备战2022 中考数学 人教版 微专题四 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值

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  微专题四　二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值类型一：二次函数与线段和差最值问题　线段和、差最值问题的知识背景1．线段公理——两点之间，线段最短．2．对称的性质——关于一条直线对称的两个图形全等、对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线．3．三角形两边之和大于第三边．4．三角形两边之差小于第三边．5．垂直线段最短．6．过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦．线段和、差最值问题的两种形式：1．线段之和最小：如将军饮马、过河修桥、胡不归问题等．2．线段之差最大．二次函数背景下的线段和差最值问题，不仅仅考查线段和差最值问题的基本模型，还常常结合一次函数和二次函数的图象及性质一起考查，同时兼顾几何图形的性质，甚至圆的性质．1．(2021·天津中考)已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，顶点为D.(1)当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；(2)当a＞0时，点E(0，1＋a)，若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；(3)当a＜－1时，点F(0，1－a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m，0)是x轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线l上的动点．当a为何值时，FM＋DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．【解析】抛物线y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0，－1)，则c＝－1，(1)当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故抛物线的顶点坐标为(1，－2)；(2)∵y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－a－1，故点D(1，－a－1)，由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，即(1－0)2＋(a＋1＋a＋1)2＝8[(1－0)2＋(－a－1＋1)2]，解得a＝或，故抛物线的表达式为y＝x2－x－1或y＝x2－3x－1；(3)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′(－2，－a)，作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为(0，a－1)，当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM＋ND最小，理由：∵FM＋ND＝F′M＋D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，则D′F′＝＝2，解得a＝(舍去)或－，则点D′，F′的坐标分别为，，由点D′，F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝－3x－，当y＝0时，y＝－3x－＝0，解得x＝－＝m，则m＋3＝，即点M的坐标为、点N的坐标为.2．(2020·连云港中考)在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2－x－2的顶点为D，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.(1)若抛物线L2经过点(2，－12)，求L2对应的函数表达式．(2)当BP－CP的值最大时，求点P的坐标．(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．【解析】(1)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x＝－1或4，∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－2)，由题意设抛物线L2的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，把(2，－12)代入y＝a(x＋1)(x－4)，－12＝－6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x＋1)(x－4)＝2x2－6x－8.(2)∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A(－1，0)，B(4，0)，∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP－PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝－2x－2，∴P(3)由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，∵y＝x2－x－2＝－，∴顶点D(，－)，由题意，∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图2－1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，设Q(x，x2－x－2)，则P，∴DP＝x2－x－2－＝x2－x＋，QP＝x－，∵PD＝2QP，∴2x－3＝x2－x＋，解得x＝或(舍弃)，∴P.②如图2－2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，x－＝x2－3x＋，解得x＝或(舍弃)，∴P.第二种情形：当∠DQP＝90°时．①如图2－3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，过点Q作QM⊥PD于M.则△QDM∽△PDQ，∴＝＝，由图2－3可知，M，Q，∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝4，由＝，可得PD＝10，∵D∴P.②如图2－4中，当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M.同法可得M，Q，∴DM＝，QM＝1，QD＝，由＝，可得PD＝，∴P.综上所述：P点坐标为或或或.类型二：二次函数与几何图形周长的最值问题　解决二次函数与几何图形周长的最值问题的基本方法1．审清题意，弄清楚是求最大值还是最小值，判断出哪些点是定点，哪些点是动点，选取正确的解题方向．2．若求最大值，利用线段之间的转化，将三角形周长转化为某条线段的最值．3．若求最小值，常利用轴对称性质，将几何图形周长转化为线段之和最小问题．　(2021·通辽中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，B(－1，0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，B(－1，0)两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC，BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．如图1，点A，B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，∴△PBC周长的最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，∴AC＝3，BC＝.∴△PBC周长的最小值是：3＋.抛物线对称轴为直线x＝－＝1，设直线AC的解析式为y＝kx＋c，将A(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3，∴P(1，2)；(3)存在．设P(1，t)，①以AC为边时，如图2，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝CA，∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3±，∴P1(1，3－)，P2(1，3＋)，∴Q1(4，－)，Q2(4，)，②以AC为对角线时，如图3，∵四边形APCQ是菱形，∴CP＝PA，∴12＋(3－t)2＝(1－3)2＋t2，解得：t＝1，∴P3(1，1)，Q3(2，2)，综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1(4，－)，Q2(4，)，Q3(2，2).类型三：二次函数与几何图形面积的最值问题解决二次函数与几何图形面积的最值问题的两步法1．表示出要求几何图形的面积(常用割补法).2．把求出的面积配方成顶点式，确定其最值．特别提醒：三角形面积计算的常用策略1．如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．2．三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，常有两种方法：(1)用“割”或“补”的方法．(2)铅锤定理，面积＝铅锤高度×水平宽度÷2.　(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13，10).(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；(3)设过F作与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．【解析】(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，∵AB∥CD，∴∠EBO＝∠DCH，∴△EBO∽△DCH，∴＝，∵B(－2，0)、C(8，0)、D(13，10)，∴BO＝2，CH＝13－8＝5，DH＝10，∴＝，解得：EO＝4，∴点E坐标为(0，4)，设过B，E，C三点的抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x－8)，将E点代入得：4＝a×2×(－8)，解得：a＝－，∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝－(x＋2)(x－8)＝－x2＋x＋4；(2)抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：由(1)可知该抛物线对称轴为直线x＝－＝－＝3，当x＝3时，y＝，∴该抛物线的顶点坐标为，又∵F是AD的中点，∴F(8，10)，设直线EF的解析式为：y＝kx＋b，将E(0，4)，F(8，10)代入得，，解得：，∴直线EF解析式为：y＝x＋4，把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，故抛物线的顶点在直线EF上；(3)由(1)(2)可知：A(3，10)，设直线AB的解析式为：y＝k′x＋b′，将B(－2，0)，A(3，10)代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝2x＋4，∵FQ∥AB，故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x＋b1，将F(8，10)代入得：b1＝－6，∴直线FQ的解析式为：y＝2x－6，当x＝0时，y＝－6，∴Q点坐标为(0，－6)，设M(0，m)，直线BM的解析式为：y＝k2x＋b2，将M，B点代入得：，解得：，∴直线BM的解析式为：y＝x＋m，∵点P为直线BM与抛物线的交点，∴联立方程组有：，化简得：(x＋2)(x－8＋2m)＝0，解得：x1＝－2(舍去)，x2＝8－2m，∴点P的横坐标为：8－2m，则此时，S△PBQ＝×MQ×(|xP|＋|xB|)＝×(m＋6)×(8－2m＋2)＝－＋，∵a＝－1＜0，∴当m＝－时，S取得最大值，∴点P横坐标为8－2×＝9，将x＝9代入抛物线解析式中y＝－，综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为.