋eq \f(1,2)mgL＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
解得vA＝eq \r(\f(3gL,5))，vB＝eq \r(\f(12gL,5))
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．
对于A有WA＋eq \f(1,2)mgL＝eq \f(1,2)mvA2－0
所以WA＝－0.2mgL
对于B有WB＋mgL＝eq \f(1,2)mvB2－0
所以WB＝0.2mgL
15．(2019·泉州五中期中考试)如图14所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．试求：
图14
(1)斜面倾角α；
(2)A获得的最大速度的大小．
答案 (1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
解析 (1)A沿斜面下滑至速度最大时，A、B的加速度为零，而此时弹簧的弹力大小为mg，
所以有4mgsin α＝2mg
解得α＝30°.
(2)因为开始弹簧的压缩量与C刚好离开地面时弹簧的伸长量相等，由机械能守恒定律得
4mgsin α·eq \f(2mg,k)＝eq \f(1,2)(4m＋m)vmax2＋mg·eq \f(2mg,k)
解得vmax＝2geq \r(\f(m,5k)).功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
W弹＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
机械能转化为内能
f·s相对＝Q
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