高中物理粤教版 (2019)必修 第三册第一章 静电场的描述第五节 电势差及其与电场强度的关系导学案

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第五节　电势差及其与电场强度的关系
[学习目标]　1.理解电势差的概念，掌握电势差的表达式，知道电势差正负号的意义.2.理解电势差与电场力做功的关系式，并会进行有关计算.3.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系式，并会进行有关计算．

一、电势差
1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫电压．UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA.
2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．UAB>0，表示A点电势比B点电势高．
3．电场力做功与电势差的关系
WAB＝qUAB或UAB＝.
4．电势差的比值定义法：电势差为电场力做的功与所移动电荷的电量的比值．
二、电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中任意两点间的电势差等于场强与这两点沿电场方向的距离的乘积．
公式：U＝Ed
2．公式E＝的意义：在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向距离为每单位长度的两点间的电势差．
电场强度的另一个单位：由E＝可导出场强的另一个单位，即伏/米，符号为V/m.1 V/m＝1 N/C.

1．判断下列说法的正误．
(1)电势差与电势一样，是相对量，都与电势零点的选取有关．(　×　)
(2)电势差是一个标量，但是有正值和负值之分．(　√　)
(3)若电场中两点间的电势差UAB＝1 V，则将单位正电荷从A点移到B点，电场力做功为1 J．(　√　)
(4)根据公式UAB＝Ed，在匀强电场中A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大．(　×　)
(5)在匀强电场中，沿电场线方向，相同距离上降低的电势必相等．(　√　)
(6)由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比．(　×　)
2．在某电场中，将一带电荷量为q＝＋2.0×10－9 C的点电荷从a点移到b点，电场力做功W＝－4.0×10－7 J，则a、b两点间的电势差Uab为________V.
答案　－200

一、电势差
导学探究
电场中A、B、C、D四点的电势如图1所示．

图1
(1)A、C及A、B间的电势差各为多少？哪个较大？
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势各为多少？A、C及A、B间的电势差各为多少？通过以上计算说明电势、电势差各具有什么特点？
答案　(1)UAC＝15 V，UAB＝10 V，UAC＞UAB
(2)φA＝18 V，φB＝8 V，φC＝3 V，UAC＝15 V，UAB＝10 V
电势的大小与电势零点的选取有关，电势差的大小与电势零点的选取无关．
知识深化
1．对电势差概念的理解
(1)电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．
(2)电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且UAB＝－UBA，与电势零点的选取无关．
(3)电场中某点的电势在数值上等于该点与电势零点之间的电势差．
2．电势和电势差的比较
概念
比较内容
电势φ
电势差U
区别
定义
电势能与电荷量的比值φ＝
电场力做的功与电荷量的比值UAB＝
决定因素
由电场和在电场中的位置决定，与q、Ep无关
由电场和场内两点位置决定，与q、WAB无关
相对性
与电势零点的选取有关
与电势零点的选取无关
联系
数值关系
UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位
相同，国际单位制中均是伏特(V)
标矢性
都是标量，但均有正负

3.电势差与电场力做功的关系
(1)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，其中WAB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．
(2)公式UAB＝或WAB＝qUAB中符号的处理方法：
把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明电场力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明电场力做负功，电荷的电势能增大．
命题角度1　电势差的理解
(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A．电势与电势差均是相对量，均与电势零点的选取有关
B．UAB和UBA是不同的，它们存在关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正、负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝UAB
答案　BD
解析　电势差与电势零点的选取无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝UAB，D正确．
命题角度2　电场力做功与电势差的关系
有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服电场力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，电场力对电荷做9×10－4 J的功，问：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
答案　(1)UAB＝200 V　UBC＝－300 V　UCA＝100 V
(2)φA＝200 V　φC＝300 V　EpA＝－6×10－4 J　EpC＝－9×10－4 J
解析　(1)点电荷由A移到B克服电场力做功即电场力做负功，WAB＝－6×10－4 J，则有
UAB＝＝ V＝200 V.
UBC＝＝ V＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V，
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝0－(－300)V＝300 V，
点电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200 J＝－6×10－4 J.
点电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300 J＝－9×10－4 J.
二、匀强电场中电势差与电场强度的关系
导学探究
公式E＝对任何电场都适用吗？式中d指的是两点的距离吗？
答案　公式E＝只适用于匀强电场，公式中的d指的是两点沿电场线方向的距离，而不是两点间的距离．
知识深化
1．公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场．
2．由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
式中d不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．
3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
如图2所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：

图2
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案　(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V
解析　板间场强方向水平向左，可知Q板电势最高．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．
(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA＝－10 V.

