2020-2021学年河南省商开大联考高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省商开大联考高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省商开大联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，，则A∩B＝（　　）
A．[1，3） B．（1，3] C．（1，+∞） D．[3，+∞）
2．（5分）已知直线l经过原点O（0，0）和两点，则直线l的倾斜角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（　　）
A．6 B．8 C．3 D．1
4．（5分）若圆C1：（x+1）2+y2＝2与圆C2：x2+y2﹣4x+6y+m＝0外切，则实数m＝（　　）
A．8 B．9 C．5 D．6
5．（5分）已知a＝log0.23，b＝log34，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
6．（5分）已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（　　）
A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
7．（5分）已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
8．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（　　）

A． B． C． D．
9．（5分）已知直线x+ay﹣2＝0与圆C：（x﹣a）2+（y+1）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）如图，在矩形ABCD中，，BC＝2，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与AE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
11．（5分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[﹣2，2]都有成立，则不等式f（x+1）+f（1﹣4x）＞0的解集为（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知等腰直角三角形ABC三个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝4，若球O上的点到平面ABC的最大距离为4，则球O的体积为（　　）
A． B． C．18π D．36π
二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分．
13．（5分）在空间直角坐标系中有一点A（2，﹣3.5），若AB关于平面xOy对称，则|AB|＝　 　．
14．（5分）已知直线l1：2x+by+2＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，则直线l1，l2之间的距离为　 　．
15．（5分）函数（a＞0且a≠1）为奇函数，则的最小值为　 　．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2＝1，圆C2：x2+y2＝15，点M（1，1），动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且OA⊥OB，N为线段AB的中点，则|MN|的最小值为　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝（2，4]，C＝[a，a+1]（a∈R）．
（1）求A∪B，A∩（∁UB）；
（2）若A∩C＝C，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知圆M过点A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l：3x+4y﹣b＝0与圆M相交所得的弦长为，求b的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝loga（1+bx）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1，b＞0）为奇函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：AB⊥平面PDE．

21．（12分）设函数f（x）＝4x+1﹣2m•2x﹣3m（m∈R）．
（1）当m＝2时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+2＝0和圆O：x2+y2＝1，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若PA⊥PB，求点P的坐标；
（2）求线段PA长的最小值；
（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年河南省商开大联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，，则A∩B＝（　　）
A．[1，3） B．（1，3] C．（1，+∞） D．[3，+∞）
【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≤3}，
∴A∩B＝（1，3]．
故选：B．
2．（5分）已知直线l经过原点O（0，0）和两点，则直线l的倾斜角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】由已知两点的坐标求得直线l的斜率，在得到倾斜角．
