2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学英才班高一（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学英才班高一（上）期末数学试卷（理科），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学英才班高一（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（6分）已知全集U＝R，N＝{x|x（x+3）＜0}，M＝{x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|x＜﹣3}
2．（6分）函数y＝ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象一定经过的点是（　　）
A．（0，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（0，﹣3） D．（﹣1，﹣2）
3．（6分）当θ∈（0，π）时，若cos（﹣θ）＝﹣，则tan（θ+）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
4．（6分）若函数f（x）＝log0.3（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，且b＝lg0.3，c＝20.3，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
5．（6分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3，已知函数f（x）＝﹣，则函数y＝[f（x）]的值域是（　　）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
6．（6分）在直角坐标系中，如果相异两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y＝f（x）的图象上，那么称A，B为函数y＝f（x）的一对关于原点成中心对称的点（A，B与B，A为同一对）．函数f（x）＝的图象上关于原点成中心对称的点有（　　）
A．1对 B．3对 C．5对 D．7对
二、填空题（每题6分，共18分，请把答案填在答题卡内横线上）。
7．（6分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g（0）＝0，当x≥0时，f（x）﹣g（x）＝x2+2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）+g（﹣1）＝　 　．
8．（6分）已知a∈R，函数f（x）＝．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　 　．
9．（6分）函数f（x）＝，下列四个命题
①f（x）是以π为周期的函数；
②f（x）的图象关于直线x＝+2kπ，（k∈Z）对称；
③当且仅当x＝π+kπ（k∈Z），f（x）取得最小值﹣1；
④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ，（k∈Z）时，0＜f（x）≤．
正确的是　 　．
三、解答题（本大题共3小题，共46分。应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
10．（15分）若函数f（x）满足对其定义域内任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立则称f（x）为“类对数型”函数．
（1）求证：g（x）＝log3x+1为“类对数型”函数；
（2）若h（x）为“类对数型”函数．
（ⅰ）求h（1）的值；
（ⅱ）求h（）+h（）+…+h（）+h（）+h（1）+h（2）+h（3）+…+h（2018）的值．
11．（15分）函数在它的某一个周期内的单调减区间是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），求函数g（x）在上的最大值和最小值．
12．（16分）已知函数f（x）＝log2（mx2﹣2mx+1），m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）﹣2log4x，若对任意x∈[0，1]，总有g（2x）﹣x≤0，求m的取值范围．

2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学英才班高一（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（6分）已知全集U＝R，N＝{x|x（x+3）＜0}，M＝{x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|x＜﹣3}
【分析】首先化简集合N，然后由Venn图可知阴影部分表示N∩（∁UM），即可得出答案．
【解答】解：N＝{x|x（x+3）＜0}＝{x|﹣3＜x＜0}
由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（∁UM），
又M＝{x|x＜﹣1}，
∴∁UM＝{x|x≥﹣1}
∴N∩（∁UM）＝[﹣1，0）
故选：C．
2．（6分）函数y＝ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象一定经过的点是（　　）
