2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（文科）

这是一份2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（文科），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）sin750°的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝tanx C．y＝x3 D．
3．（5分）在菱形ABCD中，下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知sin（π+θ）＜0，cos（π﹣θ）＜0，则角θ所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）设α∈（0，），若sinα＝，则cos（α+）等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（　　）
A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32
C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3
7．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
8．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间为（　　）
A．（﹣1，0） B． C． D．（1，2）
9．（5分）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）若△ABC是边长为1的等边三角形，向量，有下列命题：①；②与垂直；③；④．其中正确的命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（5分）已知，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上图象关于y轴对称，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2020）+f（2019）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（3））的值为　 　．
14．（5分）已知，是平面内两个不共线的向量，向量，，若，则实数λ＝　 　．
15．（5分）函数y＝cos2x+sinx的最大值为　 　．
16．（5分）①函数y＝sin2x的单调增区间是，（k∈Z）；
②函数y＝tanx在它的定义域内是增函数；
③函数y＝|cos2x|的周期是π；
④函数是偶函数．
其中正确的是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设集合M＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，N＝{x|1≤x≤3}．
（1）求M∩N；
（2）求M∪（∁RN）．
18．（12分）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
（1）求sinα、cosα、tanα的值；
（2）求的值．
19．（12分）已知sinα＝，cosβ＝，＜α＜π，0＜β＜．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求的值．
20．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值．

22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣ax+6．
（1）若关于x的不等式g（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，求实数a的值；
（2）若对任意的x1∈[1，+∞），x2∈[﹣2，4]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．

2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）sin750°的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：sin750°＝sin（2×360°+30°）＝sin30°＝．
故选：D．
2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝tanx C．y＝x3 D．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．f（x）＝x﹣1是非奇非偶函数，不满足条件．
B．y＝tanx是奇函数，在定义域上函数不是单调函数，不满足条件．
C．y＝x3是奇函数，在定义域上为增函数，满足条件．
D.是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．
故选：C．
3．（5分）在菱形ABCD中，下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用菱形的几何性质以及向量相等的概念进行判断，即可得到答案．
【解答】解：因为ABCD是菱形，则有AB＝CD且AB∥CD，
所以，故选项A，B错误；
又AD＝BC且AD∥BC，
所以，
故选项C错误，选项D正确．
故选：D．

