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高中物理粤教版 (2019)必修 第三册第一章 静电场的描述本章综合与测试导学案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第三册第一章 静电场的描述本章综合与测试导学案，共15页。
一、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离．
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图1甲所示．
图1
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示．
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
如图2所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
图2
A．200 V/m B．200 eq \r(3) V/m
C．100 V/m D．100 eq \r(3) V/m
答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝eq \x\t(OC)sin α，而sin α＝eq \f(\x\t(OB),\r(\x\t(OB)2＋\x\t(OC)2))＝eq \f(1,2)，所以d＝eq \f(1,2)eq \x\t(OC)＝1.5×10－2 m．匀强电场的电场强度E＝eq \f(U,d)＝
eq \f(3,1.5×10－2) V/m＝200 V/m，故选项A正确．
二、电场中的功能关系
1．合外力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功．
2．电场力做功决定带电体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似．
3．只有电场力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即Ep1＋E机1＝Ep2＋E机2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
(多选)在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图3所示．若将一个带负电的粒子置于b点由静止自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中( )
图3
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C．电势能与机械能之和保持不变
D．电势能先减小，后增大
答案 CD
解析 a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量正点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量正点电荷连线的中垂线的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带负电粒子从b点运动到d点的过程中电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确．
如图4所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2eq \r(gR).求：
图4
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为电势零点，试确定A点的电势．
答案 (1)eq \r(7gR) (2)－eq \f(mgR,2q)
解析 (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝eq \f(3R,2)
根据动能定理有mg·eq \f(3R,2)＝eq \f(mvC2,2)－eq \f(mvB2,2)
解得vC＝eq \r(7gR).
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝eq \f(mvC2,2)，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)．
又因为φC＝0，可得φA＝－eq \f(mgR,2q).
针对训练 (2020·安庆市期末)如图5所示，在竖直平面xOy内，固定一半径为R的光滑绝缘的圆形轨道，圆心在O点，第四象限(含x、y轴)内有水平向右的匀强电场，一质量为m，带电荷量为＋q的小球，从图中A点静止释放，沿圆弧内侧轨道运动，第一次恰能通过圆弧轨道的最高点，已知重力加速度为g，则匀强电场的电场强度大小为( )
图5
A.eq \f(mg,q) B.eq \f(3mg,2q) C.eq \f(2mg,q) D.eq \f(5mg,2q)
答案 B
解析 小球恰好通过最高点，则有：mg＝meq \f(v2,R)，
解得小球在最高点的速度大小为：v＝eq \r(gR)，
小球从A点到最高点的过程中，根据动能定理可得：EqR－mgR＝eq \f(1,2)mv2，
解得E＝eq \f(3mg,2q)，故B正确．
三、φ－x图像和E－x图像
命题角度1 φ－x图像
从φ－x图像上可直接看出电势随位置的变化，可间接求出场强E随x的变化情况：φ－x图像切线斜率的绝对值k＝|eq \f(Δφ,Δx)|＝|eq \f(U,d)|，表示E的大小，场强E的方向为电势降低的方向．
(2020·厦门六中期中)如图6所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，一个带电粒子仅受电场力作用在x＝0处由静止释放沿x轴正向运动，且以一定的速度通过x＝x2处，则下列说法正确的是( )