1．电势差的三种求解方法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解．
(2)应用关系式UAB＝来求解．
(3)应用关系式U＝Ed(匀强电场)来求解．
2．在应用关系式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．
三、用公式U＝Ed定性分析非匀强电场
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
(1)在非匀强电场中，公式U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间电场强度的平均值．
(2)当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密．
(3)距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小．
(1)某一电场的电场线和等势面如图3甲所示，已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，则(　　)
A．φb＝4 V B．φb＞4 V
C．φb＜4 V D．上述情况都有可能
(2)若电场线和等势面如图乙所示，其他条件不变，则答案为(1)中的(　　)
　
图3
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)根据匀强电场关系式U＝Ed可知，φa－φc＝E·，φa－φb＝E·，得φb＝4 V，选项A正确．
(2)由于图乙是非匀强电场，不能根据公式U＝Ed进行定量计算，只能进行定性分析，由电场线的疏密可知ab和bc间电场强度的平均值Eab＞Ebc，所以Uab＞Ubc，即φa－φb＞φb－φc，得到φb＜＝4 V，C正确．

1．(对电势差的理解)关于电势差的下列说法中，正确的是(　　)
A．电势差与电势一样，是相对量，与电势零点的选取有关
B．电势差是标量，没有正值和负值之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随电势零点的改变而改变，所以UAB＝UBA
答案　C
解析　电势差与电势零点的选取无关，与移动电荷的路径也无关，只跟这两点的位置有关，选项A错误，C正确；电势差是标量，但有正、负值之分，且UAB＝－UBA，选项B、D错误．
2．(对公式E＝和UAB＝Ed的理解)对公式E＝和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是(　　)
A．公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．由E＝知，匀强电场中A、B两点沿电场线方向的距离越大，则电场强度越小
D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
答案　D
3.(用公式U＝Ed定性分析非匀强电场)如图4所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝15 V和φC＝5 V，则B点的电势(　　)

图4
A．一定高于10 V B．一定等于10 V
C．一定低于10 V D．无法确定
答案　C
解析　由正点电荷的电场线分布可知AB段电场线比BC段电场线密，则AB段场强较大，根据公式U＝Ed可知，A、B间电势差UAB大于B、C间电势差UBC，即φA－φB>φB－φC，得到φB<＝10 V，选项C正确．
4.(电势差与电场强度的关系)如图5所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求：

图5
(1)电场强度的大小和方向；
(2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　(1)2.5×103 V/m　方向水平向右　(2)－280 V
解析　(1)电场强度的大小E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，方向水平向右．
(2)C点与A点的电势差为：
UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V.


考点一　电势差
1．对于电场中A、B两点，下列说法中正确的是(　　)
A．电势差的定义式UAB＝，说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差UAB与移动电荷的电荷量q无关
C．把负电荷从A点移到B点电场力做正功，则有UAB＞0
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力做的功
答案　B
解析　根据电势差的定义，电场中两点间的电势差等于将单位电荷从一点移到另一点时电场力所做的功，仅由电场及两点的位置决定，与移动电荷的电荷量及做功的多少无关，故B正确．
2.如图1所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9 C的正点电荷从A经B、C到达D点，则从A至D，电场力对电荷做的功为(　　)

图1
A．4.8×10－8 J
B．－4.8×10－8 J
C．8.0×10－8 J
D．－8.0×10－8 J
答案　B
解析　UAD＝φA－φD＝－40 V－(－10) V＝－30 V，
所以WAD＝qUAD＝1.6×10－9×(－30) J＝－4.8×10－8 J.
3．在电场中将一带电荷量q＝－1×10－9 C的负电荷从B点移至A点时，克服电场力做功2×
10－6 J，将该电荷从A点移至C点，则需克服电场力做功3×10－6 J，则B、C间的电势差大小为(　　)
A．5 000 V B．3 000 V
C．2 000 V D．1 000 V
答案　A
解析　负电荷由B移到C，电场力做功为
WBC＝WBA＋WAC＝－2×10－6 J－3×10－6 J＝－5×10－6 J
则UBC＝＝ V＝5 000 V
所以B、C间的电势差大小为5 000 V.
考点二　电势差与电场强度的关系
4．如图2所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为(　　)

图2
A．竖直向下，E＝0.4 V/m B．水平向右，E＝0.4 V/m
C．水平向左，E＝40 V/m D．水平向右，E＝40 V/m
答案　D
解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确．
5.如图3所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ<)，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为(　　)

图3
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1) D．U＝2Er
答案　C
解析　由U＝Ed知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C项正确．
6.如图4所示，A、B两点相距10 cm，E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为(　　)