4．（5分）已知sin（π+θ）＜0，cos（π﹣θ）＜0，则角θ所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由sin（π+θ）＝﹣sinθ＜0，cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＜0，知角θ在第一象限．
【解答】解：∵sin（π+θ）＝﹣sinθ＜0，
∴sinθ＞0．
∵cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＜0，
∴cosθ＞0．
∴角θ在第一象限．
故选：A．
5．（5分）设α∈（0，），若sinα＝，则cos（α+）等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】利用同角三角函数基本关系式求出余弦函数值，然后利用两角和的余弦函数化简求解即可．
【解答】解：α∈（0，），sinα＝，可得cosα＝，
cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝＝．
故选：B．
6．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（　　）
A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32
C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，
∴log0.32＜0.32＜20.3，
故选：D．
7．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，
故选：D．
8．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间为（　　）
A．（﹣1，0） B． C． D．（1，2）
【分析】根据函数的解析式求得f（）f（1）＜0，根据函数的零点的判定定理求得函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+2x﹣1，∴f（）＝ln＜0 f（1）＝1＞0，∴f（）f（1）＜0，
故函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间为 ，
故选：C．
9．（5分）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把（cosα﹣sinα）2利用完全平方公式展开后，再利用同角三角函数间的基本关系化简，把sinαcosα的值代入求出（cosα﹣sinα）2的值，由α的范围，得到cosα﹣sinα小于0，开方即可求出cosα﹣sinα的值．
【解答】解：∵sinαcosα＝，
∴（cosα﹣sinα）2＝cos2α﹣2sinαcosα+sin2α＝1﹣2sinαcosα＝，
∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，
则cosα﹣sinα＝﹣．
故选：D．
10．（5分）若△ABC是边长为1的等边三角形，向量，有下列命题：①；②与垂直；③；④．其中正确的命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用正三角形的性质、平面向量的数量积、线性运算判定．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，向量，
①，，正确；
②，因为（）•（）＝＝0，所以与垂直，故正确
③，∵，∴，故③正确，④错；
故选：D．
11．（5分）已知，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合两角和的正切公式可求tanα，然后结合二倍角的正切公式可求．
【解答】解：，
则＝3，
解得，tan，
则tan2α＝＝＝．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上图象关于y轴对称，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2020）+f（2019）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】据条件即可知f（x）为偶函数，并且f（x）在[0，+∞）上是周期为2的周期函数，结合解析式即可求出所求．
【解答】解：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上图象关于y轴对称；
∴f（x）是偶函数；
又x≥0时，f（x+2）＝f（x）；
∴f（x）在[0，+∞）上为周期为2的周期函数；
又x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1）；
∴f（﹣2020）＝f（2020）＝f（0+2×1010）＝f（0）＝0，f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝1；
∴f（﹣2020）+f（2019）＝1．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（3））的值为　　．
【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；
【解答】解：∵函数，3＞1
∴f（3）＝，
∴f（）＝（）2+1＝+1＝，
故答案为；
14．（5分）已知，是平面内两个不共线的向量，向量，，若，则实数λ＝　﹣2　．
【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求出λ的值．
【解答】解：由，是不共线的向量，向量，，
若，则2λ﹣（﹣4）×1＝0，
解得λ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（5分）函数y＝cos2x+sinx的最大值为　　．
【分析】利用二倍角公式化简函数，根据正弦函数的有界性与二次函数的图象与性质即可求出函数y的最大值．
【解答】解：y＝cos 2x+sin x
＝﹣2sin2x+sin x+1，
设t＝sin x，则﹣1≤t≤1，
所以原函数可以化为
y＝﹣2t2+t+1
＝﹣2（t﹣）2+，
所以当t＝时，函数y取得最大值为．
故答案为：．
16．（5分）①函数y＝sin2x的单调增区间是，（k∈Z）；
②函数y＝tanx在它的定义域内是增函数；
③函数y＝|cos2x|的周期是π；
④函数是偶函数．
其中正确的是　①④　．
【分析】利用整体代换的思想和正弦函数的单调性即可判断选项①，利用正切函数的单调性即可判断选项②，利用周期函数的定义即可判断选项③，利用诱导公式以及偶函数的定义即可判断选项④．
【解答】解：令，解得（k∈Z），
所以函数y＝sin2x的单调增区间是，（k∈Z），故选项①正确；
函数y＝tanx在它的定义域内不具有单调性，故选项②错误；
因为，所以函数y＝|cos2x|的周期是，故选项③错误；
因为函数＝cosx，所以函数是偶函数，故选项④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设集合M＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，N＝{x|1≤x≤3}．
（1）求M∩N；
（2）求M∪（∁RN）．
【分析】（1）可求出集合M，然后进行交集的运算即可；
（2）进行补集和并集的运算即可．
【解答】解：（1）∵M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，
∴M∩N＝{x|1≤x＜2}；
（2）∁RN＝{x|x＜1或x＞3}，
∴M∪（∁RN）＝{x|x＜2或x＞3}．
18．（12分）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
（1）求sinα、cosα、tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．结合三角函数的定义即可得到sinα、cosα、tanα的值；
（2）依据三角函数的诱导公式化简即可：＝，最后利用第（1）小问的结论得出答案．
【解答】解：（1）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
∴x＝＝，r＝1，
∴sinα＝；cosα＝；tanα＝；（6分）
（2）＝＝．（14分）
19．（12分）已知sinα＝，cosβ＝，＜α＜π，0＜β＜．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用同角三角函数函数关系，结合两角和差的正弦公式进行求解．
（2）利用三角函数的倍角公式进行求解，然后利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．
【解答】解：（1）∵sinα＝，cosβ＝，＜α＜π，0＜β＜．
∴cosα＝﹣，sinβ＝，
则sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×﹣＝．
（2）sin2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝，
则＝sin2α×+cos2α×＝＝．
20．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行转化求解即可．
（2）根据三角函数的周期性和单调性进行转化求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），
则f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2×＝．
（2）周期T＝＝π；由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即单调增区间为：．
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值．

【分析】（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，求出f（x）的对称轴方程；
（2）求出x∈[﹣，]时2x+的取值范围，再求f（x）的最大与最小值和取得最值时x的值．
【解答】解：（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，
A＝2，＝﹣（﹣）＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2；
又f（）＝2sin（2×+φ）＝2，
所以sin（+φ）＝1，
解得+φ＝+2kπ，k∈Z；
所以φ＝+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜，所以φ＝；
所以f（x）＝2sin（2x+），
令2x+＝+kπ，k∈Z；
解得x＝+，k∈Z，
所以函数f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z；
（2）x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]；
令2x+＝，解得x＝，
所以x＝时，f（x）取得最大值为2；
令2x+＝﹣，解得x＝﹣，
所以x＝﹣时，f（x）取得最小值为﹣1．
22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣ax+6．
（1）若关于x的不等式g（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，求实数a的值；
（2）若对任意的x1∈[1，+∞），x2∈[﹣2，4]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意可得2，3是方程x2﹣ax+6＝0的两根，运用韦达定理可得a的值；
（2）由f（x）的单调性求得f（x）的最大值﹣1，由题意可得x2﹣ax+6≥﹣1在x∈[﹣2，4]恒成立，再求出a的取值范围．
【解答】解：（1）若关于x的不等式g（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
可得2，3是方程x2﹣ax+6＝0的两根，
则2+3＝a，解得a＝5；
（2）由f（x）＝log（x2+1）在[1，+∞）上为减函数，
可得f（x）的最大值为f（1）＝﹣1，
由题意可得x2﹣ax+6≥﹣1在x∈[﹣2，4]恒成立，
当x＝0时，6≥﹣1显然成立；
当0＜x≤4时，a≤x+恒成立，
由y＝x+≥2，当且仅当x＝∈（0，4]时，取得等号，则a≤2；
当﹣2≤x＜0时，a≥x+恒成立，
由y＝x+在[﹣2，0）递减，可得x＝﹣2时，y＝x+取得最大值﹣，则a≥﹣，
所以a的取值范围是[﹣，2]．