备战2022 中考数学 人教版 第二十三讲 平移、旋转及图形的对称练习题

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第二十三讲　平移、旋转及图形的对称

图形的平移
平移的
定义
在平面内，把一个图形沿着直线的方向__ __一定的距离，这种变换叫作平移．
平移的
要素
(1)平移的方向：图形上某一点到平移后图形上的__ __的方向；
(2)平移的距离：图形上某一点到平移后图形上的__ __的距离．
平移的
性质
(1)图形平移前后的__ __和__ __没有变化，只是__ __发生变化．即平移前后的图形是全等形；
(2)图形平移后，对应点的连线__ __(或在同一直线上)且__ __．
轴对称与轴对称图形

轴对称
轴对称图形
定义
把一个图形沿着某一条直线__ __，如果它能够与另一个图形完全__ __，那么这两个图形称为轴对称，这条直线叫做__ __，两个图形中对应的点叫做__ __．
把一个图形沿着某一条直线__ __，如果直线两旁的部分能够互相__ __，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是__ __．
区别
轴对称是指__ __图形间的位置关系
轴对称图形是指__ __具有轴对称性质的一个图形
轴对称
的性质
(1)如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的__ __；
(2)成轴对称的两个图形__ __；
(3)对应线段或其延长线的交点一定在__ __上．
中心对称与中心对称图形

中心对称
中心对称图形
定义
把一个图形绕着某一点旋转__ __，如果它能与另一个图形__ __，那么就说这两个图形关于这一点成中心对称，这个点叫做__ __．
把一个图形绕着某一点旋转__ __，如果它能与原图形__ __，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点叫做__ __．
性质
(1)关于中心对称的两个图形是__ __；
(2)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__ __，并且被对称中心所__ __；
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段__ __(或者在同一直线上)且__ __．
(1)中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心__ __
(2)有些中心对称图形也是轴对称图形，其对称轴是一组对应点连线的__ __．
图形的旋转
旋转的相
关概念
在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向__ __某个角度，这样的图形运动称为旋转．定点叫做__ __，旋转的角叫做__ __．
旋转的
要素
(1)旋转__ __，(2)旋转__ __，(3)旋转__ __．
旋转的
性质
(1)旋转前、后的两图形是__ __；
(2)对应点到旋转中心的距离分别__ __；
(3)每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__ __．
平移、对称与旋转的坐标变化
图形变换
坐标变化规律
平移
在直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点__ __(或__ __)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点__ __(或__ __).
中心对称
在直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′__ __．
轴对称
在直角坐标系中，点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为__ __，关于y轴对称的点的坐标为__ __．

1．升降机上上下下运送东西是平移．( )
2．篮球运动员投出篮球的运动是平移．( )
3．图形平移前后的面积相等．( )
4．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行．( )
5．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定相等．( )

1．翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换，它具有轴对称的一切性质，即折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
2．最短路线问题一般要用轴对称变换来解决，如图在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上确定到A，B的距离之和最短的点时，可以作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．


1．中心对称图形和中心对称的区别：中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，但它们性质相同，应用方法相同．
2．轴对称与中心对称的区别：两者都是变换后“重合”，但轴对称是沿某条直线翻折后重合，中心对称是绕某点旋转180°后重合．

1．球场上滚动的足球属于旋转．( )
2．图形的旋转可能存在不动的点．( )
3．五角星旋转72°角后能与自身重合．( )
4．旋转作图时，旋转角度、旋转方向、旋转中心的不同，往往得到的图形位置不同．( )

1．若点P(x1，y1)与点Q(x2，y2)关于点(m，n)对称，则m＝，n＝.
2．若点P(x1，y1)与点Q(x2，y2)关于x＝m对称，则y1＝y2，m＝.
3．若点P(x1，y1)与点Q(x2，y2)关于y＝n对称，则x1＝x2，n＝.

考点一　图形变换的辨别
【典例1】(2021·广元中考)下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )


　理解概念，正确判断
(1)抓住图上的“关键点”平移，以“点”带动“整个图形”的平移．平移不改变图形的形状与大小．
(2)将图形沿某条直线对折，两旁的部分重合，即为轴对称图形．
(3)中心对称图形沿对称中心旋转180°后与原图重合．

1. (2019·乐山中考)下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是( )


2．(2021·鄂州中考)“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是( )

3．(2020·自贡中考)下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )

4．(2019·毕节中考)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是( )

A.上方 B．右方 C．下方 D．左方
考点二　平移的性质及应用
【典例2】
(2020·镇江中考)如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P，Q分别是AB，A1C1的中点，PQ的最小值等于__ __．


　平移的过程中，不仅仅会出现全等三角形，也经常根据平移的性质“各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应点的距离等于平移的距离”出现平行四边形．

1．(2020·上海中考)如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正六边形 D．圆
2．(2019·枣庄中考)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于( )

A．2 B．3 C．4 D．
3．(2020·青海中考)如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为__ __．

考点三　轴对称的性质及应用
【典例3】(2021·青海中考)在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与
BC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图1 ).
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN (如图2).
猜想论证：
(1)若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．
拓展探究：
(2)在图3中，若AB＝a，BC＝b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?

