备战2022 中考数学 人教版 第十一讲 反比例函数练习题

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  第十一讲　反比例函数知识清单·熟掌握反比例函数的图象与性质双曲线不是连续曲线，是两支不同的曲线，所以比较函数值大小时，要注意所判断的点是否在同一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小．考点一　反比例函数的图象和性质【典例1】 (2021·资阳中考)如图，已知直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝相交于A(m，3)，B(3，n)两点．(1)求直线AB的解析式．(2)连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC交x轴于点D，连接AD，求△ABD的面积．【思路点拨】(1)由反比例函数解析式求得A，B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．(2)根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD＋S△COD＝3，根据勾股定理求得CD，BD的长，即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积．【自主解答】(1)∵直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝相交于A(m，3)，B(3，n)两点．∴3m＝3n＝6，∴m＝n＝2，∴A(2，3)，B(3，2)，把A(2，3)，B(3，2)代入y＝kx＋b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.(2)∵AC经过原点O，∴A，C关于原点对称，∵A(2，3)，∴C(－2，－3)，设直线CB的解析式为y＝ax＋c，∴，解得，∴直线BC为y＝x－1，令y＝0，则x＝1，∴D(1，0)，∴S△ACD＝S△AOD＋S△COD＝2××1×3＝3，∵BC＝＝5，BD＝＝2，∴CD＝BC－BD＝3，∴＝，∴S△ABD＝S△ACD＝2.【典例2】(2021·玉林中考)先化简再求值：÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．【思路点拨】根据题意得出a＜0，则|a|＝－a，然后进行化简即可求得所求式子的值．【自主解答】∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，∴a＜0，∴|a|＝－a，÷＝·＝－1.k的符号、图象所在的象限、函数的增减性的关系(1)k＞0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y随x的增大而减小(2)k＜0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限内y随x的增大而增大1．(2021·山西中考)已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是(D)A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交　　D．y随x的增大而减小2．(2021·天津中考)若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(B)A．y1＜y2＜y3    B．y2＜y3＜y1　C．y1＜y3＜y2    D．y3＜y1＜y23．(2021·无锡中考)一次函数y＝x＋n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝(m＞0)的图象交于点A(1，m)，且△AOB的面积为1，则m的值是(B)A．1    B．2　    C．3    D．44．(2021·武汉中考)已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝(m是常数)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是__－1＜a＜0__．考点二　反比例函数解析式的确定【典例3】(2021·遂宁中考)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于点A(1，2)和B(－2，a)，与y轴交于点M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标．(3)将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1>y2>y3时，求x的取值范围．【自主解答】(1)∵y2＝过点A(1，2)，∴m＝1×2＝2，即反比例函数：y2＝，当x＝－2时，a＝－1，即B(－2，－1)，y1＝kx＋b过A(1，2)和B(－2，－1)代入得，解得，∴一次函数解析式为y1＝x＋1，(2)当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M(0，1)，∵S△AMN＝·MN·＝3，xA＝1，∴MN＝6，∴N(0，7)或(0，－5)，(3)如图，设y2与y3的图象交于C，D两点∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1，∴y3＝x－1，联立得，解得或，∴C(－1，－2)，D(2，1)，在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3，∴－2＜x＜－1或1＜x＜2.确定反比例函数的解析式的方法常用方法 待定系数法 步骤①设函数解析式为y＝(k≠0 )；②列方程；③解方程确定 k的值；④确定解析式．1．(2021·云南中考)若反比例函数的图象经过点(1，－2)，则该反比例函数的解析式(解析式也称表达式)为__y＝－__．2．(2021·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(1，2)和点B(－1，m)，则m的值为__－2__．3. (2021·宿迁中考)如图，点A、B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝__8__．考点三　一次函数与反比例函数的综合【典例4】(2021·广东中考)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P(1，m).(1)求m的值．(2)若PA＝2AB，求k的值．【思路点拨】(1)把P(1，m)代入反比例函数解析式即可求得．(2)分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．【自主解答】(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上一点，∴代入得m＝＝4，∴m＝4.(2)令y＝0，即kx＋b＝0，∴x＝－，A，令x＝0，y＝b，∴B(0，b)，∵PA＝2AB，由图象得，可分为以下两种情况：①B在y轴正半轴时，b＞0，∵PA＝2AB，过P作PH⊥x轴交x轴于点H，又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，∴△A1OB1∽△A1HP，∴＝＝＝，∴B1O＝PH＝4×＝2，∴b＝2，∴A1O＝OH＝1，∴＝1，∵k>0∴k＝2.②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠PB2Q，∴△A2OB2∽△PQB2，∵PA＝2AB，∴＝＝＝，∴A2O＝＝PQ＝，B2O＝B2Q＝OQ＝|b|＝2，∴b＝－2，∵k>0∴k＝6，综上，k＝2或k＝6.