备战2022 中考数学 人教版 第十讲 一 次 函 数练习题

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第十讲　一 次 函 数

一次函数的图象与性质


1．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
2．|k|的大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大直线与x轴相交所成的锐角越大；|k|越小直线与x轴相交所成的锐角越小．
一次函数图象的平移


1．把y＝2x＋1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是y＝2x＋6(×)
2．把y＝－2x＋3的图象沿y轴向上平移2个单位长度后所得图象的关系式是y＝－2x＋5(√)
3．将函数y＝3x的图象沿x轴向左平移2个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝3x＋2(×)
4．把函数y＝－2x＋3的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是y＝－2x＋7(√)
用待定系数法求一次函数解析式


　求正比例函数的解析式时，应设函数的解析式为y＝kx，再代入除原点以外的任意一点即可．
一次函数与方程(组)、不等式的关系



1．如图，直线y＝kx＋b(b＞0)经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋b≥0的解集是x≥2(×)

2．已知函数y＝ax－3和y＝kx的图象交于点P(2，－1)，则关于x，y的二元一次方程组的解是(√)
用一次函数选择最佳方案的一般步骤
(1)析：分析题意，弄清数量关系；
(2)列：列出函数解析式、不等式或方程；
(3)求：求出自变量取不同值对应的函数值的大小，或函数的最大(小)值；
(4)选：结合实际需要选择最佳方案．

　在选择最佳方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数).

考点一　一次函数的图象和性质
【典例1】(2021·柳州中考)若一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列说法正确的是(B)

A．k＞0
B．b＝2　
C.y随x的增大而增大
D．x＝3时，y＝0
【思路点拨】根据一次函数的性质结合图象即可得出结论．
【例题变式】(变换条件与问法)(2020·济南中考)若m＜－2，则一次函数y＝(m＋1)x＋1－m的图象可能是(D)

【思路点拨】由m＜－2得出m＋1＜0，1－m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．

　一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)和y＝k2x＋b2(k2≠0)
(1)当k1＝k2，b1≠b2时，它们的图象是两条平行的直线；
(2)当k1＝k2，b1＝b2时，它们的图象是两条重合的直线；
(3)当k1≠k2时，它们的图象是两条相交的直线；
(4)当k1·k2＝－1时，它们的图象是两条垂直的直线．
以上结论在做选择、填空时可直接使用．

1．(2021·北部湾经济区中考)函数y＝2x＋1的图象不经过(D)
A．第一象限　 B．第二象限　
C．第三象限 D．第四象限
2．(2021·成都中考)在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P(3，k)在第__一__象限．
3．(2021·眉山中考)一次函数y＝(2a＋3)x＋2的值随x值的增大而减小，则常数a的取值范围是__a＜－__．
4．(2021·自贡中考)当自变量－1≤x≤3时，函数y＝|x－k|(k为常数)的最小值为k＋3，则满足条件的k的值为__－2__．
考点二　一次函数解析式的确定
【典例2】(2021·陕西中考)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1 min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示．

(1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是________m/min.
(2)求AB的函数解析式．
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
【思路点拨】(1)由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可．
(2)先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可．
(3)令(2)中解析式y＝0，求出x即可．
【自主解答】(1)由图象知：“鼠”6 min跑了30 m，
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5(m/min)，
“猫”5 min跑了30 m，
∴“猫”的速度为：30÷5＝6(m/min)，
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1 m/min.
答案：1
(2)设AB的解析式为：y＝kx＋b，
∵图象经过A(7，30)和B(10，18)，
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
解得：
∴AB的解析式为：y＝－4x＋58.
(3)令y＝0，则－4x＋58＝0，∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟1 min出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5－1＝13.5(min).
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.

