数学八年级上册3.1 勾股定理精品随堂练习题

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3.1勾股定理同步练习苏科版初中数学八年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在上的处，则折痕的长是

A.
B.
C.  
D.

2. 在直角三角形中，若勾为，股为，则弦为

A.  B.  C.  D.

3. 三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为

A.
B.
C.
D.

4. 若直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，，，于，则的长是

A.
B.
C.
D.

6. 在中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是

A.
B.
C.
D.

8. 在直角三角形中，若两条边的长分别是、，则第三边的长为　　

A.  B.
C. 或 D. 或

9. 如图，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板最长边的长是
    

A.  B.  C.  D.

10. 在中，为斜边的中点，且，则线段的长是

A.  B.  C.  D.

11. 若直角三角形的两条直角边长分别为、，则以斜边为边长的正方形的面积为   

A.  B.  C. 或 D.

12. 如图，直线上有三个正方形，，，若，面积分别为和，的面积为    

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 直角三角形的两边为和，则该三角形的面积为______．
14. 如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为______．
    
    
     

15. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分面积是______平方单位．

16. 如图，在中，已知，，点在斜边上，连接，将沿着对折，点的对称点为点当点落在的一边上时，______．
17. 如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是利用网格线进行画图，别忘了标上字母噢
    
    在图中，画一个顶点为格点、面积为的正方形；
    在图中，已知线段、，画线段，使它与、组成轴对称图形；要求画出所有符合题意的线段
    在图中，找一格点，满足：到、的距离相等；到点、的距离相等．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
    画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
    假设图中的直角三角形有若干个，你能运用图中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图无需证明

20. 如图，在四边形中，，，，求的长．
    
    
     

21. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
    概念理解：如图，在中，，作出的共边直角三角形画一个就行；
    问题探究：如图，在中，，，，与是共边直角三角形，连结当时，求的长．
    拓展延伸：如图所示，和是共边直角三角形，，求证：平分．

22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．
    
    在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形．

在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、，
求此三角形最长边上的高．






 

23. 一副直角三角板如图放置，，，，
    求的长；
    求的长．

24. 如图，中，，，是边上一点，且，若求的长．
    
     

25. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”在中，，，若是“美丽三角形”，求的长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，
，
将沿折叠，使点恰好落在上的处，
，，，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
 

2.【答案】
 

【解析】解：在直角三角形中，勾为，股为，
弦为．
故选：．
直接根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得，，
即面积为的正方形的边长，
故选：．
根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：，
可得这个直角三角形的面积为：．
故选：．
根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．
本题考查了勾股定理和直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
解得．
故选C．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积公式计算出的长即可．
此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

6.【答案】
 

【解析】解：两个正方形的面积为和，
，
则负值舍去，
故选：．
根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，

由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
故选：．
根据勾股定理分别求出、的面积，再根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题要分两种情况当和为两个直角边长时；当是斜边长时．
【解答】
解：当和为两个直角边长时，第三边的长为：；
当是斜边长时，第三边的长为．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】解：过点作，

，
在直角三角形中，
，
，
又三角板是有角的三角板，
，
，
，
故选：．
过点作，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，可求出有角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
此题考查的知识点是含角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理有关知识，根据勾股定理列式求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】

解：，， 
， 
为斜边的中点， 
．
故选C．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理和正方形的面积，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理计算即可求得斜边的长，然后再求得以斜边为边长的正方形的面积．
【解答】
解：由勾股定理得，斜边长，
所以以斜边为边长的正方形的面积，
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
根据已知及全等三角形的判定可得到≌，从而得到的面积的面积的面积．
【解答】

解：如图，

图形，，都是正方形，

，，

，

，
又，，

≌，
．
在中，由勾股定理，
得，
，
即，
故选：．

13.【答案】或
 

【解析】解：若边长为的边和边长为的边有一条为斜边，，边长为的边是斜边，
，若边长为的边是直角边，则该三角形面积为，
，若边长为的边是斜边，则该三角形另一条直角边为，
该三角形的面积为，
故答案为或．
题目中没有明确指出边长为的边是直角边还是斜边，所以要分类讨论边长为的边是直角边；边长为的边是斜边．
本题考查了分类讨论思想，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中讨论边长为的边是直角边还是斜边是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】
解：由勾股定理得，，
正方形的面积，
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：在中，根据勾股定理，得
，
因为图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
所以阴影部分的面积为．
故答案为．
根据勾股定理先求得，再根据勾股定理可得阴影部分的两个正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即阴影部分的面积等于斜边的平方即可．
本题考查了勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：如图，点在上，

，，，
，
将沿着对折，
，，
，
，
，
；
如图，点在上，过点作，，

，，
四边形是矩形，
将沿着对折，
，，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的值为：或．
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，考查三角形面积公式，折叠的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由图形可知，，边上的高为，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，，
故答案为：．
根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

18.【答案】解：如图所示：
如图所示：
如图所示：即为所求．
．
 

【解析】根据题意得出正方形的边长为，再利用勾股定理得出答案；
利用轴对称图形的性质得出即可；
利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出即可．
此题主要考查了轴对称变换以及勾股定理和角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质等知识，正确把握相关定义是解题关键．
 

19.【答案】解解：如图所示，是梯形；

由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积．
从上图我们还发现梯形的面积三个三角形的面积，即．
两者列成等式化简即可得：；

画边长为的正方形，如图，其中、为直角边，为斜边．

 

【解析】此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为，，高为；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
 

20.【答案】解：连接，

．

．

．
，
．
．
 

【解析】连接，首先由勾股定理求得的值；然后在直角中，再次利用勾股定理来求的长度即可．
考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

21.【答案】解：作出的共边直角三角形如图所示即为所求作的三角形；
取的中点，连接、，
由勾股定理得，，
，点为的中点，
，，
，又，
，
，，
，即，
解得，，
；
证明：分别延长、交于点，
，
，
，，
，
，
，又，
，又，
平分．
 

【解析】根据共边直角三角形的概念作图；
取的中点，连接、，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式求出，结合图形计算得到答案；
分别延长、交于点，证明，根据等腰三角形的性质证明．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、掌握等腰三角形的三线合一、勾股定理的应用是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示，正方形即为所求；如图所示，三角形即为所求；

，
，
边上的高．
 

【解析】此题考查格点作图，勾股定理，面积法求三角形的高，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．
面积为的正方形的边长为，画出正方形即可；
以直角边为和构造斜边为，再以和为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为、、；
利用面积法求出最长边的高即可．
 

23.【答案】解：，，，
；
，，
，
，
．
 

【解析】根据含角的直角三角形的性质即可得到结论；
根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，含角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点作于点，如图所示．
，，
，．
，
，
．
在中，，
，即，
，
．
又，
，
．
 

【解析】过点作于点，则，，结合可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，即，结合可求出的长．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在中，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
 

25.【答案】解：当边上的中线等于时，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
；
当边上的中线等于时，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得，
答：的长是或．
 

【解析】根据美丽三角形的定义，三角形的中线可能是边上的中线，也可能是边上的中线，分别根据勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理，体现了分类讨论的数学思想，掌握勾股定理是解题的关键，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．