2020-2021学年宁夏中卫市海原一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年宁夏中卫市海原一中高一（上）期末数学试卷，共12页。

2020-2021学年宁夏中卫市海原一中高一（上）期末数学试卷
一．选择题（每题5分，满分60分）
1．（5分）直线3x+2y+6＝0和2x+5y﹣7＝0的交点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，3） D．（3，4）
2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角与在y轴上的截距分别是（　　）
A．45°，1 B．45°，﹣1 C．135°，1 D．135°，﹣1
3．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 B．（x+1）2+（y+1）2＝1
C．（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
4．（5分）如果直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，那么实数a等于（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C． D．
5．（5分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（　　）
A． B．πS C．2πS D．4πS
6．（5分）下列命题中，错误的是（　　）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　）
A．3 B．2 C． D．1
8．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．12π B．8π C． D．
9．（5分）已知两圆x2+y2+4x﹣4y﹣5＝0和x2+y2﹣8x+4y+7＝0位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．内含 D．相切
10．（5分）若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为（　　）
A．60° B．30° C．120°或60° D．150°或30°
11．（5分）在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有（　　）

A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
二．填空题（每题5分，满分20分）
13．（5分）空间中两条直线位置关系有相交、平行和　 　．
14．（5分）圆x2+y2﹣6x＝0的圆心坐标　 　，半径＝　 　．
15．（5分）已知x轴上一点A与点B（5，12）的距离为13，则点A的坐标为　 　．
16．（5分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是　 　cm2．
三．解答题
17．（10分）（1）已知两点A（3，0），B（0，4），求直线AB的一般式方程；
（2）已知两点A（﹣2，0），B（0，4），求线段AB的垂直平分线的斜截式方程．
18．（12分）如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？

19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC．

20．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标分别为：A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求其外接圆的方程．
21．（12分）求过点P（﹣3，﹣），且被圆C：x2+y2＝25截得的弦长等于8的直线方程．
22．（12分）已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．


2020-2021学年宁夏中卫市海原一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题5分，满分60分）
1．（5分）直线3x+2y+6＝0和2x+5y﹣7＝0的交点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，3） D．（3，4）
【分析】直接联立两直线方程组成的方程组求解两直线的交点坐标．
【解答】解：由题意得：
，
解得：，
故选：C．
2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角与在y轴上的截距分别是（　　）
A．45°，1 B．45°，﹣1 C．135°，1 D．135°，﹣1
【分析】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，可得直线的斜率与其在y轴上的截距，利用倾斜角与斜率的关系，可得其倾斜角，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线的方程为x﹣y+1＝0，变形可得y＝x+1，
则其斜率k＝1，倾斜角θ＝45°，
在y轴上的截距为1；
故选：A．
3．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 B．（x+1）2+（y+1）2＝1
C．（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】解：由题意知圆半径r＝，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故选：D．
4．（5分）如果直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，那么实数a等于（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C． D．
【分析】根据它们的斜率相等，可得 ＝3，解方程求a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，
∴它们的斜率相等，∴＝3，∴a＝﹣6．
故选：A．
5．（5分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（　　）
A． B．πS C．2πS D．4πS
【分析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径，代入侧面积公式计算．
【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，
∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，
∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．
故选：B．
6．（5分）下列命题中，错误的是（　　）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
【分析】平行于同一条直线的两个平面平行或相交；
由面面平行的判定定理，可得结论；
由面面平行的性质定理，可得结论；
利用反证法，可得结论．
【解答】解：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即A不正确；
由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即B正确；
由面面平行的性质定理，可得一个平面与两个平行平面相交，交线平行，即C正确；
利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即D正确．
故选：A．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5＝0的距离
【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离，
则由圆的性质可得，，
即．
故选：B．
8．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．12π B．8π C． D．
【分析】由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，由此能求出这个几何体的体积．
【解答】解：由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，
圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，
∴这个几何体的体积：
V＝×2＝．
故选：D．
9．（5分）已知两圆x2+y2+4x﹣4y﹣5＝0和x2+y2﹣8x+4y+7＝0位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．内含 D．相切
【分析】要判断两圆的位置关系，先分别求出两圆的圆心坐标和半径，再求出两圆的圆心距，然后利用圆心距和半径间的位置关系进行判断．
【解答】解：∵由x2+y2+4x﹣4y﹣5＝0，可得（x+2）2+（y﹣2）2＝9，
∴的圆心O1（﹣2，2），半径r1＝3，
∵由x2+y2﹣8x+4y+7＝0，可得（x﹣4）2+（y+2）2＝13，
∴的圆心O2（4，﹣2），半径r2＝，
∴|O1O2|＝＝2，r1+r2＝+3．
∴|O1O2|＞r1+r2，
∴两圆相离．
故选：B．
10．（5分）若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为（　　）
A．60° B．30° C．120°或60° D．150°或30°
【分析】根据线面角的定义可得AB与平面α所成角的余弦值，从而可求AB与平面α所成的角．
【解答】解：根据线面角的定义，可得AB与平面α所成角θ的余弦值为；
且θ∈[0°，90°]，
所以AB与α所成的角为θ＝60°．
故选：A．
11．（5分）在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有（　　）