1．若一次函数解析式中有两个未知系数，代入该函数图象上两个点的坐标即可求出解析式．
2．若一次函数解析式中只有一个未知系数或为正比例函数，只需代入该函数图象上一个点的坐标即可求出解析式．
3．一次函数发生平移时，平移前后k的值不发生变化．

1．(2021·白银中考)将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为(A)
A．y＝5x－2　　　 B．y＝5x＋2　
C．y＝5(x＋2) D．y＝5(x－2)
2. (2021·恩施中考)某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是(C)

A．W＝s　 B．W＝20s
C．W＝8s D．s＝
3．(2021·上海中考)已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过(－1，1)，请写出一个符合条件的函数解析式__y＝－2x(答案不唯一)__．
考点三　一次函数与方程(组)、不等式的关系
【典例3】(2021·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)当x＞－2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围．
【思路点拨】(1)根据平移的规律即可求得．
(2)根据点(－2，－2)结合图象即可求得．
【自主解答】(1)∵函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到y＝x－1，
∴这个一次函数的解析式为y＝x－1.
(2)把x＝－2代入y＝x－1，求得y＝－2，
把点(－2，－2)代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞－2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x－1的值，∴≤m≤1.


利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点横坐标即为一元一次方程的解．

1．(2021·福建中考)如图，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则不等式k(x－1)＋b＞0的解集是(C)

A．x＞－2　 B．x＞－1　
C．x＞0　 D．x＞1
2．(2021·娄底中考)如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋4与x轴分别相交于点A(－4，0)，点B(2，0)，则的解集为(A)

A．－4＜x＜2　 B．x＜－4　　
C．x＞2　　　 D．x＜－4或x＞2
考点四　一次函数的应用
【典例4】(2021·白银中考)如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2所示．
(1)小刚家与学校的距离为________m，小刚骑自行车的速度为________m/min；
(2)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；
(3)小刚出发35分钟时，他离家有多远？


【思路点拨】(1)根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3 000 m，小刚骑自行车的速度为200 m/min.
(2)先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式．
(3)把x＝35代入(2)的结论解答即可．
【自主解答】(1)由题意得，小刚家与学校的距离为3 000 m，
小刚骑自行车的速度为：(5 000－3 000)÷10＝200(m/min).
答案：3 000　200
(2)小刚从图书馆返回家的时间：5 000÷200＝25(min)，
总时间：25＋20＝45(min)，
设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx＋b，把(20，5 000)，(45，0)代入得：
解得
∴y＝－200x＋9 000(20≤x≤45).
(3)小刚出发35分钟时，即当x＝35时，
y＝－200×35＋9 000＝2 000.
答：此时他离家2 000 m．
【典例5】(2021·广安中考)国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
水果单价
甲
乙
进价/(元/千克)
x
x＋4
售价/(元/千克)
20
25
已知用1 200元购进甲种水果的重量与用1 500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求x的值；
(2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
【思路点拨】(1)根据用1 200元购进甲种水果的重量与用1 500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可．
(2)设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果(100－m)千克，利润为y元，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【自主解答】(1)由题意可知：＝，
解得：x＝16.
经检验，x＝16是所列方程的解，所以x的值是16.
(2)设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果(100－m)千克，利润为y元，
由题意可知：
y＝(20－16)m＋(25－16－4)(100－m)＝－m＋500，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3(100－m)，
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y＝－m＋500中，－1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m＝75时，y最大，且为－75＋500＝425(元).
答：购进甲种水果75千克，乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【典例6】(2021·福建中考)某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
(2)经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1 000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
【思路点拨】(1)设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品(100－x)箱，依据该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元，列方程求解即可．
(2)设该公司零售这种农产品m箱，则批发这种农产品(1 000－m)箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
【自主解答】(1)设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品(100－x)箱，依题意得
70x＋40(100－x)＝4 600，
解得：x＝20，
100－20＝80(箱).
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱．
(2)设该公司零售这种农产品m箱，则批发这种农产品(1 000－m)箱，依题意得
m≤1 000×30%，
解得m≤300，
设该公司获得利润为y元，依题意得
y＝70m＋40(1 000－m)，
即y＝30m＋40 000，
∵30＞0，∴y随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，y取得最大值，此时y＝30×300＋40 000＝49 000(元)，
∴批发这种农产品的数量为1 000－m＝700(箱).
答：该公司零售这种农产品300箱，批发这种农产品700箱时，获得最大利润49 000元．

应用一次函数知识解决实际问题常见的两种方法
1．建立函数模型，然后借助方程或不等式或函数图象来解决问题．
2．利用一次函数图象的性质，如增减性等来解决生活中的最优化问题，它常与方程(组)或不等式(组)一起考查．

