沪科版 (2019)2.2 匀变速直线运动的规律学案设计

这是一份沪科版 (2019)2.2 匀变速直线运动的规律学案设计，共10页。

一、速度与位移的关系
1．公式：vt2－v02＝2as.
2．推导：由速度公式vt＝v0＋at，位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得vt2－v02＝2as.
二、初速度为零的匀加速直线运动
1．v0＝0的匀加速直线运动vt与t关系vt＝at.
2．v0＝0的匀加速直线运动s与t关系s＝eq \f(1,2)at2.
3．v0＝0的匀加速直线运动s与vt关系vt2＝2as.
1．判断下列说法的正误．
(1) vt2－v02＝2as适用于任意运动．( × )
(2)因为vt2－v02＝2as，则vt2＝v02＋2as，所以物体的末速度一定大于初速度．( × )
(3) vt2－v02＝2as中vt、v0、a、s始终取正值．( × )
(4)初速度为零的匀加速直线运动vt与t成正比．( √ )
2．一辆汽车从静止开始启动，加速度为a＝2 m/s2，当速度达到20 m/s时汽车前进的距离为________ m.
答案 100
一、匀变速直线运动的速度与位移的关系
导学探究 如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？请用两种方法作答，哪种方法较简单．
答案 方法一 由vt＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间t＝eq \f(vt,a).
所以飞机起飞通过的位移为s＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(vt2,2a).
方法二 由vt2－v02＝2as得s＝eq \f(vt2,2a)
方法二较简单．
知识深化
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．正方向的选取：公式中v0、vt、a、s都有方向，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)s＞0，位移的方向与初速度方向相同，s＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)vt＞0，速度的方向与初速度方向相同，vt＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、vt、a、s中已知三个量可求第四个量．
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)列车通过隧道所用的时间．
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)s＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
vt＝12 m/s，由vt2－v02＝2as得
加速度a＝eq \f(vt2－v02,2s)＝0.02 m/s2.
(2)由vt＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(vt－v0,a)＝100 s.
针对训练 (2020·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是10 m，假设汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2，则汽车开始刹车时的速度为( )
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案 B
解析 根据匀变速直线运动的速度位移关系式得0－v02＝2as，解得汽车开始刹车时的速度v0＝eq \r(－2as)＝eq \r(－2×－5×10) m/s＝10 m/s，故B正确．
二、初速度为零的匀加速直线运动
导学探究 一个物体由静止开始做匀加速直线运动，试利用所学知识推导出以下比例关系．
(1)第1 s末，第2 s末，第3 s末的速度之比；
(2)前1 s内，前2 s内，前3 s内的位移之比；
(3)第1 s内，第2 s内，第3 s内的位移之比．
答案 (1)v0＝0，则速度与时间关系为vt＝at，即vt与t成正比，所以v1∶v2∶v3＝1∶2∶3.
(2)前1 s内位移s1＝eq \f(1,2)a·(1 s)2，
前2 s内位移s2＝eq \f(1,2)a·(2 s)2，
前3 s内位移s3＝eq \f(1,2)a·(3 s)2.
所以s1∶s2∶s3＝1∶4∶9.
(3)第1 s内位移Δs1＝s2－s1，
同理：第2 s内位移Δs2＝s3－s2，第3 s内位移Δs3＝s4－s3，
所以Δs1∶Δs2∶Δs3＝1∶3∶5.
知识深化
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为s)的比例式
(1)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(2)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
(多选)一物体由静止开始做匀加速直线运动，第4 s内的位移是14 m，下列说法正确的是( )
A．第5 s内的位移为18 m
B．前4 s内的位移为32 m
C．物体加速度为4 m/s2
D．物体前2 s内的平均速度为2 m/s
答案 ABC
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动，s1∶s2∶s3∶s4∶s5＝1∶3∶5∶7∶9，s5＝eq \f(9,7)s4＝18 m，A正确；s1＝eq \f(1,7)s4＝2 m，又s1＝eq \f(1,2)at12，则a＝4 m/s2，C正确；同理，s2＝6 m，s3＝10 m，前4 s内位移s＝s1＋s2＋s3＋s4＝32 m，
B正确；物体前2 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(s1＋s2,t2)＝eq \f(2＋6,2) m/s＝4 m/s，D错误．
(多选)(2020·广安市高一上期末)水球可以挡住高速运动的子弹．实验证实：如图1所示，用极薄的塑料膜片制成的三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用，子弹视为质点)( )
图1
A．子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1
B．子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1
C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3).则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故B正确，A错误．
1.(速度与位移关系的应用)如图2所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使战机具有的初速度为( )
图2
A．10 m/s B．20 m/s C．30 m/s D．40 m/s
答案 D
解析 根据公式vt2－v02＝2as，解得v0＝eq \r(vt2－2as)＝eq \r(502－2×4.5×100) m/s＝40 m/s，D正确．
2.(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系)(多选)(2021·扬州中学月考)如图3所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )
图3
A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
D．下滑全程的平均速度eq \x\t(v)＝vB
答案 ACD
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动．由vt2＝2as得vt∝eq \r(s)，A正确；通过各段所用时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，故B错误；由vt＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，C正确；eq \x\t(v)＝eq \f(4s,tE)，vB＝eq \f(2s,tB)，且tE＝2tB，故eq \x\t(v)＝vB，D正确．
3．(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系)做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
答案 B
解析 物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为s1∶s2∶s3∶s4＝1∶3∶5∶7，所以由eq \f(14 m,7)＝eq \f(s1,1)得，所求位移s1＝2 m.