A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
【分析】由已知：AD⊥BC，AD⊥BD，可以得到 AD与底面BCD垂直，再去寻找AD所在的平面即可．
【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B⇒AD⊥平面BCD，AD⊂平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BCD．
故选：C．
12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选：D．
二．填空题（每题5分，满分20分）
13．（5分）空间中两条直线位置关系有相交、平行和　异面　．
【分析】直接由空间中两直线的位置关系得答案．
【解答】解：由定义可知，空间中两条直线位置关系有相交、平行和异面．
故答案为：异面．
14．（5分）圆x2+y2﹣6x＝0的圆心坐标　（3，0）　，半径＝　3　．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得其圆心和半径．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣6x＝0即（x﹣3）2+y2＝9，
其圆心为（3，0），半径r＝3，
故答案为：（3，0），3．
15．（5分）已知x轴上一点A与点B（5，12）的距离为13，则点A的坐标为　（0，0）或（10，0）　．
【分析】设x轴上点的坐标为（x，0），由两点间距离公式可得x的方程，解方程可得；
【解答】解：设x轴上点的坐标为（x，0），
由两点间距离公式可得＝13，
解得x＝0或x＝10，
∴所求点的坐标为（0，0）或（10，0），
故答案为：（0，0）或（10，0）．
16．（5分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是　12π　cm2．
【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．
【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2 ＝2R，
R＝，S＝4πR2＝12π
故答案为：12π．
三．解答题
17．（10分）（1）已知两点A（3，0），B（0，4），求直线AB的一般式方程；
（2）已知两点A（﹣2，0），B（0，4），求线段AB的垂直平分线的斜截式方程．
【分析】（1）用截距式求出直线AB的方程，再化为一般式．
（2）先求出AB的中点和斜率，可得它的垂直平分线的斜率，再用点斜式求直线AB的垂直平分线的方程．
【解答】解：（1）∵已知两点A（3，0），B（0，4），
∴直线AB的方程为 +＝1，即 4x+3y﹣12＝0．
（2）∵已知两点A（﹣2，0），B（0，4），
∴线段AB的中点为 （﹣1，2），AB的斜率为＝2，
故线段AB平分线的斜截式方程为y﹣2＝﹣（x+1），即y＝﹣x+．
18．（12分）如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？

【分析】设原正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，锯掉的这块的体积是：，由此能求出结果．
【解答】解：设原正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，
锯掉的这块的体积是：＝，
∴锯掉的这块的体积是原正方体的．

19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC．

【分析】利用线面平行的判定定理进行证明．
【解答】解：连结BD交AC于O，则O为BD的中点，
连EO，因为E是DD1的中点，所以EO∥BD1，
又EO⊂面AEC，BD1⊈面AEC，
所以BD1∥平面AEC．

20．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标分别为：A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求其外接圆的方程．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把所给的点的坐标代入，求出D、E、F的值，可得圆的一般方程．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，分别把点（﹣1，5），（5，5）（6，﹣2）代入可得，
解得，故x2+y2﹣4x﹣2y﹣20＝0．
21．（12分）求过点P（﹣3，﹣），且被圆C：x2+y2＝25截得的弦长等于8的直线方程．
【分析】当直线的斜率不存在，即x＝﹣3时，检验符合题意．若直线的斜率存在时，设直线的方程：，由题意可知弦心距为3求得k的值，可得直线的方程，综合可得结论．
【解答】解：若直线的斜率不存在，即x＝﹣3时，
由（﹣3）2+y2＝25解得y1＝4，y2＝﹣4，则弦长|y1﹣y2|＝8，符合题意．
若直线的斜率存在时，设直线的方程：，即．
由题意可知弦心距为，可得 ，解得，
直线方程：3x+4y+15＝0，
综上所述：直线方程是x+3＝0，或3x+4y+15＝0．
22．（12分）已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．

【分析】根据底面是圆，得到BC⊥AC，再根据PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，最后综合即可证明AE⊥平面PBC．
【解答】证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PC∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC．
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE．
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC．