2020-2021学年第一章 静电场的描述本章综合与测试导学案

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一、同一直线上自由电荷的平衡
如图1所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
图1
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷C，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？电荷量是多少？
答案 见解析
解析 (1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则
keq \f(q·qC,r2)＝keq \f(4q·qC,L－r2)
解得：r＝eq \f(L,3)
(2)在A、B间距离A为eq \f(L,3)处，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响．
(3)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向左(或向右)的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷．设放置的点电荷C的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对电荷A：有keq \f(4q·q,L2)＝keq \f(Qq,r\\al(,12))
对电荷B：有keq \f(4q·q,L2)＝keq \f(Q·4q,L－r12)
联立可得：r1＝eq \f(L,3)，Q＝eq \f(4,9)q(负电荷)
即应在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距eq \f(L,3)处放置一个电荷量为eq \f(4,9)q的负电荷．
共线的三个自由电荷的平衡问题有关特点
1．三个自由电荷的平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
2．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个电荷列式即可．
注意：在三个共线点电荷的平衡问题中，若仅让其中一个电荷平衡，则只需要确定其位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求．
针对训练1 如图2所示，q1、q2、q3分别表示在一条直线上的三个点电荷，已知q1与q2之间的距离为l1，q2与q3之间的距离为l2，且三个点电荷都处于平衡状态．
图2
(1)若q2为负电荷，则q1为________电荷，q3为________电荷；
(2)q1、q2、q3的电荷量大小之比是________．
答案 (1)正 正 (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l1＋l2,l2)))2∶1∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l1＋l2,l1)))2
解析 (1)假设q1、q3均为负电荷，则虽然q2可以平衡，但q1(或q3)所受的两个库仑力均为斥力，方向相同，故而不能平衡．假设q1、q3均为正电荷，则每个点电荷所受的两个库仑力均方向相反，可能平衡．因此，q1、q3均为正电荷，即在这种情况下，q1、q3必须是同种电荷且跟q2是异种电荷．
(2)q1受q2水平向右的引力作用和q3水平向左的斥力作用．
由库仑定律和力的平衡条件有keq \f(q1q2,l\\al(,12))＝keq \f(q1q3,l1＋l22)
同理，对q2有keq \f(q1q2,l\\al(,12))＝keq \f(q2q3,l\\al(,22))
联立以上两式得：q1∶q2∶q3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l1＋l2,l2)))2∶1∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l1＋l2,l1)))2.
二、非共线力作用下带电体的平衡
如图3所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10 cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30eq \r(3) g，则B带电荷量是多少？(取g＝10 m/s2，小球A、B视为点电荷，k＝9.0×109 N·m2/C2)
图3
答案 1.0×10－6 C
解析 因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L.
依据题意可得：tan 30°＝eq \f(h,L)
则L＝eq \f(h,tan 30°)＝10eq \r(3) cm
设A、B所带电荷量均为q，对B进行受力分析如图所示，
依据物体平衡条件，解得静电力F＝mgtan 30°＝30eq \r(3)×10－3×10×eq \f(\r(3),3) N＝0.3 N.
根据F＝keq \f(q2,L2).
解得：q＝1.0×10－6 C.
如图4所示，在真空中的绝缘水平面上，两相距为2L的固定的同种点电荷A、B带电荷量均为＋Q，O点为两电荷连线的中点，OP为两电荷连线的中垂线，在中垂线上的a点放有一带电荷量也为＋Q的可看成点电荷的小球，小球在大小为F＝eq \f(\r(2)kQ2,2L2)(k为静电力常量)的水平恒力作用下处于静止状态，已知力F和OP间夹角θ＝60°，O、a间距离为L，则小球所受的摩擦力大小是( )
图4
A．0 B.eq \f(kQ2,2L2) C.eq \f(\r(2)kQ2,2L2) D.eq \f(\r(6)kQ2,2L2)
答案 D
解析 由静电力叠加原理可知带电小球在a处所受静电力大小为F电＝eq \f(\r(2)kQ2,2L2)，方向由a指向P，由平衡条件可知小球所受的摩擦力大小应等于小球所受静电力与F的合力大小，即Ff＝2Fcs eq \f(θ,2)＝2×eq \f(\r(2)kQ2,2L2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6)kQ2,2L2)，故D正确．
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
1确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”.
2对研究对象进行受力分析，此时多了静电力F＝eq \f(kq1q2,r2)).
3根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
4求解方程.
