2020-2021学年新疆乌鲁木齐七十中高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年新疆乌鲁木齐七十中高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年新疆乌鲁木齐七十中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（5分）已知向量，，若，则m为（　　）
A． B． C．2 D．4
3．（5分）函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（4，1） B．（3，1） C．（4，0） D．（3，0）
4．（5分）函数f（x）＝2sinxcosx是（　　）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
5．（5分）已知函数，若f（f（0））＝6a，则实数a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（5分）已知向量＝+3，＝5+3，＝﹣3+3，则（　　）
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
7．（5分）设a＝50.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
8．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣2 B．a≥2 C．a≤﹣2或a≥2 D．﹣2≤a≤2
10．（5分）若sin（﹣α）＝，cos（+2α）＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
11．（5分）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
12．（5分）已知函数（ω＞0）的一个对称中心为，且将y＝f（x）的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数．若对任意ω，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）求函数f（x）＝+log2x的定义域为　 　．
14．（5分）已知向量，，且与的夹角为θ，那么cosθ＝　 　．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝　 　．
16．（5分）若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）平面内给定三个向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．
（1）求3；
（2）求满足的实数m、n．
18．（12分）求值：
（1）；
（2）已知2a＝5b＝m，且，求实数m的值．
19．（12分）（1）已知，当时，求f（α）的值．
（2）已知函数，x∈R．求f（x）的单调递增区间．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）若与的夹角为α，求α的取值范围．
21．（12分）若函数y＝f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a，b]为y＝f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+3．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y＝f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

2020-2021学年新疆乌鲁木齐七十中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），
∴A∩B＝{5，7，11}，
∴A∩B中元素的个数为3．
故选：B．
2．（5分）已知向量，，若，则m为（　　）
A． B． C．2 D．4
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得2×（﹣1）＝4m，求出m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
若，则2×（﹣1）＝4m，则m＝﹣，
故选：B．
3．（5分）函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（4，1） B．（3，1） C．（4，0） D．（3，0）
【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象恒过定点的坐标．
【解答】解：对于函数y＝loga（x﹣3）+l（a＞0且a≠1），令x﹣3＝1，求得x＝4，y＝1，
可得它的图象恒过定点P（4，1），
故选：A．
4．（5分）函数f（x）＝2sinxcosx是（　　）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
【分析】本题考查三角函数的性质f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π的奇函数．
【解答】解：∵f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，
∴f（x）为周期为π的奇函数，
故选：C．
5．（5分）已知函数，若f（f（0））＝6a，则实数a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】利用分段函数的解析式，先求出f（0）的值，然后再根据f（f（0））＝6a，求解即可．
【解答】解：f（0）＝2，
所以f（f（0））＝f（2）＝22+2a＝4+2a＝6a，解得a＝1．
故选：A．
6．（5分）已知向量＝+3，＝5+3，＝﹣3+3，则（　　）
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴A、B、D三点共线．
故选：B．
7．（5分）设a＝50.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较大小即可得出．
【解答】解：∵a＝50.4＞1，b＝log0.40.5∈（0，1），c＝log50.4＜0，
则a，b，c的大小关系为：c＜b＜a．
故选：B．
8．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】直接利用函数的图象的平移原则求解即可．
【解答】解：＝，∴为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin2x的图象
向右平移个单位．
故选：D．
9．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣2 B．a≥2 C．a≤﹣2或a≥2 D．﹣2≤a≤2
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴不等式f（a）≥f（﹣2）等价为f（|a|）≥f（2），
即|a|≥2，得a≥2或a≤﹣2．
故选：C．
10．（5分）若sin（﹣α）＝，cos（+2α）＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】通过诱导公式化简所求的表达式，然后通过二倍角公式求解表达式的值即可．
【解答】解：∵sin（﹣α）＝，
∴cos[﹣（﹣α）]＝cos（+α）＝，
∴cos（+2α）＝2cos2（+α）﹣1＝﹣1＝﹣，
故选：D．
11．（5分）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【分析】不等式恒成立化为x2﹣2ax＞﹣（3x+a2）恒成立，即△＜0，从而求出a的取值范围．
【解答】解：不等式恒成立，
即＜恒成立，
即x2﹣2ax＞﹣（3x+a2）恒成立，
即x2﹣（2a﹣3）x+a2＞0恒成立，
∴△＝（2a﹣3）2﹣4a2＜0，
即（2a﹣3+2a）（2a﹣3﹣2a）＜0，
解得a＞；
∴实数a的取值范围是（，+∞）．
故选：B．
12．（5分）已知函数（ω＞0）的一个对称中心为，且将y＝f（x）的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数．若对任意ω，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，三角函数的关系式的求法，函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法求出结果．
