2020-2021学年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2020-2021学年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷（理科），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}
2．（5分）函数f（x）＝ln|x|的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）不等式（x+1）（4﹣x）≤0的解集为（　　）
A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|x≥4或x≤﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜﹣1}
4．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝（　　）
A． B． C． D．4
5．（5分）函数的定义域为（　　）
A．[1，2] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．R
6．（5分）函数的值域为（　　）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，4] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
7．（5分）函数f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（4，5） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）
8．（5分）已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝（x≠0），则f（）等于（　　）
A．15 B．1 C．3 D．30
9．（5分）已知a＞b，函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）＝loga（x+b）的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
10．（5分）一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为，则两个力的合力的大小为（　　）
A． B．0N C． D．
11．（5分）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）＝x2﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（5分）已知函数，若x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，则实数m的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m的取值范围为　 　．
14．（5分）用符号“∈”或“∉”填空
（1）0　 　N，　 　N，　 　N；
（2）+　 　{x|x＝a+b，a∈Q，b∈Q}．
15．（5分）已知角α的终边与一次函数的函数图象重合，则的值为　 　．
16．（5分）平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足：＝3，＝2，则＝　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
18．（12分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x﹣4＝0}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝（1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y＝f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知定义在区间上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称，当时，函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ），其图象如图．
（1）求函数y＝f（x）在的表达式；
（2）求方程f（x）＝的解．
（3）写出不等式f（x）＞的解集（不需要过程）

21．（12分）对于函数y＝f（x）（x∈D），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内为单调函数；
②存在区间[a，b]∈D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f（x）叫闭函数，若是闭函数，求实数k的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），且f（x）≤0的解集为[1，2]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＞（m﹣1）（x﹣2），（m∈R）；
（3）设，若对于任意的x1，x2∈R都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M，求M的最小值．

