备战2022 中考数学 人教版 第十八讲 平行四边形练习题

第十八讲　平行四边形

平行四边形的定义及性质

1．定义：两组对边分别__平行__的四边形．

2．性质：

如图：

3．两条平行线之间的距离

(1)定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)性质：两条平行线之间的距离处处相等．

1．对角线分全等三角形：平行四边形的一条对角线将原平行四边形分为两个全等的三角形，两条对角线将原平行四边形分为两对全等的三角形．

2．对角线等分面积：任意一条经过对角线交点的直线均平分平行四边形的面积．

1．一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形．(√)

2．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形．(×)

3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(√)

4．四条边相等的四边形是平行四边形．(√)

平行四边形的判定

三角形的中位线

1．三角形的中位线的定义：连接三角形两边__中点__的线段叫做三角形的中位线．

2．三角形的中位线定理：  三角形的中位线__平行__于三角形的第三边，并且等于第三边的__一半__．

1．区分中位线与中线：三角形的中位线不是三角形的中线，前者两个端点都是“中点”，后者只有一个端点是“中点”．

2．区分三种“一半”：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；这两个“一半”都是对于直角三角形而言，都是与斜边有关．

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，这个“一半”对任意三角形均适用．

考点一　平行四边形的性质与判定

【典例1】(2020·岳阳中考)如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.

求证：四边形BEDF是平行四边形．

【思路点拨】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答．

【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BE＝BC，FD＝AD，

∴BE＝DF，

∵DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

【例题变式】(2020·淮安中考)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.

(1)求证：△AOF≌△COE；

(2)连接AE，CF，则四边形AECF__________(填“是”或“不是”)平行四边形．

【思路点拨】(1)由ASA证明△AOF≌△COE；

(2)由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．

【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE(ASA)；

(2)四边形AECF是平行四边形．理由如下：

由(1)得：△AOF≌△COE，

∴FO＝EO，

又∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形．

答案：是

判定一个四边形是否为平行四边形的途径

途径一：从边着眼：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

途径二：从角着眼：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

途径三：从对角线着眼：⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

1．(2020·衡阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(C)

A．AB∥DC，AD∥BC    B．AB＝DC，AD＝BC

C．AB∥DC，AD＝BC    D．OA＝OC，OB＝OD

2．(2021·荆门中考)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝(C)

A．55°    B．65°    C．75°    D．85°

3．(2020·铁岭中考)如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为(0，4)，顶点B，D分别在x轴和直线y＝－3上，则对角线AC的最小值是__11__．

4．(2021·岳阳中考)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.

(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是__________；

(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

【解析】(1)可添加条件AE＝CF.

答案：AE＝CF(答案不唯一)

(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∵AE＝CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

5．(2021·广元中考)如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，AE的延长线和BC的延长线相交于点F.

(1)求证：BC＝CF；

(2)连接AC和BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD＝BC，

∴∠D＝∠FCE；

∵E为DC中点，

∴ED＝EC，

在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE(ASA)，

∴AD＝CF，

∴BC＝CF.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝DC，

∴△ABG∽△CEG，

∴＝，＝，

∵DE＝CE，

∴AB＝2CE，

∴＝2，＝4，

∵△GEC的面积为2，

∴S△BGC＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8，

∴S△ABC＝S△BGC＋S△ABG＝4＋8＝12，

∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝24.

考点二　三角形的中位线

【典例2】(2021·扬州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝__3__．

【思路点拨】由直角三角形的性质得出AB＝10，由三角形中位线定理得出AC＝2DE，由勾股定理求出AC＝6，则可求出答案．

三角形的中位线定理的应用

(1)定理为证明平行关系提供了新的工具，为证明一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径．

(2)遇到一个中点时，要想到构造中位线，利用三角形中位线解决问题．

(3)在应用三角形中位线定理解决问题时，应找出符合条件的基本图形．

1．(2020·宜宾中考)如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝(D)

A．20°　　　B．45°　　　C．65°　　　D．70°

2．(2021·宁波中考)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(C)

A．    B．    C．1    D．

3．(2021·青海中考)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为__20__．

4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，证明：∠BME＝∠CNE.

【证明】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，

∵E，F分别是BC，AD的中点，

∴FH∥BM，FH＝AB，

EH∥CN，EH＝CD，

∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，

∵AB＝CD，∴FH＝EH，

∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE.

人教八年级下册　P44　T1

如图，在▱ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？

【思路点拨】利用平行四边形的对角线互相平分，进而利用△ABC与△DBC的周长关系求出答案．

【自主解答】∵在▱ABCD中，AC＝8，BD＝14，BC＝10，AB＝CD，

∴BO＝DO＝7，AO＝CO＝4，AD＝10，

∴△AOD的周长是：7＋4＋10＝21，

∵△ABC的周长为：AB＋BC＋AC＝AB＋18，

△DBC的周长为：DC＋BC＋BD＝DC＋24，

∴△DBC的周长长，长24－18＝6.

(变换问法)(2020·益阳中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是(D)

A.10    B．8    C．7    D．6

(变换条件)(2020·凉山州中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于__16__．