针对训练2 (2019·湖州市期中)如图5所示，质量为m、带电荷量为q(q>0)的小球A(可看作质点)用绝缘细线悬挂于O点，细线长为l.当将电荷量为－q的点电荷B置于空间某位置时，小球A静止，悬线与竖直方向的夹角θ＝30°，A、B连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g，静电力常量为k，则A、B之间的距离为( )
图5
A．l B．qeq \r(\f(\r(3)k,mg)) C．qeq \r(\f(3k,mg)) D．qeq \r(\f(\r(3)k,2mg))
答案 B
解析 对小球A受力分析，其受竖直向下的重力，B对A斜向左上的静电力，斜向右上的细线的拉力，由题意知小球A静止，则小球受力平衡，设此时点电荷B与小球A间的距离为r，则eq \f(mg,2cs 30°)＝eq \f(kq2,r2)，解得A、B之间的距离r＝qeq \r(\f(\r(3)k,mg))，选项B正确．
1．(同一直线上自由电荷的平衡)(多选)如图6所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是( )
图6
A．a对b的静电力一定是引力
B．a对b的静电力可能是斥力
C．a的电荷量可能比b的少
D．a的电荷量一定比b的多
答案 AD
解析 根据共线的三个自由电荷的平衡条件“两同夹异、两大夹小”可知，B、C错误，A、D正确．
2．(同一直线上自由电荷的平衡)如图7所示，两个点电荷的电荷量分别为q1＝4×10－9 C和q2＝－9×10－9 C，分别固定于相距20 cm的a、b两点，有一个点电荷q(不计重力)放在a、b所在直线上且静止不动，则该点电荷所处的位置是( )
图7
A．在a点左侧40 cm处
B．在a点右侧8 cm处
C．在b点右侧20 cm处
D．无法确定
答案 A
解析 根据平衡条件，该点电荷应在a点的左侧，设所处位置距a点的距离为x、所带电荷量为q，则keq \f(q1q,x2)＝keq \f(|q2|q,x＋202)，将数据代入，解得x＝40 cm，故选项A正确．
3.(非共线力作用下带电体的平衡)(2020·长沙一中、湖南师大附中期中)如图8所示，用绝缘细线悬挂两个大小相同的小球(可看作质点)，它们带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电荷量分别为q1和q2，因静电力而使两悬线张开，分别与竖直方向成夹角α1和α2，且两球静止时处在同一水平线上，若α1＝α2，则下述结论正确的是( )
图8
A．q1一定等于q2
B．一定满足eq \f(q1,m1)＝eq \f(q2,m2)
C．m1一定等于m2
D．必然同时满足q1＝q2，m1＝m2
答案 C
解析 题中两球所带电荷量可能不同，也可能相同，但两球所受的静电力大小相同，方向相反；由于它们与竖直方向所成的角度相等，且两球同处一水平线上，所以根据共点力平衡条件可得tan α1＝eq \f(F1,m1g)＝eq \f(kq1q2,m1gr2)，tan α2＝eq \f(F2,m2g)＝eq \f(kq1q2,m2gr2)，由tan α1＝tan α2得，m1等于m2，故C正确．
4．(非共线力作用下带电体的平衡)电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点．A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°.静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷．下列图示正确的是( )
答案 B
解析 A、B间的静电力FAB＝k|eq \f(qAqB,r2)|＝2 N，G＝mg＝2 N，A对B作用力大小与B的重力大小相等，所以FAB与G的合力与竖直方向的夹角为60°，故B正确．
1.如图1所示，质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球的左侧，小球平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上．关于悬挂小球的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)( )
图1
A．正电，eq \f(mg,tan θ) B．正电，mgtan θ
C．负电，mgtan θ D．负电，eq \f(mg,tan θ)
答案 B
解析 以悬挂小球为研究对象，对悬挂小球进行受力分析，如图所示，根据小球处于平衡状态可知，在水平方向有F＝FTsin θ，在竖直方向有FTcs θ＝mg，解得F＝mgtan θ，则小球所受库仑力大小为mgtan θ；由于悬挂小球受到正电荷的斥力，所以悬挂小球也带正电，故选项B正确．
2.两个可自由移动的点电荷分别放在A、B两处，如图2所示．A处电荷带正电，所带电荷量为Q1，B处电荷带负电，所带电荷量为Q2，且Q2＝4Q1，另取一个可以自由移动的点电荷M放在A、B两点所在的直线上，欲使整个系统处于平衡状态，则( )
图2
A．M为负电荷，且放于A的左侧
B．M为负电荷，且放于B的右侧
C．M为正电荷，且放于A、B之间
D．M为正电荷，且放于B的右侧
答案 A
解析 根据三个自由点电荷平衡条件“三点共线、两同夹异、两大夹小、近小远大”，可知点电荷M应为负电荷且放于A的左侧，选项A正确，B、C、D错误．
3.相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为＋4q和－q，如图3所示，现引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是( )
图3
A．－q，在A左侧距A为L处
B．－2q，在A左侧距A为eq \f(L,2)处