2020-2021学年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}
【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁UA）．
则∁UA＝{x|﹣1≤x≤4}，
则B∩（∁UA）＝{x|﹣1≤x≤3}，
故选：D．
2．（5分）函数f（x）＝ln|x|的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出函数的定义域，结合x＞0时的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A，B，
当x＞0时，f（x）＝lnx为增函数，排除D，
故选：C．
3．（5分）不等式（x+1）（4﹣x）≤0的解集为（　　）
A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|x≥4或x≤﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜﹣1}
【分析】不等式化为（x+1）（x﹣4）≥0，求出解集即可．
【解答】解：不等式（x+1）（4﹣x）≤0可化为（x+1）（x﹣4）≥0，
解得x≤﹣1或x≥4；
所以该不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥4}．
故选：B．
4．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝（　　）
A． B． C． D．4
【分析】本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．
【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，
∴＝＝＝＝．
故选：C．
5．（5分）函数的定义域为（　　）
A．[1，2] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．R
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
得，即1≤x≤2，
即函数的定义域为[1，2]，
故选：A．
6．（5分）函数的值域为（　　）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，4] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
【分析】利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可．
【解答】解：设t＝，则t≥0，则x＝1﹣t2，
则函数等价为y＝2（1﹣t2）+4t＝﹣2t2+4t+2，
对称轴为t＝﹣＝1，
则当t＝1时，函数取得最大值y＝﹣2+4+2＝4，
即y≤4，即函数的值域为（﹣∞，4]，
故选：B．
7．（5分）函数f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（4，5） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）
【分析】由函数解析式，判断f（1）f（2）＜0，由零点的存在性定理进行分析求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝x﹣2+log2x，
所以f（1）＝1﹣2+log21＝﹣1＜0，
f（2）＝2﹣2+log22＝1＞0，
所以f（1）f（2）＜0，
由零点的存在性定理可得，函数f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的一个区间是（1，2）．
故选：D．
8．（5分）已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝（x≠0），则f（）等于（　　）
A．15 B．1 C．3 D．30
【分析】可令g（x）＝，得出x的值，再代入可得答案．
【解答】解：令g（x）＝，得1﹣2x＝，解得x＝．
∴f（）＝f[g（）]＝＝＝15．
故选：A．
9．（5分）已知a＞b，函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）＝loga（x+b）的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由a＞b，函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）＝loga（x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案．
【解答】解：由f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．
∴g（x）＝loga（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，
又g（1）＝loga（1+b）＞loga1＝0，可排除C，
故选：B．
10．（5分）一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为，则两个力的合力的大小为（　　）
A． B．0N C． D．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合勾股定理，即可得出答案．
【解答】解：根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
F＝＝＝5N，
故选：C．
11．（5分）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）＝x2﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】当0≤x＜2时，f（x）＝x2﹣x＝0解得x＝0或x＝1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x＝6时的函数值即可．
【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）＝x2﹣x＝0解得x＝0或x＝1，
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）＝0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）＝f（0）＝0，故f（x）＝0在区间[0，6]上解的个数为7，
即函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，
故选：B．
12．（5分）已知函数，若x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，则实数m的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】判断f（x）的定义域为R，它既是奇函数，也是减函数，将原不等式移项，去掉f，结合参数分离和恒成立思想可得所求最大值．
【解答】解：依题意知函数f（x）的定义域为R，它既是奇函数，也是减函数．
所以不等式可化为，
所以，即在（0，+∞）上恒成立．
因为，
所以m的最大值是1．
故选：B．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m的取值范围为　（﹣，0）　．
【分析】令f（x）＝mx2+2（m+3）x+2m+14，然后根据二次函数根的分布问题即可求解．
【解答】解：令f（x）＝mx2+2（m+3）x+2m+14，
由题意可得或，
即或，解得﹣＜m＜0，
故实数m的取值范围为（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
14．（5分）用符号“∈”或“∉”填空
（1）0　∈　N，　∉　N，　∈　N；
（2）+　∈　{x|x＝a+b，a∈Q，b∈Q}．
【分析】（1）直接判出给出的实数是何类型，然后利用集合和元素间的关系填空．
（2）化简+后，可判断+与集合{x|x＝a+b，a∈Q，b∈Q}的关系．
【解答】解：（1）∵0是自然数，
∴0∈N；
∵不是自然数，
∴∉N；
∵＝4是自然数，
∴∈N；
（2）∵（+）2＝2﹣+2++2＝6，
∴+＝＝0+1×，
故+∈{x|x＝a+b，a∈Q，b∈Q}．
故答案为：（1）∈，∉，∈，（2）∈
15．（5分）已知角α的终边与一次函数的函数图象重合，则的值为　﹣　．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的正切值、正弦值、余弦值，可得要求式子的值．
【解答】解：∵角α的终边与一次函数的函数图象重合，
∴tanα＝﹣＝，cosα＜0，sinα＞0，sin2α+cos2α＝1，
∴cosα＝﹣，sinα＝，
则＝﹣﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（5分）平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足：＝3，＝2，则＝　9　．
【分析】用，表示出，，在进行计算．
【解答】解：∵＝3，＝2，
∴，，＝＝．
∴＝＝，＝＝﹣．
∴＝（）•（﹣）＝﹣＝36﹣＝9．
故答案为：9．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
【分析】由题意作出图象，在图形中由直角三角形的知识和勾股定理可得答案．
【解答】解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，
以AC和AD为邻边作平行四边形ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和平行四边形ACED中，（1分）
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°．
∴||＝＝2，（3分）
∴sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°（4分），用时0.5h．（5分）
答：船实际航行速度大小为2km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．（6分）