A．（0，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（0，﹣3） D．（﹣1，﹣2）
【分析】令x+1＝0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1）恒过定点的坐标．
【解答】解：令x+1＝0，求得 x＝﹣1，且y＝﹣2，
故函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1）恒过定点（﹣1，﹣2），
故选：D．
3．（6分）当θ∈（0，π）时，若cos（﹣θ）＝﹣，则tan（θ+）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】由已知求得cos（θ+），再由同角三角函数基本关系式求解．
【解答】解：∵cos（﹣θ）＝﹣，
∴cos（θ+）＝cos[π﹣（﹣θ）]＝﹣cos（﹣θ）＝，
∵θ∈（0，π），∴θ+∈（），
∴sin（θ+）＝，
则tan（θ+）＝．
故选：A．
4．（6分）若函数f（x）＝log0.3（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，且b＝lg0.3，c＝20.3，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b＝lg0.3＜0，c＝20.3＞1得答案．
【解答】解：由5+4x﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜5，
函数t＝5+4x﹣x2的增区间为（﹣1，2），
要使在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，
则，即0≤a≤1．
而b＝lg0.3＜0，c＝20.3＞1，
∴b＜a＜c．
故选：D．
5．（6分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3，已知函数f（x）＝﹣，则函数y＝[f（x）]的值域是（　　）
A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【分析】分离常数得出，根据2x＞0即可求出，从而可将f（x）的范围分成这样几部分：，[f（x）]＝﹣1；0≤f（x）＜1，[f（x）]＝0；，[f（x）]＝1，这样即得出y＝[f（x）]的值域．
【解答】解：；
∵2x＞0；
∴1+2x＞1，，；
∴；
∴时，[f（x）]＝﹣1；0≤f（x）＜1时，[f（x）]＝0；时，[f（x）]＝1；
∴y＝[f（x）]的值域为{﹣1，0，1}．
故选：D．
6．（6分）在直角坐标系中，如果相异两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y＝f（x）的图象上，那么称A，B为函数y＝f（x）的一对关于原点成中心对称的点（A，B与B，A为同一对）．函数f（x）＝的图象上关于原点成中心对称的点有（　　）
A．1对 B．3对 C．5对 D．7对
【分析】根据函数图象的变化，分析可得函数y＝log7（x+1）（x＞0）的图象过空点（0，0）和实点（6，1），结合题意，找到其关于原点对称的点，易得其对称的图象与有两个交点，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝，


当x≤0时，f（x）＝cos，
设g（x）的图象与f（x）＝cos（x≤0）图象关于原点对称，
则g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣cos
（x≥0），
当x＞0时，f（x）＝log7x，
在同一坐标系中作出函数f（x）＝log7x和g（x）的图象，如图：
如图，有5个交点，
则函数f（x）＝的图象上关于原点成中心对称的点5对；
故选：C．
二、填空题（每题6分，共18分，请把答案填在答题卡内横线上）。
7．（6分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g（0）＝0，当x≥0时，f（x）﹣g（x）＝x2+2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）+g（﹣1）＝　﹣4　．
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，进而分析可得f（0）﹣g（0）＝20+b＝0，得b＝﹣1，结合函数的解析式可得f（1）﹣g（1）＝4，又由函数的奇偶性可得f（﹣1）+g（﹣1）＝﹣f（1）+g（1）＝﹣[f（1）﹣g（1）]，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，
又由g（0）＝0，则f（0）﹣g（0）＝20+b＝0，得b＝﹣1，
当x≥0时，f（x）﹣g（x）＝x2+2x+2x﹣1，则f（1）﹣g（1）＝4，
于是f（﹣1）+g（﹣1）＝﹣f（1）+g（1）＝﹣[f（1）﹣g（1）]＝﹣4．
故答案为：﹣4
8．（6分）已知a∈R，函数f（x）＝．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　[]　．
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，
由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，
得a≥，
综上≤a≤2，
故答案为：[，2]．

9．（6分）函数f（x）＝，下列四个命题
①f（x）是以π为周期的函数；
②f（x）的图象关于直线x＝+2kπ，（k∈Z）对称；
③当且仅当x＝π+kπ（k∈Z），f（x）取得最小值﹣1；