【解答】解：由O（0，0）和两点，
代入斜率公式得斜率，则直线l的倾斜角是60°，
故选：C．
3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（　　）
A．6 B．8 C．3 D．1
【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由分段函数的表达式可得f（﹣2）＝（﹣2）2﹣1＝3，
f（f（﹣2））＝f（3）＝2×3＝6，
即f（f（﹣2））＝6，
故选：A．
4．（5分）若圆C1：（x+1）2+y2＝2与圆C2：x2+y2﹣4x+6y+m＝0外切，则实数m＝（　　）
A．8 B．9 C．5 D．6
【分析】利用两个圆的标准方程，求出圆心和半径，然后利用两圆位置关系列式求解即可．
【解答】解：由题意得C1（﹣1，0），C2（2，﹣3），，，
|C1C2|＝＝3，
根据两圆外切得，
解得m＝5．
故选：C．
5．（5分）已知a＝log0.23，b＝log34，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵a＝log0.23＜0，b＝log34＞1，c＝0.30.2∈（0，1），
∴b＞c＞a．
故选：B．
6．（5分）已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（　　）
A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【分析】在A中：m与α相交、平行或m⊂α；在B中：n与α相交、平行或n⊂α；在C中：m与n相交、平行或异面；由直线与平面垂直的性质得D正确．
【解答】解：由m，n为直线，α为平面，知：
若m⊥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；
若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；
若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确．
故选：D．
7．（5分）已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
【分析】由幂函数的定义与性质，列方程求出a的值，再确定是否满足题意．
【解答】解：由函数是幂函数，
所以a2+a﹣1＝1，解得a＝1或a＝﹣2；
当a＝1时，f（x）＝x﹣4在（0，+∞）上单调递减，满足题意；
当a＝﹣2时，f（x）＝x5在（0，+∞）上单调递增，不满足题意；
所以a＝1．
故选：A．
8．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由三视图得出该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，结合图中数据求出三棱柱的表面积．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，
底面面积为：×2×3＝3，
底面周长为：5+，
故直三棱柱的表面积为：
S＝2×3+4×（5+）＝26．
故选：D．
9．（5分）已知直线x+ay﹣2＝0与圆C：（x﹣a）2+（y+1）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得圆心到直线的距离，再由得到直线的距离公算列式求解a值．
【解答】解：由圆C的半径为2，可得等边△ABC边长为2，
∴圆心C（a，﹣1）到直线x+ay﹣2＝0的距离等于，
即，解得，即．
故选：A．
10．（5分）如图，在矩形ABCD中，，BC＝2，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与AE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BF交AE于点O，取DF的中点G，连接OG，AG，可得∠AOG（或其补角）为异面直线BD与AE所成的角．再由已知求解三角形得答案．
【解答】解：如图，连接BF交AE于点O，取DF的中点G，连接OG，AG，
则OG∥BD且，∴∠AOG（或其补角）为异面直线BD与AE所成的角．
在矩形ABCD中，由，BC＝2，得DF＝FA＝1，，
∴，
∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF＝EF，DF⊥EF，DF⊂平面DCEF，
∴DF⊥平面BAFE，
又BF，AF⊂平面BAFE，∴DF⊥BF，DF⊥FA，得，
∴．
又，∴．
在△AOG中，得sin∠AOG＝．
∴异面直线BD与AE所成角的正弦值为，
故选：D．

11．（5分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[﹣2，2]都有成立，则不等式f（x+1）+f（1﹣4x）＞0的解集为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：由题意，得f（x）是定义在[﹣2，2]上的单调递减函数，
所以﹣2≤x+1≤2且﹣2≤1﹣4x≤2，解得．
又f（x）是奇函数，所以f（x+1）＞﹣f（1﹣4x）＝f（4x﹣1），
所以x+1＜4x﹣1，
解得，所以．
即不等式的解集为．
故选：B．
12．（5分）已知等腰直角三角形ABC三个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝4，若球O上的点到平面ABC的最大距离为4，则球O的体积为（　　）
A． B． C．18π D．36π