1．(2021·安徽中考)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为(B)
A．23 cm　　　B．24 cm　　　C．25 cm　　　D．26 cm
2．(2021·武汉中考)一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是(B)

A． h B． h C． h D． h
3．(2021·丽水中考)李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：

(1)直接写出工厂离目的地的路程；
(2)求s关于t的函数表达式；
(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【解析】(1)由图象，得t＝0时，s＝880，
∴工厂离目的地的路程为880千米．
(2)设s＝kt＋b(k≠0)，
将(0，880)和(4，560)代入s＝kt＋b得，
解得：
∴s关于t的函数表达式：s＝－80t＋880(0≤t≤11).
(3)当油箱中剩余油量为10升时，
s＝880－(60－10)÷0.1＝380(千米)，
∴380＝－80t＋880，解得：t＝(小时)，
当油箱中剩余油量为0升时，
s＝880－60÷0.1＝280(千米)，
∴280＝－80t＋880，解得：t＝(小时)，
∵k＝－80＜0，∴s随t的增大而减小，
∴t的取值范围是＜t＜.
4．(2021·温州中考)某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18 000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2 000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【解析】(1)设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得－＝1，
解得a＝20，
经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意．
2a＝40(元).
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元．
(2)①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得解得
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．
②设A为m包，则B为＝2 000－4m(包)，
∵A的数量不低于B的数量，
∴m≥2 000－4m，
∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：
W＝45m＋12(2 000－4m)－18 000－2 000＝－3m＋4 000，
∵k＝－3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝400时，W取得最大值2 800.
答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2 800元．

人教版八年级下册　P100　复习巩固T15
　甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式．
(2)在同一直角坐标系中画出(1)中函数的图象．
(3)春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【思路点拨】(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可．
(2)利用两点法作出函数图象即可．
(3)求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．
【自主解答】(1)甲商场：y＝0.8x，
乙商场：y＝x(0≤x≤200)，
y＝0.7(x－200)＋200＝0.7x＋60，
即y＝0.7x＋60(x＞200).
(2)如图所示：

(3)当0.8x＝0.7x＋60时，x＝600，
所以，x＜600时，甲商场购物更省钱，
x＝600时，甲、乙两商场购物花钱相同，
x＞600时，乙商场购物更省钱．

　(变换条件与问法)(2021·宜昌中考)甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4 kg以上的苹果，超过4 kg的部分按标价6折售卖．
x(单位：kg)表示购买苹果的重量，y(单位：元)表示付款金额．
(1)文文购买3 kg苹果需付款________元；购买5 kg苹果需付款________元．
(2)求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式．
(3)当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10 kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【解析】(1)由题意可知：文文购买3 kg苹果，不优惠，
∴文文购买3 kg苹果需付款：3×10＝30(元)，
购买5 kg苹果，4 kg不优惠，1 kg优惠，
∴购买5 kg苹果需付款：4×10＋1×10×0.6＝46(元).
答案：30　46
(2)由题意得：
当0＜x≤4时，y＝10x，
当x＞4时，y＝4×10＋(x－4)×10×0.6＝6x＋16，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y＝.
(3)文文在甲超市购买10 kg苹果需付费：6×10＋16＝76(元)，
文文在乙超市购买10 kg苹果需付费：10×10×0.8＝80(元)，
∴文文在甲超市购买更划算．

　(变换条件与问法)(2021·河南中考)猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别
A款玩偶
B款玩偶
进货价/(元/个)
40
30
销售价/(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1 100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
(注：利润率＝×100%)
【解析】(1)设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进(30－x)个，
由题意，得40x＋30(30－x)＝1 100，
解得：x＝20.
30－20＝10(个).
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个．
(2)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个，获利y元，
由题意，得y＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)＝a＋450.
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤(30－a)，
∴a≤10，
∵y＝a＋450，
∴k＝1＞0，
∴y随a的增大而增大．
∴a＝10时，y最大＝460.
∴B款玩偶为：30－10＝20(个).
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元．
(3)第一次的利润率＝×100%≈42.7%，
第二次的利润率＝×100%＝46%，
∵46%＞42.7%，
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算．