18．（12分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x﹣4＝0}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．
（2）当a＝0时，方程为﹣3x﹣4＝0，所以集合A＝；当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0没有实数根，则A没有元素，此时．由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个不等的实数根，
∴△＝9+16a＞0，且a≠0，即所求的范围是，且a≠0}；（6分）
（2）当a＝0时，方程为﹣3x﹣4＝0，
∴集合A＝；
当a≠0时，若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时；
若关于x的方程ax2﹣3x﹣4＝0没有实数根，则A没有元素，此时a＜﹣，
综合知此时所求的范围是，或a＝0}．（12分）
19．（12分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝（1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y＝f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出f（1）即f（﹣1）的值即可；
（2）令x＞0，得到﹣x＜0，根据函数的奇偶性求出f（x）的解析式，从而求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为f（lga）＜﹣2，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）f（1）＝f（﹣1）＝﹣2；
（2）令x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝（1+x）﹣x＝f（x），
故x＞0时，f（x）＝（1+x）﹣x，
故f（x）＝；
故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；
（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，
lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，
lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，
故lga＞1或lga＜﹣1，
解得：a＞10或0＜a＜．
20．（12分）已知定义在区间上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称，当时，函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ），其图象如图．
（1）求函数y＝f（x）在的表达式；
（2）求方程f（x）＝的解．
（3）写出不等式f（x）＞的解集（不需要过程）

【分析】（1）当时，由观察图象易得A，T的值，由周期公式可求ω，由点（，1）在函数图象上，结合φ范围可求φ的值，
由函数y＝f（x）的图象关于直线对称得，时，函数f（x）＝﹣sinx，即可得解．
（2）由（1）可得＝，分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
（3）由（1）可得，分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：（1）当时，
函数，
观察图象易得：A＝1，T＝4（）＝，可得：ω＝1，
由点（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）＝1，结合﹣φ范围，可求φ＝，
即函数，
由函数y＝f（x）的图象关于直线对称得，时，函数f（x）＝﹣sinx．
∴．
（2）∵由（1）可得＝，
∴当时，
由得，；
当时，由得，．
∴方程的解集为．
（3）∵由（1）可得，
∴不等式f（x）＞的解集是：{x/﹣＜x＜，}∪{x/＜x＜}．
21．（12分）对于函数y＝f（x）（x∈D），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内为单调函数；
②存在区间[a，b]∈D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f（x）叫闭函数，若是闭函数，求实数k的取值范围．
【分析】根据题意，设f（x）＝k+，分析f（x）的定义域和单调性，结合“闭函数”的定义可得，由此分析，原问题等价于方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0在区间[﹣2，+∞）有两个不等的实根．由二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝k+，其定义域为[﹣2，+∞），
在其定义域上，f（x）为增函数，
若f（x）是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即，即a、b是方程x＝k+的两个根，
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0在区间[﹣2，+∞）有两个不等的实根．
则有，解可得﹣＜k≤﹣2，
即k的取值范围（﹣，2]；
故答案为：（﹣，2]．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），且f（x）≤0的解集为[1，2]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＞（m﹣1）（x﹣2），（m∈R）；
（3）设，若对于任意的x1，x2∈R都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M，求M的最小值．
【分析】本题（1）根据二次函数根与系数的关系即可求解出b、c的值，（2）问分类讨论即可，（3）问可以转化为求g（x）的最值（利用双钩曲线的单调性求）
【解答】解：（1）f（x）≤0的解集为[1，2]
可得1，2是方程x2+bx+c＝0的两根，
则⇒，⇒b＝﹣3，c＝2⇒f（x）＝x2﹣3x+2
（2）f（x）＞（m﹣1）（x﹣2）⇒x2﹣（2+m）x+2m＞0⇒（x﹣m）（x﹣2）＞0
当m＞2时，x∈（﹣∞，2）∪（m，+∞）
当m＝2时，x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）
当m＜2时，x∈（﹣∞，m）∪（2，+∞）
（3），为R上的奇函数

当x＝0时，g（0）＝0
当x＞0时，，则函数g（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且x→+∞时，g（x）→0，在x＝1时，g（x）取得最大值，即；
当x＜0时，，则函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[﹣1，0）上单调递减，且x→﹣∞时，g（x）→0，在x＝﹣1时，g（x）取得最小值，即；
对于任意的x1，x2∈R都有|g（x1）﹣g（x2）|≤M则等价于|g（x）max﹣g（x）min|≤M或（|g（x）min﹣g（x）max|≤M）
则M的最小值为1．