图6
A．x1和x2处的电场强度均为零
B．x1和x2之间的场强方向不变
C．粒子从x＝0到x＝x2过程中，电势能先增大后减小
D．粒子从x＝0到x＝x2过程中，加速度先减小后增大
答案 D
解析 φ－x图像的切线斜率越大，则场强越大，A项错误；由切线斜率的正负可知，x1和x2之间的场强方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，B项错误；粒子在x＝0处由静止沿x轴正向运动，表明粒子运动方向先与电场力方向同向，后与电场力反向，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，C项错误；由图线的切线斜率可知，从x＝0到x＝x2过程中电场强度先减小后增大，因此粒子的加速度先减小后增大，D项正确．
命题角度2 E－x图像
(多选)(2019·启东中学高二质检)如图7甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴．理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示，则( )
图7
A．c点处的场强和a点处的场强大小相等、方向相同
B．球内部的电场为匀强电场
C．a、c两点处的电势相等
D．假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从a点处移动到c点处的过程中，电场力一直做正功
答案 AD
解析 根据题图乙可知c点处场强和a点处场强大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确，选项B错误；由题图甲可知，电场线的方向一定是从圆心指向无穷远处，沿电场线方向电势逐渐降低，所以a点的电势大于c点的电势，选项C错误；假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，电场力与运动方向相同，电场力一直做正功，选项D正确．
1．E－x图像中E的正负反映E的方向，E为正表示与电场方向相同．
2．E的数值反映电场强度的大小，由此可以确定电场的强弱分布．
3．E－x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿场强方向电势降低判断．
1.(电场方向的确定)下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点在同一平面上，下列图中电场强度的方向表示正确的是( )
答案 D
解析 直线ab的中点的电势为6 V，与c点电势相等．电场的方向由电势高处指向电势低处，故D正确．
2．(E－x图像)(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图8所示，x轴正方向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
图8
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
答案 BC
解析 由题图可知，x1到x4电场强度先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，故C正确，D错误；由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，故A错误，B正确．
3．(φ－x图像)(多选)(2020·夏津一中期末)两点电荷q1、q2固定在x轴上，在＋x轴上每一点的电势随x变化的关系图像如图9所示，其中x＝x0处的电势为零，x＝x1处的电势最低，下列说法正确的是( )
图9
A．x＝x0处的电场强度为零
B．x＝x1处的电场强度为零
C．q1带正电，q2带负电
D．q1的电荷量比q2的大
答案 BD
解析 φ－x图像切线斜率表示电场强度，故x＝x0处电场强度不为零，x＝x1处电场强度E1为零，故选项A错误，B正确；由于在x0处电势为零，同时左侧电势为正值，可知q1带负电，q2带正电，E1＝0，则q1的电荷量比q2的大，故选项C错误，D正确．
4.(电场综合问题)如图10所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为eq \r(3gh).求：
图10
(1)小球由A到C的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点间的电势差．
答案 (1)eq \f(1,2)mgh (2)－eq \f(mgh,2q)
解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：W＋mgh＝eq \f(1,2)mvB2
代入已知条件vB＝eq \r(3gh)得电场力做功
W＝eq \f(1,2)m·3gh－mgh＝eq \f(1,2)mgh
(2)因Q为点电荷，则B、C在同一等势面上，由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝eq \f(1,2)mgh，则UAC＝eq \f(WAC,－q)＝－eq \f(mgh,2q).
1.如图1所示，在M、N处固定着两个等量异种点电荷，在它们的连线上有A、B两点，已知MA＝AB＝BN.下列说法正确的是( )
图1
A．A、B两点场强相同
B．A、B两点电势相等
C．将一正电荷从A点移到B点，电场力做负功
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
答案 A