④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ，（k∈Z）时，0＜f（x）≤．
正确的是　②④　．
【分析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．
【解答】解：由题意函数f（x）＝，
画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．

由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，故①错误；
由图象知，函数图象关于直线x＝+2kπ（k∈Z）对称，故②正确；
在x＝π+2kπ（k∈Z）和x＝+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故③错误，
在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故④正确．
故正确的命题为：②④．
故答案为：②④
三、解答题（本大题共3小题，共46分。应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
10．（15分）若函数f（x）满足对其定义域内任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立则称f（x）为“类对数型”函数．
（1）求证：g（x）＝log3x+1为“类对数型”函数；
（2）若h（x）为“类对数型”函数．
（ⅰ）求h（1）的值；
（ⅱ）求h（）+h（）+…+h（）+h（）+h（1）+h（2）+h（3）+…+h（2018）的值．
【分析】（1）运用对数的运算性质和新定义，即可得证；
（2）（i）令x1＝x2＝1，代入计算即可得到所求值；
（ii）可令x1＝x，x2＝，可得h（1）＝h（x）+h（）﹣1＝1，即有h（x）+h（）＝2，再由倒序相加计算可得所求和．
【解答】解：（1）证明：g（x1x2）＝log3（x1x2）+1＝log3x1+log3x2+1，
g（x1）+g（x2）﹣1＝log3x1+1+log3x2+1﹣1＝log3x1+log3x2+1，
即有g（x1x2）＝g（x1）+g（x2）﹣1，
可得g（x）＝log3x+1为“类对数型”函数；
（2）（i）h（x）为“类对数型”函数，
可得h（x1•x2）＝h（x1）+h（x2）﹣1，
令x1＝x2＝1，可得h（1）＝2h（1）﹣1，
解得h（1）＝1；
（ii）可令x1＝x，x2＝，可得h（1）＝h（x）+h（）﹣1＝1，
即有h（x）+h（）＝2，
设S＝h（）+h（）+…+h（）+h（）+h（1）+h（2）+h（3）+…+h（2018），
即有S＝h（2018）+h（2017）+…+h（3）+h（2）+h（1）+h（）+h（）+…+h（），
相加可得2S＝2×4035，
即S＝4035．
可得h（）+h（）+…+h（）+h（）
+h（1）+h（2）+h（3）+…+h（2018）的值为4035．
11．（15分）函数在它的某一个周期内的单调减区间是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），求函数g（x）在上的最大值和最小值．
【分析】（1）根据周期性求出ω，根据顶点坐标求出∅值，从而得到f（x）的解析式．
（2）根据三角函数图象的变换求出函数g（x） 的解析式，根据角的范围结合单调性求出最值．
【解答】解：（1）由条件，，∴，∴ω＝2，又，∴，
∴f（x）的解析式为．
（2）将y＝f（x）的图象先向右平移个单位，得，∴．
而
∴函数g（x）在上的最大值为1，最小值为．
12．（16分）已知函数f（x）＝log2（mx2﹣2mx+1），m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）﹣2log4x，若对任意x∈[0，1]，总有g（2x）﹣x≤0，求m的取值范围．
【分析】（I）函数f（x）的定义域为R，即mx2﹣2mx+1＞0在R上恒成立．对m分类讨论：当m＝0时，当m≠0时，即可得出．
（II）函数g（x）＝f（x）﹣2log4x＝f（x）﹣log2x，g（2x）＝f（2x）﹣2x＝﹣2x．对任意x∈[0，1]，总有g（2x）﹣x≤0，⇔≤2x＝，在x∈[0，1]上恒成立⇔在x∈[0，1]上恒成立（*）设t＝2x，则t∈[1，2]，t2﹣2t≤0（当且仅当t＝2时取等号）．（*）⇔，在t∈[1，2]上恒成立（**），对t分类讨论，进而得出结论．
【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为R，即mx2﹣2mx+1＞0在R上恒成立．
当m＝0时，1＞0恒成立，符合题意．
当m≠0时，必有，解得0＜m＜1．
综上可得：m的取值范围是[0，1）．
（II）函数g（x）＝f（x）﹣2log4x＝f（x）﹣log2x，
∴g（2x）＝f（2x）﹣2x＝﹣2x，
对任意x∈[0，1]，总有g（2x）﹣x≤0，⇔≤2x＝，
在x∈[0，1]上恒成立．
⇔在x∈[0，1]上恒成立（*）
设t＝2x，则t∈[1，2]，t2﹣2t≤0（当且仅当t＝2时取等号）．
（*）⇔，在t∈[1，2]上恒成立（**）
当t＝2时，（**）显然成立．
当t∈[1，2）时，，⇔在t∈[1，2）上恒成立．
令u（t）＝﹣，t∈[1，2），只需m＜u（t）min．
u（t）＝﹣在区间[1，2）上单调递增．
∴m＜u（t）min＝u（1）＝1．
令h（t）＝，t∈[1，2），只需m≥h（t）max．
而t2﹣1≥0，t2﹣2t＜0，且h（1）＝0．
∴≤0，故m≥0．
综上可得m的取值范围时[0，1）．