备战2022 中考数学 人教版 第二十八讲 概 率 初 步练习题

第二十八讲　概 率 初 步

事件的分类

1．确定事件的预知性：确定事件都是事先可以确定的，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件．

2．随机事件的可能性：随机事件发生的可能性有大有小，但可能性大的不一定准发生，可能性小的不一定不发生．

概率的意义

1．概率公式的适用条件：一是事件所有可能出现的结果有限，二是各种结果出现的可能性相等．

2．面积概率的两种情况：一是形状规则的几何图形，比如转盘抽奖；二是形状不规则的几何图形，比如投掷游戏．

用列举法求概率

1．列举法的适用条件：求有限等可能事件的概率．

2．选择列表与树状图：两步事件既可以列表，又可以画树状图；两步以上的事件只能画树状图．

3．判断游戏是否公平：先分别求出游戏双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平．

用频率估计概率

　一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的      会稳定在某个常数p附近,那么这个      就叫做事件A的概率. 

1．注意频率与概率的区别：频率是一个变化的量，而概率是一个固定的常数．

2．用频率估计概率的条件：必须是大量重复试验，试验次数较小的情况下，频率值不稳定，不能用来估计概率．

1．事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.(     )

2．公式P(     )＝中的n表示一次试验中所有等可能的结果总数，m是事件A所包含的结果数．(     )

3．求两步事件的概率只能用列表法，求三步事件的概率只能用树状图法．(     )

4．有限等可能事件的概率不能用频率来估计．(     )

5．在试验中“放回”和“不放回”是两种不同的选取方式，“放回”是允许有重复的结果，“不放回”不能有重复的结果．(     )

考点一　事件的分类

【典例1】(2021·武汉中考)下列事件中是必然事件的是(     )

A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数

C．打开电视机，正在播放广告

D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

判断确定事件与随机事件的方法

(1)事件肯定会发生，是确定事件；事件根本不会发生，也是确定事件．

(2)对于确定事件，肯定发生的是必然事件，肯定不会发生的是不可能事件．

(3)根据描述事件的句子的正确性，可以判断事件是必然事件或不可能事件．

1．(2021·怀化中考)“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是(     )

A．①    B．②    C．③    D．④

2. (2020·泰州中考)如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是(     )

A．只闭合1个开关　 B．只闭合2个开关

C．只闭合3个开关    D．闭合4个开关

考点二　概率的意义

【典例2】(2021·雅安中考)下列说法正确的是(     )

A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球(每个球除颜色外都相同)，则从中任意摸出一个球是红球的概率为

B．一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖

C．统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：甲＝乙，s＞s，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定

D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式

概率公式的两种应用

(1)知道有限等可能的结果总数n和事件包含的结果数m，直接套用公式求出概率．

(2)已知概率时，可运用概率公式列方程求解有关量．

1．(2020·云南中考)下列说法正确的是(     )

A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查

B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件

C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩(单位：环)的平均数分别为、

，方差分别为s、s，若＝，s＝0.4，s＝2，则甲的成绩比乙的稳定

D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖

2. (2021·烟台中考)连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为(     )

A.　　B．　　C．　　D．

3．(2020·岳阳中考)在－3，－2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2＋4x－2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是__      __．

4．(2020·雅安中考)从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩(满分为120分)，制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．

(1)求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；

(2)在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；

(3)若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．

考点三　用列举法求概率

【典例3】(2020·丹东中考)在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．

(1)从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是________．

(2)若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．

列举法求事件概率的技巧

(1)若一次试验中所有的结果数是有限的，并且每一种可能的结果出现的可能性是一样的，这样的概率模型称为等可能模型，等可能模型的概率计算公式为：

P(E)＝.

(2)当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．

(3)当一次试验涉及三个或三个以上的因素时，通常用画树状图法．

1．(2021·包头中考)柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为(     )

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．

2．(2021·长沙中考)有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是(     )

A．      B．      C．      D．

3．(2020·南充中考)从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是__      __．

4．(2021·河北中考)某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．

(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；

(2)补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

5.(2021·本溪中考)为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A.回顾重要事件；B.列举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)本次被调查的学生共有________名；

(2)在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；

(3)从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．

考点四　用频率估计概率

【典例4】(2020·呼和浩特中考)公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润，在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为________(精确到0.1)；从而可计算每千克柑橘的实际售价为________元时(精确到0.1)，可获得12 000元利润．

【

用频率估计概率的技巧

(1)用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变化(集中)趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数附近，这个常数就是所求概率的估计值．同时要明确，频率是一次事件内对随机过程概率的近似估计，不同的试验受试验次数及试验条件的影响，所得到的结果可能有所不同．

(2)在用频率估计概率时，要注意试验的次数越多，事件发生的频率越接近于概率．计算时用事件发生的次数除以试验的总次数，一般不用多个频率的平均数来估计事件发生的概率．

1．(2020·盘锦中考)为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区

1 000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：

根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于

170 cm的概率是(     )

A．0.32    B．0.55    C．0.68    D．0.87

2．(2020·安顺中考)在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是__      __．

3．(2021·盐城中考)圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．

(1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；

(2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．(用画树状图或列表方法求解)

人教九年级上册　P132　例2

图25.1­2是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形).求下列事件的概率：

(1)指针指向红色；

(2)指针指向红色或黄色；

(3)指针不指向红色．

分析：问题中可能出现的结果有7种，即指针可能指向7个扇形中的任何一个．因为这7个扇形大小相同，转动的转盘又是自由停止，所以指针指向每个扇形的可能性相等．

(变换条件)(2020·衢州中考)如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是(     )

A．    B．    C．    D．

(变换条件和问法)(2020·青岛中考)小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．