解析 根据等量异种点电荷电场分布的特点知，A、B两点场强相同，电势不相等，选项A正确，B错误；将一正电荷从A点移到B点，电场力做正功，选项C错误；A点电势大于B点电势，则负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能，选项D错误．
2.(2020·昌邑第一中学月考)如图2所示，在真空中固定两个等量异种点电荷＋Q和－Q，图中O点为两点电荷连线的中点，P点为其连线上靠近－Q的一点，MN为过O点的一条线段，且M点与N点关于O点对称，则下列说法正确的是( )
图2
A．同一个试探电荷在M、N两点所受的电场力相同
B．M、N两点的电势相同
C．将带正电的试探电荷从M点沿直线移到N点的过程中，电荷的电势能先增大后减小
D．只将－Q移到P点，其他点在空间的位置不变，则O点的电势升高
答案 A
解析 等量异种点电荷的电场的分布具有一定的对称性，故M、N两点的电场强度相同，同一个试探电荷在M、N两点所受的电场力相同，故A正确；在过两点电荷连线的垂直平分线的两侧，正电荷一侧的电势要高于负电荷一侧的电势，故M点的电势高于N点的电势，故B错误；将带正电的试探电荷从M点沿直线移到N点的过程中，电场力一直做正功，故电势能一直减小，故C错误；取无限远处电势为零，等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，故O点的电势为零；只将－Q移到P点，其他点在空间的位置不变，此时两个电荷连线的中点在O点的左侧，O点的电势变为负值，即O点的电势减小，故D错误．
3.(多选)如图3所示，在绝缘的斜面上方存在着水平向右的匀强电场，斜面上的带电金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是( )
图3
A．金属块带正电荷
B．金属块克服电场力做功8 J
C．金属块的机械能减少12 J
D．金属块的电势能减少4 J
答案 AC
解析 在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得：W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得：W电＝－4 J，
由于金属块下滑，电场力做负功，电场力应该水平向右，所以金属块带正电荷，金属块克服电场力做功4 J，故A正确，B错误；
在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故C正确；金属块克服电场力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，故D错误．
4．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
答案 BC
解析 匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分，把AB等分为三段，AB间电势差为3 V，则每等分电势差为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把A、C相连，等分为两份，AC间电势差为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确．
5.如图4△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0 V、2 V、8 V，则该电场的电场强度为( )
图4
A．50 V/m B．50eq \r(3) V/m
C．100 V/m D.eq \f(100\r(3),3) V/m
答案 C
解析 如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C两点的电势分别为0 V、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面，则电场方向由C指向A；根据E＝eq \f(U,d)可得电场强度：E＝eq \f(UDA,\x\t(DA))＝eq \f(2,0.04×cs 60°) V/m＝100 V/m，故选C.
6.(多选)某静电场沿x轴方向上的电势分布如图5所示，则( )
图5
A．在O～x1之间不存在沿x方向的电场
B．在O～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C．在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D．在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
答案 AC
解析 在φ－x图像中，斜率k表示在x方向上的场强Ex.所以O～x1之间不存在沿x方向的电场，A正确，B错误；x1～x2之间电势均匀减小，斜率不变，即Ex不变，x1～x2之间存在沿x方向的匀强电场，C正确，D错误．
7.空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图6所示．下列判断正确的是( )
图6
A．O点的场强最小，电势最低
B．－x1处的电势和x1处的电势相等
C．电子从x1处到－x1处的过程中速度先减小后增大
D．电子从x1处到－x1处的过程中电势能一直减小
答案 D
解析 从E－x图像可以看出，O点的场强最小；由于沿x轴方向场强方向不变，沿着电场线方向电势降低，故在x轴正方向上，x越大，电势越低，故A、B错误；由于电场强度是正方向，故电子受力沿着负方向，故电子从x1处到－x1处的过程中电场力与速度一直同向，速度一直增大，故C错误；电场力做正功，电势能减小；电子从x1处到－x1处的过程中电场力做正功，故电子从x1处到－x1处的过程中电势能一直减小，故D正确．
8.(多选)(2020·云南民族大学附属中学期中)如图7所示，在等量正点电荷形成的电场中，画一正方形ABCD，对角线AC与两点电荷连线重合，两对角线交点O恰为两点电荷连线的中点．下列说法正确的是( )
