备战2022 中考数学 人教版 第十七讲 等腰三角形、直角三角形练习题

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           第十七讲　等腰三角形、直角三角形等腰(等边)三角形的性质与判定1．等腰三角形定义有      相等的三角形 性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,      是它的对称轴 定理(1)等腰三角形的两个底角      (简写成“      ”) (2)等腰三角形的顶角      、底边上的中线和底边上的      相互重合(简写成“三线合一”) 判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也      (简写成“      ”) 【提分要点】1．“等边对等角”，可以证明两个角相等，也可以计算角的大小；2．“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相等、角相等、线段垂直，可以计算线段的长度，角的大小．2．等边三角形定义      相等的三角形 性质(1)等边三角形的三个内角都      ,并且每一个内角都等于      (2)等边三角形是轴对称图形,并且有      条对称轴 (3)等边三角形每边上的中线,该边上的高线,该边所对角的角平分线互相重合判定(1)三个角都      的三角形 (2)有一个角是60°的      三角形 1．注意等腰三角形边的分类讨论：已知等腰三角形的两条边时，此两边可能是一底边一腰，也可能是两个腰，但要符合三角形的三边关系．2．注意等腰三角形角的分类讨论：已知等腰三角形的一个角时，若此角≥90°，则它是顶角；若此角＜90°，则它可能是顶角，也可能是底角．3．注意等腰、等边三角形性质的区别：等腰三角形和等边三角形都具有“三线合一”的性质，但等腰三角形只针对顶角平分线，而等边三角形三个角的平分线都和中线、高三线合一．4．注意等边三角形两个判定的区别：起点是“三角形”时，需要加上三个角都是60°才能得到等边三角形；起点是“等腰三角形”时，只需加上任一个角是60°便可得到等边三角形．线段垂直平分线的性质与判定1．定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__      __．3．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的__      __上．1．用定义判定线段垂直平分线的两个条件：一是垂直，二是平分．2．用判定方法证明线段垂直平分线的必备条件：证明有两点在线段的垂直平分线上，才能“根据两点确定一条直线”得到线段的垂直平分线．直角三角形的性质与判定1．性质(1)两锐角之和等于__      __．(2)斜边上的中线等于斜边的__      __．(3)30°角所对的直角边等于斜边的__      __．(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__      __．【特别提醒】直角三角形的性质使用的前提是在直角三角形中，其他三角形是不具备的．2．判定(1)有一个角为__      __的三角形是直角三角形．(2)有两个角__      __的三角形是直角三角形．(3)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__      __，那么这个三角形是直角三角形．【特别提醒】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方．1．一条边等于另一条边的一半的三角形：若直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则较短边所对的角是30°；若直角三角形一条直角边等于另一条直角边的一半，则不会有30°的角；若此三角形不是直角三角形，也不会有30°的角．2．一条边上的中线等于这个边的一半的三角形：这个三角形一定是直角三角形．3．勾股定理的几种变式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)，b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，c＝，a＝，b＝.命题与定理1．真假命题：如果题设成立，结论__      __的命题叫真命题；如果题设成立时，不能保证结论__      __的命题叫假命题．2．互逆命题：如果两个命题的__      __和__      __正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的__      __．3．互逆定理：若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为__      __定理．1．真命题和假命题都由题设和结论两部分组成．(     )2．定理属于真命题．(     )3．真命题有逆命题，假命题没有逆命题．(     )4．所有定理都有逆定理．(     ) 考点一　等腰三角形的性质与判定【典例1】(2020·绍兴中考)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．解决等腰三角形有关问题的技巧1．等腰三角形中的相等元素：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，若是证明线段相等、角相等可优先考虑判定三角形是等腰三角形．2．等腰三角形中的分类讨论：解决无图的等腰三角形问题，遇边不明分类讨论，遇角不明分类讨论，遇高不明分类讨论．3．等腰三角形中的常用辅助线：在等腰三角形有关问题中，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．4．等腰三角形中的全等三角形：等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．1．(2020·福建中考)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(     )A．10    B．5    C．4    D．32.(2020·绵阳中考)在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝(     )A．16°　　　B．28°　　　C．44°　　　D．45°3．(2020·青海中考)已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，则△ABC的形状为__      __三角形．考点二　线段垂直平分线的性质与判定【典例2】(2021·遂宁中考)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是__      __．线段垂直平分线的应用技巧1．两组相等的线段：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②被垂直平分的线段，被分成两条相等的线段．2．一个常用辅助线：证题时，连接垂直平分线上的点和线段的端点，可以得到等腰三角形．3．在尺规作图中的应用：利用尺规作出线段的垂直平分线，可以得到一条直线的垂线或一个线段的中点．1．(2020·宜昌中考)如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(     )A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线2．(2020·青海中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝14 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24 cm，则BC＝__      __ cm.考点三　等边三角形的性质与判定【典例3】(2020·台州中考)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是__      __．等边三角形性质与判定的归纳1．等边三角形中蕴含的“三”：三边相等，三角相等，有三条对称轴，三线合一，连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．2．判定等边三角形的三种思路：(1)证三角形的三条边相等，(2)证三角形的三个角相等，(3)先证三角形的一个角为60°，再证有两条边相等．1．(2020·铜仁市中考)已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为(     )A．2    B．3    C．4    D．42.(2020·宜昌中考)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝__      __米．考点四　直角三角形的性质【典例4】(2020·荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为(     )A．(，)　　　  B．(，1)C．(2，1)         D．(2，)【思路点拨】作AD⊥x轴于D，构建直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OA的值，再根据勾股定理可得OD值，进而可得点A的坐标．直角三角形性质的四个应用1．在一个题目中，若直角三角形较多，可考虑利用等面积的方法求线段的长度．2．可利用直角三角形两锐角互余，根据同(等)角的余角相等得到两个锐角相等．3．在直角三角形中，有30°锐角可考虑30°角所对直角边等于斜边的一半．4．在直角三角形中，若有斜边中点，可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．1．(2021·乐山中考)如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为(     )A．120°　　　B．130°　　　C．140°　　　D．150°2．(2020·宿迁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为__      __．考点五　勾股定理及其逆定理【典例5】(2020·广西中考)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是(     )A．50.5寸　　B．52寸　　C．101寸　　D．104寸勾股定理常见应用与技巧1．已知直角三角形的任意两个边长，可直接利用勾股定理求得第三条边长．2．已知三角形的三边长，可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角形．3．立体图形表面的最短路径问题，可将立体图形展开，构造直角三角形后利用勾股定理求解．4．折叠问题中求解线段长度问题，常常将某些条件汇集到一个直角三角形中，再根据勾股定理列方程求解．1．(2021·山西中考)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是(     )A．统计思想　　　　　 B．分类思想C．数形结合思想       D．函数思想2．(2020·包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2，则BE的长为(     )A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．3．(2021·玉林中考)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__      __方向航行．4．(2021·宿迁中考)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C ′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是__      __尺．命题考点六　命题与定理【典例6】(2020·玉林中考)下列命题中，其逆命题是真命题的是(     )A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C．全等三角形的对应角相等D．正方形的四个角都相等判断命题真假的方法　只有对一件事情作出判断的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．1．(2021·凉山州中考)下列命题中，假命题是(     )A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合C．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心2．(2020·宜昌中考)能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(     )人教八年级上册　P82　T7如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．(变换条件)(2020·常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__      __°.(变换条件和问法)(2019·杭州中考)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B.(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．