【分析】根据题意画出图形，等腰直角三角形ABC三个顶点都在球O的球面上，球O上的点到平面ABC的最大距离为4取AC的中点M，则球心O到平面ABC的距离为OM＝4﹣R，根据勾股定理即可求出球的半径，利用球的体积公式即可求出
【解答】解：如图所示，
等腰直角三角形ABC三个顶点都在球O的球面上，球O上的点到平面ABC的最大距离为4取AC的中点M，
则球心O到平面ABC的距离为OM＝4﹣R，
∵AB＝BC＝4，
∴AM＝2，
∴R2＝AM2+OM2＝8+（4﹣R）2，
解得R＝3，
∴V球＝π×33＝36π，
故选：D．

二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分．
13．（5分）在空间直角坐标系中有一点A（2，﹣3.5），若AB关于平面xOy对称，则|AB|＝　10　．
【分析】先求出点P关于坐标平面的对称点，进而即可求出向量的坐标及模．
【解答】解：因为点B是点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点，
故B（2，﹣3，﹣5），
故．
故答案为：10．
14．（5分）已知直线l1：2x+by+2＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，则直线l1，l2之间的距离为　　．
【分析】根据两直线平行求出b的值，再计算两平行直线间的距离．
【解答】解：直线l1：2x+by+2＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，
则2×（﹣1）﹣2b＝0，解得b＝﹣1，
所以直线l1的方程为2x﹣y+2＝0；
所以直线l1，l2之间的距离为
．
故答案为：．
15．（5分）函数（a＞0且a≠1）为奇函数，则的最小值为　﹣4　．
【分析】由函数g（x）为奇函数可得ab＝1，把转化为关于a的二次函数求最值．
【解答】解：∵g（x）为奇函数，∴g（x）+g（﹣x）＝0，
又，∴ab＝1，
则，当且仅当a＝2时，最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2＝1，圆C2：x2+y2＝15，点M（1，1），动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且OA⊥OB，N为线段AB的中点，则|MN|的最小值为　　．
【分析】利用直角三角形的几何性质得到NO＝2，结合圆的定义可知点N的轨迹是一个圆，利用圆上的点到圆内点的距离的最小值即为半径减去M到圆心（0，0）的距离，求解即可．
【解答】解：由题意可知，ON为Rt△AOB斜边上的中线，
∴，又AB2＝AO2+BO2＝1+15＝16，
∴NO＝2，
∴点N的轨迹是以（0，0）为圆心、半径为2的圆C3．
∵M在圆C3内，
∴MN的最小值即是半径减去M到圆心（0，0）的距离，即．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝（2，4]，C＝[a，a+1]（a∈R）．
（1）求A∪B，A∩（∁UB）；
（2）若A∩C＝C，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用并集定义能求出A∪B，利用补集定义先求出∁UB，再利用交集定义能求出A∩（∁UB）．
（2）由A∩C＝C，得C⊆A，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝（2，4]，
∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜3}∪（2，4]＝{x|﹣1≤x≤4}．
∁UB＝{x|x≤2或x＞4}．
∴A∩（∁UB）＝{x|﹣1≤x≤2}．
（2）∵集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝（2，4]，C＝[a，a+1]（a∈R）．A∩C＝C，
∴C⊆A，
∴，解得﹣1≤a＜2，
∴实数a的取值范围为[﹣1，2）．
18．（12分）已知圆M过点A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l：3x+4y﹣b＝0与圆M相交所得的弦长为，求b的值．
【分析】（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由题设列出D、E、F的方程组，解得D、E、F的值，即可求得圆M的方程；
（2）先由题设和圆中的弦长公式求出圆心M到直线l的距离，再利用点线距离公式得到含b的方程，解出b的值即可．
【解答】解：（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵圆M过A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）三点，
∴，解得：D＝﹣2，E＝﹣4，F＝1，
∴圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4；
（2）由题意可得：圆心（1，2）到直线l的距离为，
故，即|11﹣b|＝5，解得：b＝6或16，
故所求b的值为6或16．
19．（12分）已知函数f（x）＝loga（1+bx）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1，b＞0）为奇函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（x）+f（﹣x）＝0，变形整理可得（1﹣b2）x2＝0，可得b的值，即可得函数的解析式，由此分析可得答案，
（2）根据题意，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，求出f（x）＞0的解集，综合两种情况即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）为奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，