图7
A．B、D两点的电场强度及电势均相同
B．A、B两点间的电势差UAB与C、D两点间的电势差UCD相等
C．一质子由B点沿B→O→D路径移至D点，电势能先增大后减小
D．一电子由C点沿C→O→A路径移至A点，电场力对其先做负功后做正功
答案 BCD
解析 B、D两点的电场强度方向相反，故两点的电场强度不可能相同，选项A错误；根据对称性，A、C两点的电势相等，B、D两点的电势相等，故A、B两点间的电势差UAB与C、D两点间的电势差UCD相等，选项B正确；B、O、D三点相比较，O点的电势最高，故一质子由B点沿B→O→D路径移至D点，电势能先增大后减小，选项C正确；A、O、C三点相比较，O点的电势最低，电子在O点的电势能最大，故一电子由C点沿C→O→A路径移至A点，电势能先变大后变小，所以电场力对其先做负功后做正功，选项D正确．
9．(2020·桐乡市高级中学期中)如图8甲所示，Q1、Q2是两个固定的点电荷，一带正电的试探电荷仅在电场力作用下以初速度v0沿两点电荷连线的中垂线从a点向上运动，其v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
图8
A．两点电荷一定都带正电，且电荷量一定相等
B．两点电荷一定都带负电，且电荷量一定相等
C．试探电荷一直向上运动，直至运动到无穷远处
D．0～t2时间内，试探电荷的电势能先增大后减小
答案 B
解析 由题图乙可知试探电荷在0～t2时间内做减速直线运动，故两点电荷一定都带负电，且带电荷量一定相等，选项B正确，A错误；试探电荷先向上减速运动，速度减为零后再向下加速运动，选项C错误；0～t2时间内，电场力做负功，则试探电荷的电势能一直增大，选项D错误．
10.(多选)如图9所示，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上，沿AC方向固定有一光滑绝缘细杆L，在O点固定放置一带负电的小球．现有两个质量和电荷量都相同的带正电的小球a、b，均可视为点电荷，先将a穿在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使b从A点由静止开始沿竖直方向下落．则下列说法正确的是( )
图9
A．从A点到C点，小球a做匀加速运动
B．小球a在C点的动能等于小球b在B点的动能
C．从A点到C点，小球a的机械能先增大后减小，但机械能与电势能之和不变
D．小球a从A点到C点电场力做的功等于小球b从A点到B点电场力做的功
答案 CD
解析 小球a所受电场力大小不断变化，导致a所受合外力不断变化，因此从A点到C点，小球a做变速运动，A错误；B和C为以点电荷为圆心的圆周上的点，两点的电势相同，故小球a从A运动到C和小球b从A运动到B电场力做功相等，但是a球下落的高度大于b球下落的高度，因此小球a在C点的动能大于小球b在B点的动能，B错误，D正确；小球a机械能的变化量等于物体除重力之外的力所做的功，从A点到C点，电场力对a球先做正功后做负功，故其机械能先增大后减小，下落过程中只有重力、电场力做功，因此小球a的动能、重力势能、电势能三者之和保持不变，即机械能与电势能之和不变，C正确．
11.如图10所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，相邻等势面间隔均为d，各等势面电势已在图中标出(U>0)，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：(重力加速度为g)
图10
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移的大小xm.(电场范围足够大)
答案 (1)正电荷 eq \f(mgd,U) (2)eq \r(2)mg (3)eq \f(\r(2)v02,4g)
解析 (1)作出电场线如图甲所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力方向与初速度方向才可能在一条直线上，如图乙所示．只有当F合方向与v0方向在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电荷，小球沿v0方向做匀减速运动．由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝eq \f(U,d)，所以q＝eq \f(mg,E)＝eq \f(mgd,U).
(2)由图乙知，F合＝eq \r(qE2＋mg2)＝eq \r(2)mg.
(3)由动能定理得：－F合xm＝0－eq \f(1,2)mv02
所以xm＝eq \f(mv02,2\r(2)mg)＝eq \f(\r(2)v02,4g).
12.如图11所示，高为h的光滑绝缘直杆AD竖直放置，在D处有一固定的正点电荷，电荷量为Q.现有一质量为m的带电小球套在杆上，从A点由静止释放，运动到B点时速度达到最大值，到C点时速度正好又变为零，B、C和D相距分别为eq \f(1,3)h、eq \f(1,4)h，静电力常量为k，重力加速度为g，求：
图11
(1)小球的电荷量q和在C点处的加速度；
(2)C、A两点间的电势差．
答案 (1)eq \f(mgh2,9kQ) eq \f(7,9)g，方向竖直向上 (2)eq \f(27kQ,4h)
解析 (1)小球运动到C点时速度又变为零，可判断出小球带正电，小球在B点时速度达到最大值，有mg＝eq \f(kQq,\f(1,3)h2)
解得：q＝eq \f(mgh2,9kQ)
在C点，由牛顿第二定律得eq \f(kQq,\f(1,4)h2)－mg＝ma
解得a＝eq \f(7,9)g，方向竖直向上．
(2)从A到C过程，由动能定理得mg(h－eq \f(1,4)h)＋qUAC＝0
可得UCA＝－UAC＝eq \f(27kQ,4h).