图4
A．5 V B．－5 V
C．10 V D．－10 V
答案　B
解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝lAB·cos(180°－120°)＝10× cm＝5 cm.由于φA＜φB，则根据U＝Ed得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2 V＝－5 V，故选B.
考点三　用公式U＝Ed定性分析非匀强电场
7.如图5所示是某电场中的三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝－20 V，则下列说法正确的是(　　)

图5
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC>5 V
C．C点的电势φC<5 V
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
答案　C
解析　由题图知，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段场强较大，根据公式U＝Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB，所以UAC>UAB＝25 V，即φA－φC>25 V，又φA＝30 V，可知φC<5 V，故C正确，A、B错误；负电荷在电势低处电势能较大，故D错误．
8.(多选)如图6所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC；电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的是(　　)

图6
A．φA>φB>φC B．EC>EB>EA
C．UAB>UBC D．UAB＝UBC
答案　AB
解析　A、B、C三点处在同一条电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降落，有φA>φB>φC，故A正确；由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为EC>EB>EA，故B正确；电场线密集的地方电势降落较快，由U＝Ed知：UBC>UAB，故C、D错误．

9.如图7所示，实线是电场线，虚线为等势面，已知相邻两等势面间的电势差相等，有一正电荷在等势面L3处的动能为20 J，运动到L1处的动能为零，若取L2处为零势面，则当该电荷的电势能为6 J时，它的动能是(不计重力及其他阻力)(　　)

图7
A．16 J B．24 J C．6 J D．4 J
答案　D
解析　该电荷在运动过程中，因为只有电场力做功，所以电势能与动能之间发生转化，且动能与电势能的总和保持不变．设该电荷由L3到L2，L2到L1电场力做功分别为W32、W21，因为U32＝U21，所以W32＝W21，由动能定理得W32＋W21＝－20 J，即W32＝W21＝－10 J．设当该电荷运动到等势面L2时，其动能为Ek2，W32＝Ek2－20 J，Ek2＝10 J，所以该电荷的动能和电势能的总和为10 J＋0＝10 J，故当该电荷的电势能为6 J时，电荷的动能为4 J.
10．一个带负电的点电荷，带电荷量为－2.0×10－9 C，在静电场中将该点电荷由a点移动到b点，在这个过程中，除电场力外，其他外力做的功为6.0×10－5 J，点电荷的动能减少了8.0×
10－5 J，则a、b两点间的电势差Uab为(　　)
A．1×104 V B．－1×104 V
C．7×104 V D．－7×104 V
答案　C
解析　设电场力做功为W，由动能定理知：W＋6.0×10－5 J＝－8.0×10－5 J，
可求得W＝－1.4×10－4 J，因此a、b两点间的电势差为Uab＝＝7×104 V，
故选项C正确．
11.如图8所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为(　　)

图8
A．1.6×10－7 J B．1.2×10－7 J
C．－1.6×10－7 J D．－1.2×10－7 J
答案　C
解析　B、M在同一等势面上，正电荷由B点移动到M点电场力不做功．由M点移动到A点电场力做功为WMA＝－WAM＝－qUAM＝－qE·＝－2×10－9×2×103×4×10－2 J＝－1.6×10－7 J，即电场力做功为－1.6×10－7 J.
12.如图9所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，电荷量为q＝1.2×10－6 C的正电荷在该电场中移动．

图9
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案　(1)3.6×10－5 J　(2)增加了4.8×10－5 J
解析　(1)UCD＝φC－φD＝30 V
则WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J.
(2)UDA＝φD－φA＝－30 V－10 V＝－40 V
则WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
所以把这个电荷从D移到B再移到A，电势能增加了4.8×10－5 J.
13.平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图10所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V．求：

图10
(1)两板间的场强是多大？
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差为多大？
(3)若B板接地，P1和P2两点的电势各是多少？
答案　(1)1.2×103 V/m　(2)48 V　(3)54 V　6 V
解析　(1)两板间是匀强电场，由U＝Ed可得两板间的场强E＝＝＝1.2×103 V/m.
(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4 cm.
所以UP1P2＝Ed′＝1.2×103×4×10－2 V＝48 V.
(3)B板接地，即B板电势为零，电场中某点的电势就等于这点与B板的电势差，
即φP1＝Ed1＝1.2×103×4.5×10－2 V＝54 V，
φP2＝Ed2＝1.2×103×0.5×10－2 V＝6 V.

14.一根长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图11所示的水平向右的匀强电场中．开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零．求：(不计空气阻力)

图11
(1)A、B两点的电势差UAB；
(2)匀强电场的场强大小．
答案　(1)－　(2)
解析　(1)小球由A到B过程中，由动能定理得
mgLsin 60°＋qUAB＝0，
所以UAB＝－.
(2)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系，
可得E＝＝.