【解答】解：由于函数（ω＞0）的一个对称中心为，
所以f（）＝，
整理得（k∈Z）①，
且将y＝f（x）的图象向右平移个单位所得到的函数g（x）＝sinω（x+），
由于该函数g（x）＝sinω（x+）为偶函数，
故（k∈Z）②，
由①﹣②得：ω＝，
对于不等式恒成立，
且函数f（﹣）＝，
所以ω2+m＞m2恒成立，
解得，
当ω＝时，．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）求函数f（x）＝+log2x的定义域为　（0，1）∪（1，2]　．
【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：0＜x≤2且x≠1，
故函数的定义域是（0，1）∪（1，2]，
故答案为：（0，1）∪（1，2]．
14．（5分）已知向量，，且与的夹角为θ，那么cosθ＝　﹣　．
【分析】根据题意，由向量的坐标求出||、||和•，由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
则||＝＝5，||＝＝10，且•＝3×（﹣8）+（﹣4）×6＝﹣48，
则cosθ＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝　　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求b＝4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．
【解答】解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，
∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，
∴＝＝＝，
故答案为：．
16．（5分）若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是　[2，+∞）∪{0}　．
【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：
要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，
则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，
则b≥2或b＝0，
故实数b的取值范围是b≥2或b＝0，
即[2，+∞）∪{0}．
故答案为：[2，+∞）∪{0}．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）平面内给定三个向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．
（1）求3；
（2）求满足的实数m、n．
【分析】（1）（2）利用向量的线性运算法则及向量相等即可得出．
【解答】解：（1）∵，，，
∴＝（9，6）+（﹣1，2）﹣（8，2）＝（0，6）；
（2）∵，
∴（3，2）＝m（﹣1，2）+n（4，1），
∴，解得．
∴．
18．（12分）求值：
（1）；
（2）已知2a＝5b＝m，且，求实数m的值．
【分析】（1）直接利用有理数指数幂及根式的运算性质求解即可；
（2）先利用指数式和对数式的互化，表示出a，b的值，然后利用对数的运算性质求解即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝＝99；
（2）因为2a＝5b＝m，
所以a＝log2m，b＝log5m，
所以，
所以．
19．（12分）（1）已知，当时，求f（α）的值．
（2）已知函数，x∈R．求f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用诱导公式化简，再将代入f（α）中求解即可．
（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，可得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）
＝＝﹣cosα，
所以当时，求f（）＝﹣cos＝．
（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）若与的夹角为α，求α的取值范围．
【分析】（1）利用向量的垂直关系，通过数量积为0，求解即可．
（2）利用向量的数量积求解与的夹角为α的余弦函数值，然后求解范围即可．
【解答】解：（1）∵，∴，∴tanx＝1，
由，所以．
（2）＝，
∵，∴，∴∈，
即，
∵α∈（0，π），∴．
21．（12分）若函数y＝f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为，就称区间[a，b]为y＝f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+3．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．
【分析】（1）运用函数的奇偶性求出g（x）的解析式即可；
（2）利用g（x）在（0，+∞）上的单调性，得到关于a和b的一个方程组，构造一个方程使得a，b恰好是其两个根，求解即可；
（3）根据题意，先分析出a和b同号，然后得到h（x）的解析式，判断出抛物线y＝x2+m与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，由此将问题转化为方程的根的问题进行分析求解即可得到答案．
【解答】解：（1）因为g（x）为R上的奇函数，
∴g（0）＝0，
又当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+3，
所以，当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣（x+3）＝﹣x﹣3，
∴；
（2）设0＜a＜b，
∵g（x）在（0，+∞）上递单调递减，
∴，即a，b是方程的两个不等正根．
∵0＜a＜b，
∴，
∴g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”为[1，2]；
（3）设[a，b]为g（x）的一个“和谐区间”，
则，
∴a，b同号．
当a＜b＜0时，同理可求g（x）在（﹣∞，0）内的“和谐区间”为[﹣2，﹣1]．
∴，
依题意，抛物线y＝x2+m与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此m应当使方程x2+m＝﹣x+3在[1，2]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝﹣x﹣3，在[﹣2，﹣1]内恰有一个实数．
由方程x2+m＝﹣x+3，即x2+x+m﹣3＝0在[1，2]内恰有一根，
令F（x）＝x2+x+m﹣3，则，解得﹣3≤m≤1；
由方程x2+m＝﹣x﹣3，即x2+x+m+3＝0在[﹣2，﹣1]内恰有一根，
令G（x）＝x2+x+m+3，则，解得﹣5≤m≤﹣3．
综上可知，实数m的取值集合为{﹣3}．
22．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y＝f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
【分析】（1）依题意可得，解之即可．
（2）由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，令g（x）＝0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．
【解答】解：（1）因为ω＞0，y＝f（x）＝2sinωx在上单调递增，
∴，解得0＜ω≤．
∴ω的取值范围为（0，]．
（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin2（x+）＝2sin（2x+）的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x+）+1的图象，
令g（x）＝0，求得sin（2x+）＝﹣，
∴2x+＝2kπ+，或 2x+＝2kπ+，k∈z，
求得x＝kπ+ 或x＝kπ+，k∈z，
故函数g（x）的零点为x＝kπ+或x＝kπ+，k∈z
∴相邻两个零点之间的距离为或．
若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b﹣a﹣14π≥．
另一方面，在区间[，14π++]恰有30个零点，
因此b﹣a的最小值为14π+＝．