一、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离．
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图1甲所示．
图1
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示．
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
如图2所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
图2
A．200 V/m B．200 eq \r(3) V/m
C．100 V/m D．100 eq \r(3) V/m
答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝eq \x\t(OC)sin α，而sin α＝eq \f(\x\t(OB),\r(\x\t(OB)2＋\x\t(OC)2))＝eq \f(1,2)，所以d＝eq \f(1,2)eq \x\t(OC)＝1.5×10－2 m．匀强电场的电场强度E＝eq \f(U,d)＝
eq \f(3,1.5×10－2) V/m＝200 V/m，故选项A正确．
二、电场中的功能关系
1．合外力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功．
2．电场力做功决定带电体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似．
3．只有电场力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即Ep1＋E机1＝Ep2＋E机2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
(多选)在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图3所示．若将一个带负电的粒子置于b点由静止自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中( )
图3
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C．电势能与机械能之和保持不变
D．电势能先减小，后增大
答案 CD
解析 a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量正点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量正点电荷连线的中垂线的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带负电粒子从b点运动到d点的过程中电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确．
如图4所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2eq \r(gR).求：
图4
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为电势零点，试确定A点的电势．
答案 (1)eq \r(7gR) (2)－eq \f(mgR,2q)
解析 (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝eq \f(3R,2)
根据动能定理有mg·eq \f(3R,2)＝eq \f(mvC2,2)－eq \f(mvB2,2)
解得vC＝eq \r(7gR).
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝eq \f(mvC2,2)，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)．
又因为φC＝0，可得φA＝－eq \f(mgR,2q).
针对训练 (2020·安庆市期末)如图5所示，在竖直平面xOy内，固定一半径为R的光滑绝缘的圆形轨道，圆心在O点，第四象限(含x、y轴)内有水平向右的匀强电场，一质量为m，带电荷量为＋q的小球，从图中A点静止释放，沿圆弧内侧轨道运动，第一次恰能通过圆弧轨道的最高点，已知重力加速度为g，则匀强电场的电场强度大小为( )
图5
A.eq \f(mg,q) B.eq \f(3mg,2q) C.eq \f(2mg,q) D.eq \f(5mg,2q)
答案 B
解析 小球恰好通过最高点，则有：mg＝meq \f(v2,R)，
解得小球在最高点的速度大小为：v＝eq \r(gR)，
小球从A点到最高点的过程中，根据动能定理可得：EqR－mgR＝eq \f(1,2)mv2，
解得E＝eq \f(3mg,2q)，故B正确．
三、φ－x图像和E－x图像
命题角度1 φ－x图像
从φ－x图像上可直接看出电势随位置的变化，可间接求出场强E随x的变化情况：φ－x图像切线斜率的绝对值k＝|eq \f(Δφ,Δx)|＝|eq \f(U,d)|，表示E的大小，场强E的方向为电势降低的方向．
(2020·厦门六中期中)如图6所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，一个带电粒子仅受电场力作用在x＝0处由静止释放沿x轴正向运动，且以一定的速度通过x＝x2处，则下列说法正确的是( )
图6
A．x1和x2处的电场强度均为零
B．x1和x2之间的场强方向不变
C．粒子从x＝0到x＝x2过程中，电势能先增大后减小
D．粒子从x＝0到x＝x2过程中，加速度先减小后增大
答案 D
解析 φ－x图像的切线斜率越大，则场强越大，A项错误；由切线斜率的正负可知，x1和x2之间的场强方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，B项错误；粒子在x＝0处由静止沿x轴正向运动，表明粒子运动方向先与电场力方向同向，后与电场力反向，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，C项错误；由图线的切线斜率可知，从x＝0到x＝x2过程中电场强度先减小后增大，因此粒子的加速度先减小后增大，D项正确．
命题角度2 E－x图像
(多选)(2019·启东中学高二质检)如图7甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴．理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示，则( )
图7
A．c点处的场强和a点处的场强大小相等、方向相同
B．球内部的电场为匀强电场
C．a、c两点处的电势相等
D．假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从a点处移动到c点处的过程中，电场力一直做正功
答案 AD
解析 根据题图乙可知c点处场强和a点处场强大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确，选项B错误；由题图甲可知，电场线的方向一定是从圆心指向无穷远处，沿电场线方向电势逐渐降低，所以a点的电势大于c点的电势，选项C错误；假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，电场力与运动方向相同，电场力一直做正功，选项D正确．
1．E－x图像中E的正负反映E的方向，E为正表示与电场方向相同．
2．E的数值反映电场强度的大小，由此可以确定电场的强弱分布．
3．E－x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿场强方向电势降低判断．
1.(电场方向的确定)下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点在同一平面上，下列图中电场强度的方向表示正确的是( )
答案 D
解析 直线ab的中点的电势为6 V，与c点电势相等．电场的方向由电势高处指向电势低处，故D正确．
2．(E－x图像)(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图8所示，x轴正方向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
图8
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
答案 BC
解析 由题图可知，x1到x4电场强度先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，故C正确，D错误；由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，故A错误，B正确．
3．(φ－x图像)(多选)(2020·夏津一中期末)两点电荷q1、q2固定在x轴上，在＋x轴上每一点的电势随x变化的关系图像如图9所示，其中x＝x0处的电势为零，x＝x1处的电势最低，下列说法正确的是( )
图9
A．x＝x0处的电场强度为零
B．x＝x1处的电场强度为零
C．q1带正电，q2带负电
D．q1的电荷量比q2的大
答案 BD
解析 φ－x图像切线斜率表示电场强度，故x＝x0处电场强度不为零，x＝x1处电场强度E1为零，故选项A错误，B正确；由于在x0处电势为零，同时左侧电势为正值，可知q1带负电，q2带正电，E1＝0，则q1的电荷量比q2的大，故选项C错误，D正确．
4.(电场综合问题)如图10所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为eq \r(3gh).求：
图10
(1)小球由A到C的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点间的电势差．
答案 (1)eq \f(1,2)mgh (2)－eq \f(mgh,2q)
解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：W＋mgh＝eq \f(1,2)mvB2
代入已知条件vB＝eq \r(3gh)得电场力做功
W＝eq \f(1,2)m·3gh－mgh＝eq \f(1,2)mgh
(2)因Q为点电荷，则B、C在同一等势面上，由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝eq \f(1,2)mgh，则UAC＝eq \f(WAC,－q)＝－eq \f(mgh,2q).
1.如图1所示，在M、N处固定着两个等量异种点电荷，在它们的连线上有A、B两点，已知MA＝AB＝BN.下列说法正确的是( )
图1
A．A、B两点场强相同
B．A、B两点电势相等
C．将一正电荷从A点移到B点，电场力做负功
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
答案 A
解析 根据等量异种点电荷电场分布的特点知，A、B两点场强相同，电势不相等，选项A正确，B错误；将一正电荷从A点移到B点，电场力做正功，选项C错误；A点电势大于B点电势，则负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能，选项D错误．
