2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{a﹣2，2}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝（　　）
A．{0，1，2} B．{1} C．{0，1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a3＞b3，且ab＜0，则
D．若a2＞b2，且ab＞0，则
3．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣4的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
4．（5分）已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则α为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）条件．
A．必要不充分 B．充分不必要
C．既不充分也不必要 D．充要
6．（5分）设a＝log2，b＝（）0.2，c＝3，则（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
7．（5分）已知扇形OAB的圆心角为4rad，面积为8，则该扇形的周长为（　　）
A．12 B．10 C． D．
8．（5分）函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知tanα＝2，则sin2α+sinαcosα的值为（　　）
A． B．1 C． D．
10．（5分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]
12．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．“a+1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件
B．若集合A＝{x|ax2+ax+1＝0}中只有一个元素，则a＝4或a＝0
C．已知p：，则
D．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）函数，则f（﹣1）＝　 　．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝kxa的图象经过点（16，4），则k﹣a的值为　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝对任意不相等的实数x1，x2，都有＜0，则a的取值范围为　 　．
16．（5分）函数的值域是　 　，单调递增区间是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4）．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）的值．
18．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的值域．
19．（12分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
20．（12分）已知函数，且f（1）＝5．
（1）证明函数f（x）在（2，+∞）上是增函数．
（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．
21．（12分）已知函数f（x）＝loga（1﹣x）﹣loga（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求满足不等式f（x）＜0的x的取值范围．
22．（12分）函数．
（1）解不等式f（x）＜1；
（2）若方程有实数解，求实数m的取值范围．

2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{a﹣2，2}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝（　　）
A．{0，1，2} B．{1} C．{0，1，2，3} D．{1，2}
【分析】根据A∩B＝{1}即可得出B＝{1，2}，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵A∩B＝{1}；
∴1∈B；
∴a﹣2＝1；
∴B＝{1，2}；
∴A∪B＝{0，1，2}．
故选：A．
2．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a3＞b3，且ab＜0，则
D．若a2＞b2，且ab＞0，则
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b显然成立，故A正确；
对于B，若，c＜0，则a＜b，故B错误；
对于C，若a3＞b3，且ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C错误；
对于D，若a2＞b2，且ab＞0，取a＝﹣3，b＝﹣2，则＞，故D错误．
故选：A．
3．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣4的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．
【解答】解：∵f（1）＝e﹣3＜0，f（2）＝e2﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，
∴有一个零点x0∈（1，2）．
又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．
故选：C．
4．（5分）已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则α为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】点P（sinα，tanα）在第二象限，得到，即可得出．
【解答】解：∵点P（sinα，tanα）在第二象限，
∴，
∴α在第三象限．
故选：C．
5．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）条件．
A．必要不充分 B．充分不必要
C．既不充分也不必要 D．充要
【分析】由a＞1⇒a2＞1，而a2＞1不能推出a＞1，则答案可求．
【解答】解：当a∈R时，a＞1⇒a2＞1；而a2＞1不能推出a＞1，也可能a＜﹣1．
∴“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件．
故选：B．
6．（5分）设a＝log2，b＝（）0.2，c＝3，则（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【分析】由，即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵，，，
∴a＜b＜c．
故选：D．
7．（5分）已知扇形OAB的圆心角为4rad，面积为8，则该扇形的周长为（　　）
A．12 B．10 C． D．
【分析】利用已知条件求出扇形的半径，即可得解周长．
【解答】解：设扇形的半径r，扇形OAB的圆心角为4弧度，弧长为：4r，
其面积为8，
可得×4r×r＝8，
解得r＝2．
扇形的周长：2+2+8＝12．
故选：A．
8．（5分）函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由对数函数过定点，得到定点为（4，1），将其代入直线，得到m与n和的形式，再由基本不等式，将其转化为mn最值问题．
【解答】解：由对数型函数过定点，得x﹣3＝1，y＝1，
∴A（4，1），
∴将A代入直线方程得：4m+n＝1，
由基本不等式得：1＝4m+n≥2＝4 （m＞0，n＞0）当且仅当m＝n＝0.2时，等号成立．
即：mn≤，
故选：D．
9．（5分）已知tanα＝2，则sin2α+sinαcosα的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tanα＝2，则sin2α+sinαcosα＝＝＝＝，
故选：A．
10．（5分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由互为余角的两个角的诱导公式，算出＝cos（）＝．再根据互为补角的两角的诱导公式加以计算，可得＝﹣cos（）＝﹣．
【解答】解：∵，
∴，即cos（）＝
又∵（）+（）＝π，
∴＝＝﹣cos（）＝﹣．
故选：B．
11．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]
【分析】令g（x）＝x2﹣ax+3a，则函数g（x）在区间[2，+∞）内单调递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求a的取值范围．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+3a，
∵f（x）＝log0.5（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减
∴函数g（x）在区间[2，+∞）内单调递增，且恒大于0．
a≤2且g（2）＞0，∴a≤4且4+a＞0，∴﹣4＜a≤4．
故选：D．
12．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．“a+1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件
B．若集合A＝{x|ax2+ax+1＝0}中只有一个元素，则a＝4或a＝0
C．已知p：，则
D．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4
【分析】A由充分条件与必要条件概念判断，B由二次函数存在唯一实根条件判断，C由全称命题的否定为特称命题判断，D由集合概念判断．
【解答】解：对于A，“a＞b”⇒“a+1＞b”，反之未必，
如 a＝0.5，b＝1，“a+1＞b”成立，但“a＞b”不成立，所以A对；
对于B，集合A＝{x|ax2+ax+1＝0}中只有一个元素，分类讨论：
当a＝0时，A＝∅，当a≠0则，△＝a2﹣4a＝0⇒a＝4，所以B错；
对于C，根据全称命题的否定为特称命题，
可知p：，否定为或x0＝2，故C不正确；
对于D，M∪N＝M⇔N⊆M，满足条件M∪N＝M的集合的个数为4，所以D对；
故选：AD．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）函数，则f（﹣1）＝　2　．
【分析】由函数的解析式可得 f（﹣1）＝f（﹣1+3）＝f（2）＝f（2+3）＝f（5）＝5﹣3，运算求得结果．
【解答】解：∵函数，则f（﹣1）＝f（﹣1+3）＝f（2）＝f（2+3）＝f（5）＝5﹣3＝2，
故答案为 2．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝kxa的图象经过点（16，4），则k﹣a的值为　　．
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得k、a的值，可得k﹣a的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝kxa的图象经过点（16，4），
∴k＝1，4＝16a，∴a＝，则k﹣a＝，
故答案为：．
15．（5分）已知函数f（x）＝对任意不相等的实数x1，x2，都有＜0，则a的取值范围为　　．
【分析】利用已知条件判断函数的单调性，然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围．
【解答】解：∵对任意不相等的实数x1，x2，都有＜0，∴函数为减函数，
即可得，解得a．
故答案为：．
16．（5分）函数的值域是　　，单调递增区间是　[1，+∞）　．
【分析】求出﹣x2+2x的最大值，然后求解函数的最小值，得到第一问；利用复合函数的单调性求解第二问．
【解答】解：y＝﹣x2+2x的开口向下，函数有最大值，最大值为：y＝1，所以函数的最小值为：，
因为y＝是减函数，函数y＝﹣x2+2x在[1，+∞）上是减函数，
所以函数的单调递增区间是[1，+∞）．
故答案为：，；[1，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4）．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）的值．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα的值．
（2）由条件利用诱导公式，求得的值．
【解答】解：（1）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），
故x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝＝5，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣．
（2）＝＝﹣1+＝﹣1﹣＝﹣．
18．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的值域．
【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝1，求得c＝1．再由f（x+1）﹣f（x）＝2x求得a、b的值，可得f（x）的解析式；
（2）由（1）可得函数f（x）的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设f（x）＝ax2+bx+c，
由f（0）＝1，求得 c＝1．
再由f（x+1）﹣f（x）＝2x，可得2ax+a+b＝2x，
则有2a＝2，且a+b＝0，
解可得a＝1，b＝﹣1，
则f（x）＝x2﹣x+1；
（2）由（1）可得，f（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，
其对称轴为x＝，
在区间[﹣1，1]上，其最小值为f（）＝，
最大值为f（﹣1）＝3；
故函数f（x）在区间[﹣1，1]上的值域为[，3]．
19．（12分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
【分析】（Ⅰ） 解2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得单调递增区间，解2x﹣＝2kπ+可得对称轴方程；
（Ⅱ） 由x的范围可得﹣≤2x﹣≤，可得三角函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（2x﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
由2x﹣＝2kπ+可得x＝kπ+，k∈Z，
∴f（x）的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z；
（Ⅱ）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
∴当2x﹣＝﹣即x＝0时，f（x）的最小值为﹣1，
当2x﹣＝即x＝时，f（x）的最大值为2．
20．（12分）已知函数，且f（1）＝5．
（1）证明函数f（x）在（2，+∞）上是增函数．
（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．
【分析】（1）根据f（1）＝5，求出a的值，求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）证明：f（1）＝1+a＝5，所以a＝4，即，
任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，
，
∵x2﹣x1＞0，x1x2＞4，，，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（2，+∞）上为增函数．
（2）由（1）得：f（x）＝x+，
f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减
∴f（x）在[1，5]上的最小值和最大值为：
，
．
21．（12分）已知函数f（x）＝loga（1﹣x）﹣loga（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求满足不等式f（x）＜0的x的取值范围．
【分析】（1）只需解不等式组即可得出f（x）的定义域；
（2）求f（﹣x）即可得到f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（3）讨论a：a＞1，和0＜a＜1，根据f（x）的定义域及对数函数的单调性即可求得每种情况下原不等式的解．
【解答】解：（1）解得，﹣1＜x＜1；
∴f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）f（﹣x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x）＝﹣f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（3）由f（x）＜0得，loga（1﹣x）＜loga（1+x）；
①若a＞1，则：
；
∴0＜x＜1；
即f（x）＜0的x的取值范围为（0，1）；
②若0＜a＜1，则：
；
∴﹣1＜x＜0；
即f（x）＜0的x的取值范围为（﹣1，0）．
22．（12分）函数．
（1）解不等式f（x）＜1；
（2）若方程有实数解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接利用对数函数的单调性解不等式，注意真数要大于0；
（2）转化为（2x﹣1）2＝m﹣4x 在x＞0上有解；分离参数即m＝﹣2•2x+2•4x+1在x＞0上有解．
【解答】解：（1）等式f（x）＜1即 ＜1；
∴0＜2x﹣1＜2，即1＜2x＜3，
∴0＜x＜log23，
故不等式f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜log23}；
（2）方程有实数解，即即 ＝ 有解；
∵2x﹣1＞0，所以x＞0，且m﹣4x＞0；
所以（2x﹣1）2＝m﹣4x 在x＞0上有解；
即m＝﹣2•2x+2•4x+1在x＞0上有解；
设 2x＝t （t＞1）即 m＝2t2﹣2t+1在t＞1上有解；
当t＞1时，m＝2t2﹣2t+1＞1；
故实数m的取值范围：m＞1．