【例题变式】 (变换条件与问法)(2021·岳阳中考)如图，已知反比例函数y＝(k≠0)与正比例函数y＝2x的图象交于A(1，m)，B两点．(1)求该反比例函数的解析式．(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．【解析】(1)把A(1，m)代入y＝2x中，得m＝2，∴点A的坐标为(1，2)，把点A(1，2)代入y＝中，得k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；(2)过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a，0)，∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标为(－1，－2)，∴BD＝|－2|＝2，OC＝|a|，S△BOC＝BD·OC＝×2×|a|＝3，解得：a＝3或a＝－3，∴点C的坐标为(3，0)或(－3，0).对于一次函数与反比例函数综合题，常涉及以下几个方面：1．求交点坐标：联立一次函数与反比例函数构建方程组，方程组的解即为交点坐标．2．确定函数解析式：当两个函数解析式均未知时，将交点坐标代入y＝可求得k；由y＝ 确定另一交点的坐标，由两交点坐标并利用待定系数法可求y＝ax＋b.3．与不等式结合(1)找交点；(2)分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴，将平面分为四部分，如图，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ；(3)观察函数图象找答案：根据函数图象上方的函数值总比函数图象下方的函数值大，在各区域内找相应的x的取值范围．①Ⅰ，Ⅲ区域内：>ax＋b，自变量的取值范围为x<xB或0<x<xA; ②Ⅱ，Ⅳ区域内：ax＋b>，自变量的取值范围为xB<x<0或x>xA.【典例5】(2021·荆门中考)在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的大致图象是(B)A.①②　　　B．②③　　　C．②④　　　D．③④【思路点拨】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．　解决含有字母系数的不同函数在同一直角坐标系内的图象的两种方法(1)根据图象确定所含字母的取值范围，看字母系数的取值在不同函数中是否一致．(2)先假设字母系数的取值，确定不同函数的图象的位置，再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应．1．(2021·宁波中考)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2＜0)的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是(C)A．x＜－2或x＞2　　　　  B．－2＜x＜0或x＞2　C．x＜－2或0＜x＜2       D．－2＜x＜0或0＜x＜22．(2021·荆州中考)已知：如图，直线y1＝kx＋1与双曲线y2＝在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是(D)A．t＝2　　　　　 B．△AOB是等腰直角三角形　C．k＝1       D．当x＞1时，y2＞y13. (2021·乐山中考)如图，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y＝(k≠0)的图象于P，Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4.(1)求k的值．(2)当点P的横坐标为－1时，求△POQ的面积．【解析】(1)∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，∴△POB的面积为2，作PM⊥y轴于M，∴PM∥OA，∴△PBM∽△ABO，∴＝，即＝，∴△PBM的面积为1，∴S△POM＝1＋2＝3，∵S△POM＝|k|，∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝－6.(2)∵点P的横坐标为－1，∴PM＝1，∵△PBM∽△ABO，∴＝，即＝，∴OA＝2，∴A(2，0)，把x＝－1代入y＝－得，y＝6，∴P(－1，6)，设直线AB为y＝mx＋n，把P，A的坐标代入得，解得，∴直线AB为y＝－2x＋4，解得或，∴Q(3，－2)，∴S△POQ＝S△POA＋S△QOA＝×2×6＋×2×2＝8.考点四　反比例函数的应用【典例6】(2021·乐山中考)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A对应的指标值．(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【解析】(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C(20，45)代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝45时，y＝＝20，∴D(45，20)，∴A(0，20)，即A对应的指标值为20.(2)设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx＋n，将A(0，20)，B(10，45)代入得：，解得，∴AB的解析式为y＝x＋20，当y≥36时，x＋20≥36，解得x≥，由(1)得反比例函数的解析式为y＝，当y≥36时，≥36，解得x≤25，∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25－＝＞17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.　常见的反比例函数在实际生活中应用的实例(1)当路程s一定时，时间t与平均速度v成反比例，即t＝(s是常数).(2)当三角形的面积S一定时，三角形的一边a与该边上的高h成反比例，即a＝(S是常数).(3)在物理知识中：①当功W一定时，力F与物体在力F的方向上移动的距离s成反比例，即F＝(W是常数)；②当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即p＝ (F是常数)；③在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即I＝(U是常数).　(2021·宜昌中考)某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是(B)人教版九年级下册　P8　练习　T2已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，如果x1＜x2，而且x1、x2同号，那么y1、y2有怎样的大小关系？为什么？【自主解答】反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，而x1＜x2，而且x1、x2同号，所以y1＞y2.(变换条件)(2021·金华中考)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝－的图象上．若x1＜0＜x2，则(B)A．y1＜0＜y2    B．y2＜0＜y1　C．y1＜y2＜0    D．y2＜y1＜0　(变换条件)(2021·嘉兴中考)已知三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是(A)A．y2＜y1＜0＜y3    B．y1＜y2＜0＜y3　C．y3＜0＜y2＜y1    D．y3＜0＜y1＜y2