2.(2020·昌邑第一中学月考)如图2所示，在真空中固定两个等量异种点电荷＋Q和－Q，图中O点为两点电荷连线的中点，P点为其连线上靠近－Q的一点，MN为过O点的一条线段，且M点与N点关于O点对称，则下列说法正确的是( )
图2
A．同一个试探电荷在M、N两点所受的电场力相同
B．M、N两点的电势相同
C．将带正电的试探电荷从M点沿直线移到N点的过程中，电荷的电势能先增大后减小
D．只将－Q移到P点，其他点在空间的位置不变，则O点的电势升高
答案 A
解析 等量异种点电荷的电场的分布具有一定的对称性，故M、N两点的电场强度相同，同一个试探电荷在M、N两点所受的电场力相同，故A正确；在过两点电荷连线的垂直平分线的两侧，正电荷一侧的电势要高于负电荷一侧的电势，故M点的电势高于N点的电势，故B错误；将带正电的试探电荷从M点沿直线移到N点的过程中，电场力一直做正功，故电势能一直减小，故C错误；取无限远处电势为零，等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，故O点的电势为零；只将－Q移到P点，其他点在空间的位置不变，此时两个电荷连线的中点在O点的左侧，O点的电势变为负值，即O点的电势减小，故D错误．
3.(多选)如图3所示，在绝缘的斜面上方存在着水平向右的匀强电场，斜面上的带电金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是( )
图3
A．金属块带正电荷
B．金属块克服电场力做功8 J
C．金属块的机械能减少12 J
D．金属块的电势能减少4 J
答案 AC
解析 在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得：W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得：W电＝－4 J，
由于金属块下滑，电场力做负功，电场力应该水平向右，所以金属块带正电荷，金属块克服电场力做功4 J，故A正确，B错误；
在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故C正确；金属块克服电场力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，故D错误．
4．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
答案 BC
解析 匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分，把AB等分为三段，AB间电势差为3 V，则每等分电势差为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把A、C相连，等分为两份，AC间电势差为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确．
5.如图4△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0 V、2 V、8 V，则该电场的电场强度为( )
图4
A．50 V/m B．50eq \r(3) V/m
C．100 V/m D.eq \f(100\r(3),3) V/m
答案 C
解析 如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C两点的电势分别为0 V、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面，则电场方向由C指向A；根据E＝eq \f(U,d)可得电场强度：E＝eq \f(UDA,\x\t(DA))＝eq \f(2,0.04×cs 60°) V/m＝100 V/m，故选C.
6.(多选)某静电场沿x轴方向上的电势分布如图5所示，则( )
图5
A．在O～x1之间不存在沿x方向的电场
B．在O～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C．在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D．在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
答案 AC
解析 在φ－x图像中，斜率k表示在x方向上的场强Ex.所以O～x1之间不存在沿x方向的电场，A正确，B错误；x1～x2之间电势均匀减小，斜率不变，即Ex不变，x1～x2之间存在沿x方向的匀强电场，C正确，D错误．
7.空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图6所示．下列判断正确的是( )
图6
A．O点的场强最小，电势最低
B．－x1处的电势和x1处的电势相等
C．电子从x1处到－x1处的过程中速度先减小后增大
D．电子从x1处到－x1处的过程中电势能一直减小
答案 D
解析 从E－x图像可以看出，O点的场强最小；由于沿x轴方向场强方向不变，沿着电场线方向电势降低，故在x轴正方向上，x越大，电势越低，故A、B错误；由于电场强度是正方向，故电子受力沿着负方向，故电子从x1处到－x1处的过程中电场力与速度一直同向，速度一直增大，故C错误；电场力做正功，电势能减小；电子从x1处到－x1处的过程中电场力做正功，故电子从x1处到－x1处的过程中电势能一直减小，故D正确．
8.(多选)(2020·云南民族大学附属中学期中)如图7所示，在等量正点电荷形成的电场中，画一正方形ABCD，对角线AC与两点电荷连线重合，两对角线交点O恰为两点电荷连线的中点．下列说法正确的是( )
图7
A．B、D两点的电场强度及电势均相同
B．A、B两点间的电势差UAB与C、D两点间的电势差UCD相等
