备战2022 中考数学 人教版 第二十五讲 锐角三角函数练习题

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 第二十五讲　锐角三角函数锐角三角函数的定义　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sin A＝＝__      __，cos A＝＝__      __，tan A＝＝__      __．1．注意自变量的范围：锐角三角函数的自变量是角度，其取值范围是：0°＜α＜90°.2．注意函数值的范围：锐角三角函数的值是直角三角形各边的比值，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0.特殊角的三角函数值α30°45°60°sin α__      ____      ____      __cos α__      ____      ____      __tan α__      ____      ____      __1．互余两角三角函数之间的关系：∠A＋∠B＝90°时，sin A＝cos B，cos A＝sin B.2．同角三角函数之间的关系：(1)sin 2α＋cos 2α＝1，(2)tan α＝.3．不同锐角三角函数增减的区别：在锐角范围内，sin α和tan α的值随α的增大而增大，cos α的值随α的增大而减小．解直角三角形1．直角三角形中的边角关系三边关系__      __两锐角关系__      __边角之间的关系sin A＝cos B＝__      __，sin B＝cos A＝__      __，tan A＝__      __，tan B＝__      __2.解直角三角形：由直角三角形中的__      __，求出其余__      __的过程，叫做解直角三角形．直角三角形边角关系的选择技巧：在Rt△ABC中，∠C＝90°已知选择边角关系一直角边和斜边a，c由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝两直角边a，b由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝斜边和一锐角c，∠A∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A一直角边和一锐角a，∠A∠B＝90°－∠A；b＝；c＝解直角三角形的应用概念图形定义仰角、俯角视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫坡角，i＝tan α＝方向角如图，点A，B，C分别位于点O的北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(西北方向)1．仰角的视线在水平线上，俯角的视线在水平线下．(     )2．坡度是指坡角的度数．(     )3．坡度是指坡角的正切值．(     )4．方位角应该先说“南或北”，再说偏东或偏西多少度．(     )5．北偏西36°是指方位线与东西方向的夹角为64°.(     )考点一　锐角三角函数的定义【典例1】(2020·河池中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是(     )A．　　　B．　　　C．　　　D．根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边．(2)正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长．(4)应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．(5)求一个角的三角函数值时，若不易直接求出，也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角．1．(2021·孝感质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A等于(     )A．     B．    C．     D．2．(2021·宜昌中考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC的值为(     )A．     B．     C．     D．3．(2019·杭州中考)在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝__      ．4．(2021·天水质检)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为__      __．考点二　特殊角的三角函数值【典例2】(2020·长沙中考)计算：|－3|－(－1)0＋cos 45°＋.熟记特殊角的三角函数值的两种方法1．按值的变化：30°，45°，60°角的正、余弦值的分母都是2，正弦的分子分别是1，， ，余弦的分子分别是，，1，正切分别是，1，.2．特殊值法：(1)在直角三角形中，设30°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，，2；(2)在直角三角形中，设45°角所对的直角边为1，那么三边长分别为1，1，.1．(2020·天津中考)2sin 45°的值等于(     )A．1     B．     C．     D．22．(2021·青海模拟)在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是__      __．3.(2020·娄底中考)计算：|－1|－3tan 30°＋(3.14－π)0＋.考点三　解直角三角形【典例3】(2020·盐城中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．解直角三角形的规律解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中”，即当已知斜边时，就用正弦(或余弦)，无斜边时，就用正切；当求值可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；当可用已知数据又可用中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据．1．(2020·雅安中考)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为(     )A．8      B．12     C．6     D．122．(2020·安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为(     )A．      B．     C．     D．43．(2020·上海中考)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD.如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为__      __．4.(2021·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值．【解析】(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△考点四　解直角三角形的应用【典例4】(2021·凉山州中考)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°.已知斜坡CF的坡度为i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上).(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号).【例题变式】(改变条件和结论)(2021·鄂州中考)在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行4 km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12 km到达C地．(1)求A地与信号发射塔P之间的距离；(2)求C地与信号发射塔P之间的距离．(计算结果保留根号)解直角三角形的实际应用的解题步骤(1)审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形弄清楚已知量和未知量；(2)构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题，若不能在图中直接体现，则需添加适当的辅助线；(3)解直角三角形：根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形；(4)检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如含有复杂的小数等，因此要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意，结果有无要求保留的条件，如结果要求精确到哪一位，即将结果四舍五入到哪一位．1．(2021·金华中考)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(     )A．4cos α米　　　　　 B．4sin α米C．4tan α米       D．米2．(2021·北部湾中考)如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__      __米(结果保留根号).3.(2020·恩施州中考)如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向)，2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732).人教九年级下册　P76　T1如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位).(变换条件)(2021·新疆中考)如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73)(变换条件和问法)(2021·娄底中考)我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．(结果精确到1 m/s，取＝1.732，＝1.414)