4．(速度与位移关系的应用)一列以60 m/s的速度匀速行驶的火车，由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，从关闭发动机开始到速度减为20 m/s时共前进3 200 m．求：
(1)火车减速时加速度的大小；
(2)火车继续减速到停止还要走多远的距离？
答案 (1)0.5 m/s2 (2)400 m
解析 (1)设火车减速时的加速度为a，则对火车速度从60 m/s减为20 m/s的过程，有
a＝eq \f(vt2－v02,2s1)＝－0.5 m/s2
则火车减速时的加速度大小为0.5 m/s2.
(2)设火车继续减速s2的距离后停下
则0－vt2＝2as2，s2＝eq \f(0－vt2,2a)＝400 m.
考点一 匀变速直线运动的速度与位移关系
1．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s2的加速度刹车时，其刹车距离为( )
A．40 m B．20 m C．100 m D．4 m
答案 A
解析 已知v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，vt＝0，
由vt2－v02＝2as得刹车距离s＝eq \f(－v02,2a)＝eq \f(－202,2×－5) m＝40 m．A正确．
2．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1
答案 B
解析 因两小车的末速度均为0，由vt2－v02＝2as得
eq \f(s1,s2)＝eq \f(v012,v022)＝eq \f(1,4)，选项B正确．
3．如图1所示，一辆以8 m/s的速度沿直线匀速行驶的汽车突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶了18 m时的速度为( )
图1
A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s
答案 C
解析 由vt2－v02＝2as得vt＝eq \r(v02＋2as)＝10 m/s.
4．在全国铁路第六次大提速后，列车的最高速度可达到250 km/h.若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经过路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m处出现特殊情况，为避免危险发生，列车至少应以多大加速度刹车( )
A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.4 m/s2
答案 C
解析 列车从刹车开始到停止运动滑行位移为s＝900 m，
则v0＝216 km/h＝60 m/s，vt＝0
取列车前进方向为正方向，
由关系式vt2－v02＝2as得：a＝－2 m/s2
即列车的加速度大小至少应为2 m/s2，故选项C正确．
考点二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
5．一质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
答案 C
解析 初速度为0的匀加速直线运动，第1个T，第2个T，第3个T，……，第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以sOA∶sAB∶sBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确．
6．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
答案 A
解析 由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比s1∶s2∶s3＝1∶3∶5，而平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确．
7．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1秒内与第2秒内位移大小之比为s1∶s2，在通过第1米时与通过第2米时的速度大小之比为v1∶v2，则( )
A．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
C．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
答案 B
解析 质点从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等的时间内的位移之比s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以s1∶s2＝1∶3；由vt2＝2as得v1∶v2＝1∶eq \r(2).
8．一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为vt，那么，当他的速度是eq \f(vt,2)时，下滑的距离是( )
A.eq \f(l,2) B.eq \f(\r(2)l,2)
C.eq \f(l,4) D.eq \f(3l,4)
答案 C
解析 由vt2－v02＝2as知vt2＝2al，得l＝eq \f(vt2,2a)；当速度为eq \f(vt,2)时有(eq \f(vt,2))2＝2al1，得l1＝eq \f(l,4)，C正确．
9.如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后，又匀减速地在水平面上滑过s2后停下，测得s2＝2s1，物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度大小a1与在水平面上的加速度大小a2的关系为( )
图2
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝eq \f(1,2)a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为vt，对于匀加速直线运动阶段有：vt2＝2a1s1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有vt2＝2a2s2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(s2,s1)＝2，即a1＝2a2.
10.如图3所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图3
A.eq \f(2v1＋v2,3) B.eq \r(\f(2v12＋v22,3))
C.eq \r(\f(v12＋v22,3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹在木块中运动时加速度的大小为a，子弹穿出A时的速度为vt，子弹在A中运动的过程中，有vt2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－vt2＝－2a·2L，两式联立可得vt＝eq \r(\f(2v12＋v22,3))，故选B.
11．(多选)如图4所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是( )
图4
A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)
C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶eq \r(2)
D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(eq \r(2)＋1)∶1
答案 BD
解析 方法一 根据匀变速直线运动的速度位移公式：vt2＝2as，解得：vt＝eq \r(2as)，因为经过AB、AC的位移之比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度均为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移公式：有L＝eq \f(1,2)at12和2L＝eq \f(1,2)a(t1＋t2)2，联立可得：eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(2)＋1,1)，故D正确，C错误．
方法二 比例关系：
初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)＝(eq \r(2)＋1)∶1，D正确，C错误；通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移时的瞬时速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)，所以滑块到达B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)，A错误，B正确．
12．目前我国动车组在广泛使用．假设动车轨道为直线，动车制动时的加速度大小为1 m/s2.
(1)如果动车司机发现前方450 m处有故障车停车，要使动车不发生追尾，则动车运行速度不能超过多少？(不考虑反应时间)
(2)如果动车运行的速度为252 km/h，当动车司机前方2 464 m处有故障车停车，经反应后制动减速，为了确保列车不发生追尾，问动车司机反应时间不得超过多少？
答案 (1)30 m/s (2)0.2 s
解析 (1)动车减速的加速度a＝－1 m/s2，－v02＝2as，
解得v0＝30 m/s
(2)v＝252 km/h＝70 m/s
设反应时间为t，反应时间内位移为s1，减速位移为s2
s′＝s1＋s2＝2 464 m
s1＝vt
－v2＝2as2
解得t＝0.2 s.