C．一质子由B点沿B→O→D路径移至D点，电势能先增大后减小
D．一电子由C点沿C→O→A路径移至A点，电场力对其先做负功后做正功
答案 BCD
解析 B、D两点的电场强度方向相反，故两点的电场强度不可能相同，选项A错误；根据对称性，A、C两点的电势相等，B、D两点的电势相等，故A、B两点间的电势差UAB与C、D两点间的电势差UCD相等，选项B正确；B、O、D三点相比较，O点的电势最高，故一质子由B点沿B→O→D路径移至D点，电势能先增大后减小，选项C正确；A、O、C三点相比较，O点的电势最低，电子在O点的电势能最大，故一电子由C点沿C→O→A路径移至A点，电势能先变大后变小，所以电场力对其先做负功后做正功，选项D正确．
9．(2020·桐乡市高级中学期中)如图8甲所示，Q1、Q2是两个固定的点电荷，一带正电的试探电荷仅在电场力作用下以初速度v0沿两点电荷连线的中垂线从a点向上运动，其v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
图8
A．两点电荷一定都带正电，且电荷量一定相等
B．两点电荷一定都带负电，且电荷量一定相等
C．试探电荷一直向上运动，直至运动到无穷远处
D．0～t2时间内，试探电荷的电势能先增大后减小
答案 B
解析 由题图乙可知试探电荷在0～t2时间内做减速直线运动，故两点电荷一定都带负电，且带电荷量一定相等，选项B正确，A错误；试探电荷先向上减速运动，速度减为零后再向下加速运动，选项C错误；0～t2时间内，电场力做负功，则试探电荷的电势能一直增大，选项D错误．
10.(多选)如图9所示，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上，沿AC方向固定有一光滑绝缘细杆L，在O点固定放置一带负电的小球．现有两个质量和电荷量都相同的带正电的小球a、b，均可视为点电荷，先将a穿在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使b从A点由静止开始沿竖直方向下落．则下列说法正确的是( )
图9
A．从A点到C点，小球a做匀加速运动
B．小球a在C点的动能等于小球b在B点的动能
C．从A点到C点，小球a的机械能先增大后减小，但机械能与电势能之和不变
D．小球a从A点到C点电场力做的功等于小球b从A点到B点电场力做的功
答案 CD
解析 小球a所受电场力大小不断变化，导致a所受合外力不断变化，因此从A点到C点，小球a做变速运动，A错误；B和C为以点电荷为圆心的圆周上的点，两点的电势相同，故小球a从A运动到C和小球b从A运动到B电场力做功相等，但是a球下落的高度大于b球下落的高度，因此小球a在C点的动能大于小球b在B点的动能，B错误，D正确；小球a机械能的变化量等于物体除重力之外的力所做的功，从A点到C点，电场力对a球先做正功后做负功，故其机械能先增大后减小，下落过程中只有重力、电场力做功，因此小球a的动能、重力势能、电势能三者之和保持不变，即机械能与电势能之和不变，C正确．
11.如图10所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，相邻等势面间隔均为d，各等势面电势已在图中标出(U>0)，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：(重力加速度为g)
图10
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移的大小xm.(电场范围足够大)
答案 (1)正电荷 eq \f(mgd,U) (2)eq \r(2)mg (3)eq \f(\r(2)v02,4g)
解析 (1)作出电场线如图甲所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力方向与初速度方向才可能在一条直线上，如图乙所示．只有当F合方向与v0方向在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电荷，小球沿v0方向做匀减速运动．由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝eq \f(U,d)，所以q＝eq \f(mg,E)＝eq \f(mgd,U).
(2)由图乙知，F合＝eq \r(qE2＋mg2)＝eq \r(2)mg.
(3)由动能定理得：－F合xm＝0－eq \f(1,2)mv02
所以xm＝eq \f(mv02,2\r(2)mg)＝eq \f(\r(2)v02,4g).
12.如图11所示，高为h的光滑绝缘直杆AD竖直放置，在D处有一固定的正点电荷，电荷量为Q.现有一质量为m的带电小球套在杆上，从A点由静止释放，运动到B点时速度达到最大值，到C点时速度正好又变为零，B、C和D相距分别为eq \f(1,3)h、eq \f(1,4)h，静电力常量为k，重力加速度为g，求：
图11
(1)小球的电荷量q和在C点处的加速度；
(2)C、A两点间的电势差．
答案 (1)eq \f(mgh2,9kQ) eq \f(7,9)g，方向竖直向上 (2)eq \f(27kQ,4h)
解析 (1)小球运动到C点时速度又变为零，可判断出小球带正电，小球在B点时速度达到最大值，有mg＝eq \f(kQq,\f(1,3)h2)
解得：q＝eq \f(mgh2,9kQ)
在C点，由牛顿第二定律得eq \f(kQq,\f(1,4)h2)－mg＝ma
解得a＝eq \f(7,9)g，方向竖直向上．
(2)从A到C过程，由动能定理得mg(h－eq \f(1,4)h)＋qUAC＝0
可得UCA＝－UAC＝eq \f(27kQ,4h).
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