备战2022 中考数学 人教版 第五讲 一次方程（组）练习题

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  第五讲　一次方程(组)等式的性质1．等式的性质：性质内容在解方程中的应用性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍__相等__．即如果a＝b，那么__a±c＝b±c__移项性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍__相等__．即如果a＝b，那么__ac＝bc__；如果a＝b(c≠0)，则．去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；系数化为1.2.对称性：如果a＝b，那么__b＝a__．3．传递性：如果a＝b，b＝c，那么__a＝c__．1．由6＋x＝7得x＝7＋6. (×)2．由3x＋2＝5x得3x－5x＝2.(×)3．由2x＝6得x＝3.(√)4．由－1＝1得x－5＝1. (×)一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)定义：只含有__一__个未知数(元)，未知数的次数是__1__(系数不为0)的整式方程．(2)一般形式：__ax＋b＝0(a≠0)__(3)方程一般形式的解：x＝－2．一元一次方程的解法步骤注意事项去分母不要漏乘不含分母的项去括号若括号前有负号，去括号后括号内的每一项都要改变符号移项移项要变号合并同类项系数相加，字母及其指数均不变系数化为1不要漏掉符号1．解一元一次方程的实质是利用等式的基本性质对方程两边进行恒等变形．2．去分母时不要漏乘不含分母的项．3．括号前是负号，去括号时要注意改变符号．4．系数化为1时，不要颠倒分子、分母的位置．二元一次方程(组)1．二元一次方程(组)二元一次方程含有__两__个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__1__的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程组有__两__个未知数，含有未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__两__个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解2.解二元一次方程组的方法步骤二元一次方程组__一元一次__方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有__代入__消元法和__加减__消元法．1．方程组的解一定是其中每个方程的解．2．二元一次方程有无数组解，而二元一次方程组一般只有一组解．3．所有的二元一次方程组既能用代入消元法求解，又能用加减消元法求解．一次方程(组)实际应用的一般步骤1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量2.设设__未知数__，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知量的问题，需设两个未知数3.列弄清题意，找出__等量关系__；根据__等量关系__，列方程(组)4.解解方程(组)5.验检验结果是否__符合题意__6.答写答案(包括单位)　列方程时的三个注意点(1)设未知数时，单位要写清楚．(2)列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位要一致．(3)对于求得的解，还要检验其是否符合实际意义．考点一　一次方程(组)的解【典例1】(2021·遂宁中考)已知关于x，y的二元一次方程组满足x－y＞0，则a的取值范围是__a＞1__．【思路点拨】根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到x－y＝3a－3，再根据x－y＞0，即可求得a的取值范围．已知一次方程(组)的解，求方程(组)中字母的值的两种方法(1)代入法：当已知方程(组)的解时，把解代入方程(组)，得到新的方程(组)，再解新的方程(组)，从而求出字母的值．(2)整体法：根据方程(组)中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值．1．(2021·重庆中考A卷)若关于x的方程＋a＝4的解是x＝2，则a的值为__3__．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2021·凉山州中考)已知是方程ax＋y＝2的解，则a的值为__－1__．3．(2021·嘉兴中考)已知二元一次方程x＋3y＝14，请写出该方程的一组整数解____．考点二　一次方程(组)的解法【典例2】(2021·眉山中考)解方程组：.【思路点拨】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【自主解答】方程组整理得：，①×15＋②×2得：49x＝－294，解得：x＝－6，把x＝－6代入②得：y＝1，则方程组的解为.【典例3】(2020·杭州中考)以下是圆圆解方程－＝1的解答过程．解：去分母，得3(x＋1)－2(x－3)＝1.去括号，得3x＋1－2x＋3＝1.移项，合并同类项，得x＝－3.圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【自主解答】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3(x＋1)－2(x－3)＝6.去括号，得3x＋3－2x＋6＝6.移项，合并同类项，得x＝－3.解二元一次方程组方法的选择(1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适．(2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适．(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适．(4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适．1．(2021·温州中考)解方程－2(2x＋1)＝x，以下去括号正确的是(D)A．－4x＋1＝－x      B．－4x＋2＝－x　C．－4x－1＝x       D．－4x－2＝x2.(2021·广东中考)二元一次方程组的解为．3．(2021·广元中考)解方程：＋＝4.【解析】＋＝4，3(x－3)＋2(x－1)＝24，3x－9＋2x－2＝24，3x＋2x＝24＋9＋2，5x＝35，x＝7.4．(2021·上海中考)解方程组：.【解析】，由①得：y＝3－x，把y＝3－x代入②，得：x2－4(3－x)2＝0，化简得：(x－2)(x－6)＝0，解得：x1＝2，x2＝6.把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3－x得：y1＝1，y2＝－3，∴原方程组的解为，.考点三　一次方程(组)的应用【典例4】(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．【思路点拨】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由桥梁和隧道全长共55 km，得x＋y＝55.桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km，得y＝9x－4，然后列出方程组，解方程组即可．【自主解答】设港珠澳大桥隧道长度为x km，桥梁长度为y km.由题意列方程组得：.解得答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km和5.9 km.常见应用题类型及基本数量关系常见类型基本数量关系行程问题(路程＝速度×时间)相遇问题甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者走的路程航行问题顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度工程问题工作总量＝工作效率×工作时间；各部分工作量之和＝1销售问题售价＝标价×折扣；销售额＝售价×销量；利润＝售价－进价；利润＝进价×利润率1．(2021·南充中考)端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为(A)A．10x＋5(x－1)＝70　      B．10x＋5(x＋1)＝70　C．10(x－1)＋5x＝70　      D．10(x＋1)＋5x＝702．(2021·荆门中考)我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是(A)A．      B．C．      D．3.(2021·河北中考)已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．(1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101－x＝2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；(2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．【解析】(1)嘉嘉所列方程为101－x＝2x，解得：x＝33，又∵x为整数，∴x＝33不合题意，∴淇淇的说法不正确．(2)设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有(101－x)个，依题意得：101－x－x≥28，解得：x≤36，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36.答：A品牌球最多有36个．人教版七年级下册　P102　T8打折前，买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9 600元，比不打折少花费多少钱？【思路点拨】设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，根据题意列出方程组求得A，B商品的单价，继而可得打折前买500件A商品和500件B商品所需总费用，比较即可得答案．【自主解答】设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，根据题意得：，解得：，∴500x＋500y－9 600＝500(x＋y)－9 600＝400(元).答：比不打折少花400元．(变换条件与问法)(2020·黄冈中考)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒绿茶和4盒藕粉，共需960元，如果购买1盒绿茶和3盒藕粉共需300元，请问每盒绿茶和每盒藕粉分别需要多少元？【解析】设每盒绿茶需要x元，每盒藕粉需要y元，依题意，得：，解得：.答：每盒绿茶需要120元，每盒藕粉需要60元．　(变换条件与问法)(2021·娄底中考)为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；(2)若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【解析】(1)设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，依题意得：，解得：.答：购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元．(2)设购买m个甲种纪念品，则购买(100－m)个乙种纪念品，依题意得：，解得：53≤m≤60，又∵m为整数，∴m可以为54，55，56，57，58，59，60，∴共有7种购买方案．设购买总费用为w元，则w＝10m＋5(100－m)＝5m＋500，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝54时，w取得最小值，最小值＝5×54＋500＝770(元).答：共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元．