C．＋4q，在B右侧距B为L处
D．＋2q，在B右侧距B为eq \f(3L,2)处
答案 C
解析 根据三个自由点电荷平衡条件“三点共线、两同夹异、两大夹小、近小远大”，可知C必须带正电，在B的右侧．设C所在位置与B的距离为r，则C所在位置与A的距离为L＋r，C要能处于平衡状态，则A对C的静电力大小等于B对C的静电力大小，设C的电荷量大小为Q，则有：eq \f(k4q·Q,L＋r2)＝keq \f(Qq,r2)，解得r＝L.对点电荷A，其受力也平衡，则：keq \f(4q·Q,L＋r2)＝eq \f(k4q·q,L2)，解得：Q＝4q，即C带正电，电荷量为4q，在B的右侧距B为L处，选项C正确．
4．(多选)如图4所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么( )
图4
A．两球一定带异种电荷
B．q1一定大于q2
C．m1一定小于m2
D．m1所受的静电力一定大于m2所受的静电力
答案 AC
解析 由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确．根据牛顿第三定律可知，两小球受到的静电力大小相等，无法判断电荷量的大小，选项B、D错误．设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的静电力F＝mgtan θ，α>β，故m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确．
5．如图5甲所示，光滑绝缘水平面上固定金属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，如图乙所示，则有( )
图5
A．x2＝eq \f(1,2)x1 B．x2＝eq \f(1,4)x1
C．x2＞eq \f(1,4)x1 D．x2＜eq \f(1,4)x1
答案 C
解析 两小球间的库仑力等于弹簧的弹力，两球电荷量各漏掉一半，若不考虑两球距离的变化对库仑力的影响，库仑力减为原来的eq \f(1,4)，则x2＝eq \f(1,4)x1，但实际是两球距离减小后库仑力会增大，此时弹簧的伸长量x2＞eq \f(1,4)x1，选项C正确．
6.如图6所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上．其中O点与小球A间的距离为l，O点与小球B间的距离为eq \r(3)l.当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A、B均可视为点电荷．静电力常量为k，重力加速度为g，则( )
图6
A．A、B间静电力大小F＝eq \f(kq2,2l2)
B．A、B间静电力大小F＝eq \f(\r(3)mg,3)
C．细线拉力大小FT＝eq \f(kq2,3l2)
D．细线拉力大小FT＝eq \r(3)mg
答案 B
解析 带电小球A受力如图所示，
由几何知识得OC＝eq \f(\r(3),2)l，即C点为OB中点，根据对称性AB＝l.由库仑定律知A、B间静电力大小F＝eq \f(kq2,l2)，细线拉力大小FT＝F＝eq \f(kq2,l2)，选项A、C错误；根据平衡条件得Fcs 30°＝eq \f(1,2)mg，得A、B间静电力大小F＝eq \f(\r(3)mg,3)，细线拉力大小FT＝eq \f(\r(3)mg,3)，选项B正确，D错误．
7.在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图7所示．现让小球A、B、C带等量的正电荷Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态，则Q与q的比值为( )
图7
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C．3 D.eq \r(3)
答案 D
解析 设三角形边长为L，即AB、AC距离为L，则AD距离为eq \f(\r(3),3)L.以小球A为研究对象，由库仑定律知，B、C对A球的静电力大小均为F＝keq \f(Q2,L2)，
两静电力的合力大小为F合＝2Fcs 30°＝eq \r(3)keq \f(Q2,L2)，
球A、D间的静电力大小为F′＝eq \f(kQq,\f(\r(3),3)L2)＝3keq \f(Qq,L2)，根据平衡条件得F合＝F′，即eq \r(3)keq \f(Q2,L2)＝3keq \f(Qq,L2)，得Q＝eq \r(3)q，则Q与q的比值为eq \r(3)，选项D正确．
8．如图8所示，把质量为0.2 g的带电小球A用绝缘丝线吊起，若将带电荷量为＋4×10－8 C的小球B靠近它，两小球在同一高度且相距3 cm时 ，小球A平衡，丝线与竖直方向夹角为45°.g取10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，小球A、B可视为点电荷，则：
图8
(1)此时小球B受到的静电力的大小为多少？
(2)小球A带何种电荷？
(3)小球A所带电荷量大小是多少？
答案 (1)2×10－3 N (2)负电荷 (3)5×10－9 C
解析 (1)根据题给条件，可知小球A处于平衡状态，分析小球A受力情况如图所示．则
F＝mgtan 45°＝0.2×10－3×10×1 N＝2×10－3 N.
小球B受到的静电力与小球A受到的静电力是一对作用力和反作用力，所以小球B受到的静电力大小为2×10－3 N.
(2)小球A与小球B相互吸引，小球B带正电荷，故小球A带负电荷．
(3)小球A、B之间的静电力大小F＝keq \f(|qA|·qB,r2)，
解得|qA|＝eq \f(Fr2,kqB)＝eq \f(2×10－3×3×10－22,9.0×109×4×10－8) C＝5×10－9 C.