【例题变式】
(变换条件和问法)(2021·德阳模拟)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE，CE，CF.

(1)判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
(2)如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．

1．关于折叠的计算题，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
2．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

1．(2021·枣庄中考)如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F.已知EF＝，则BC的长是( )

A．　　　B．3　　　C．3　　　D．3
2．(2020·潍坊中考)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC＋PD最小时，OP的长为( )

A． B． C．1 D．
3．(2020·黑龙江中考)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC，GC.求EC＋GC的最小值为__ __．

4．(2021·大庆中考)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，且CE⊥AB.将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG.

(1)证明：四边形AECF为矩形；
(2)求四边形AECG的面积．
考点四　旋转的性质及应用
【典例4】 (2020·达州中考)如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE.

(1)判断四边形ABDF的形状，并证明；
(2)已知AB＝3，AD＋BF＝8，求四边形ABDF的面积S.
　

　旋转前后的图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．对于旋转变换，首先明确图形的旋转方向，若题目未告知旋转方向，则需讨论顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后结合旋转角度分析．若旋转角为180°，则直接利用中心对称性质求解；若旋转角为90°，可考虑用全等知识来计算．

1．(2021·广安中考)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )

A．65°　　　　B．70°　　　　C．75°　　　　D．80°
2．(2021·新疆中考)如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接EF，分别交BD，CD于点M，N.若＝，则sin ∠EDM＝__ __．

3．(2020·黑龙江中考)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在AC，BC边上，DC＝EC，连接DE，AE，BD，点M，N，P分别是AE，BD，AB的中点，连接PM，PN，MN.
(1)BE与MN的数量关系是________．
(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【典例5】
(2020·青岛中考)如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是( )

A．(0，4)
B．(2，－2)
C．(3，－2)
D．(－1，4)
【例题变式】
(变换条件)(2020·泰安中考)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(－1，1)，C(3，1).△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B′C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为__ __．


依据坐标变化规律的解题技巧
1．图形的平移要注意区分好不同的平移方向，上下平移横坐标不变纵坐标增或减，左右平移纵坐标不变横坐标减或增．
2．对称引起的坐标变化要注意区分关于x轴(y轴)对称与关于直线y＝m(或x＝m)的不同，关于原点对称与关于其他点对称的不同，不要滥用规律．
3．与旋转有关的坐标变化通常构造直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度．

1．(2021·兰州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为( )

A．(1，2)　　　B．(2，1)　　　C．(1，4)　　　D．(4，1)
2．(2021·聊城中考)如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A(0，2)，B(－1，0)，将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为( )

A． B．
C． D．
3．(2020·达州中考)如图，点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线l(y＝－1)对称，则a＋b＝__ __．

4. (2020·衡阳中考)如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn(n为正整数)，则点P2 020的坐标是__ __ __．

考点六　平移、对称与旋转有关的作图
【典例6】(2020·孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，5)，B(－3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空．
(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为__ __；
(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos ∠BCE的值为__ __；
(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为__ __．


　(1)关键点的选取要有代表性：一般选取决定图形形状和大小的重要“拐点”．
(2)描出对应点的两种方法：一是依据图形变换的性质，用尺规描点；二是依据点的坐标变化的规律，先求出对应点的坐标，再描出．
(3)注意连接各点的顺序：与原图中各关键点的位置次序相同．

1．(2020·吉林中考)图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
2．(2020·江西中考)如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′.

3. (2021·达州中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，4)，B(0，2)，C(3，2).

(1)将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为(2，2)，求△A1C1C2的面积．
4．(2021·黑龙江中考)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－4，3)，O(0，0).
(1)画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π).



　如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形；
(2)若BC＝3，AC＝4.点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长．


　(变换条件)(2020·海南中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是( )

A．1 cm B．2 cm C． cm D．2 cm

　(变换条件和问法)(2020·鄂尔多斯中考)(1)【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′.连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝________°.
(2)【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
(3)【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示).