即loga（1+bx）﹣loga（1﹣x）+loga（1﹣bx）﹣loga（1+x）＝0，
化简，得，
整理，得（1﹣b2）x2＝0．
上式对定义域内任意的x均成立，必有1﹣b2＝0．
又b＞0，则b＝1．
此时f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x）．
由得﹣1＜x＜1．
故当b＝1时，f（x）为奇函数，且定义域为（﹣1，1）．
（2）由（1）得，x∈（﹣1，1），
易得f（0）＝loga1＝0．
当0＜a＜1时，f（x）＞0，即．
∵﹣1＜x＜1，∴1﹣x＞0，∴1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0；
当a＞1时，f（x）＞0，即，则．
∵﹣1＜x＜1，∴1﹣x＞0，∴1+x＞1﹣x，
解得0＜x＜1．
综上，当0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（﹣1，0）；当a＞1时，f（x）＞0的解集为（0，1）．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E，F分别为AB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：AB⊥平面PDE．

【分析】（1）取PD的中点H，连接AH，HF，推导出四边形AEFH为平行四边形，从而AH∥EF由此能证明EF∥平面PAD．
（2）连接BD，推导出△ABD为等边三角形，从而DE⊥AB，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AB，由此证明AB⊥平面PDE．
【解答】证明：（1）取PD的中点H，连接AH，HF．
因为H，F分别为PD，PC的中点，所以HF∥DC，．
因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD，AB＝CD．
因为E是AB的中点，所以，AE∥CD，
所以AE∥HF，AE＝HF，则四边形AEFH为平行四边形，
所以AH∥EF．
因为AH⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．
（2）连接BD．
因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠BAD＝60°，
所以△ABD为等边三角形，
因为E是AB的中点，所以DE⊥AB，
因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，
因为PD，DE⊂平面PDE，PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PDE．

21．（12分）设函数f（x）＝4x+1﹣2m•2x﹣3m（m∈R）．
（1）当m＝2时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用换元法将原问题转化为二次函数在给定区间求值域的问题，然后结合二次函数的性质即可求得函数的值域；
（2）利用换元法将原问题转化为二次函数根的分布问题，然后分类讨论确定实数m的取值范围即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝4⋅（2x）2﹣4⋅2x﹣6，
令2x＝t∈（0，+∞），g（t）＝4t2﹣4t﹣6，t∈（0，+∞）．
当时，g（t）min＝﹣7，
所以g（t）的值域为[﹣7，+∞）．
即f（x）的值域为[﹣7，+∞）．
（2）因为f（x）＝4x+1﹣2m⋅2x﹣3m＝4⋅（2x）2﹣2m⋅2x﹣3m，
设t＝2x，则f（x）有且只有一个零点等价于方程4t2﹣2mt﹣3m＝0有且只有一个正实根．
①若4t2﹣2mt﹣3m＝0有一根为0时，则，即m＝0，
则，所以t1＝t2＝0，不合题意，舍去；
②若4t2﹣2mt﹣3m＝0有一正实根和一负实根时，则，即m＞0；
③若4t2﹣2mt﹣3m＝0有两相等正实根时，则，无解．
综上，实数m的取值范围是（0，+∞）．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+2＝0和圆O：x2+y2＝1，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若PA⊥PB，求点P的坐标；
（2）求线段PA长的最小值；
（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设P（x，﹣2﹣x），由已知可得|OP|＝，再由两点间的距离公式列式求解；
（2）由|PA|2＝|PO|2﹣1，可知当线段PO长最小时，线段PA长最小，求出点O到直线l的距离，可得线段PA长的最小值；
（3）设出P点坐标，求出以OP为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，求得AB所在直线方程，再由圆O联立，求得Q的坐标，消参可得Q的轨迹方程，即可得到满足条件的点T的坐标．
【解答】解：（1）若PA⊥PB，则四边形PAOB为正方形，
则P到圆心的距离为．
∵P在直线x+y+2＝0上，设P（x，﹣2﹣x），
则，解得x＝﹣1，
故P（﹣1，﹣1）；
（2）由|PA|2＝|PO|2﹣1，可知当线段PO长最小时，线段PA长最小．
线段PO长的最小值，即点O到直线l的距离，
故，
∴；
（3）设P（x0，﹣x0﹣2），则以OP为直径的圆的方程为，
化简得：，与x2+y2＝1联立，
可得AB所在直线方程为x0x﹣（x0+2）y＝1，
联立，得，
∴Q的坐标为，
可得Q点轨迹为，
圆心，半径．
故存在点，使得线段TQ长为定值．