备战2022 中考数学 人教版 专题三 开放探索问题

专题三　开放探索问题

题型一　条件开放探索

【典例1】如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F.

(1)求证：∠DBF＝2∠CAD；

(2)连接OC，CD.探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程．

【思路点拨】(1)根据圆周角定理可知∠CAD＝∠CBD，要证明∠DBF＝2∠CAD，只要证明∠DBF＝2∠CBD即可，由∠DBC＝∠ABC，可知∠ABD＝2∠DBC，所以只要证明∠DBF＝∠ABD即可，由切线的性质和题意，可以得到∠ODB＝∠DBF，再根据OD＝OB，即可得到∠ODB＝∠OBD，然后即可得到∠DBF＝∠ABD，从而可以证明结论成立；

(2)先写出∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，然后根据∠CAB的度数和菱形的判定，证明四边形COBD为菱形．

【自主解答】(1)连接OD，

∵DE为半圆O的切线，BF⊥DE，

∴∠ODF＝∠BFD＝90°，

∴OD∥BF，

∴∠DBF＝∠ODB.

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD.

∵∠DBC＝∠ABC，

∴∠OBD＝2∠CBD.

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠DBF＝2∠CAD.

(2)当∠CAB＝60°时，四边形COBD为菱形．

证明：∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°.

∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°.

∵∠DBC＝∠ABC，∴∠ABD＝2∠ABC＝60°，

∴∠DAB＝30°.

∵∠DAB＝∠DCB，

∴∠DCB＝30°.

∴∠DCB＝∠ABC，

∴CD∥AB.

∵∠COA＝2∠ABC，

∴∠COA＝∠ABD，

∴OC∥BD，

∴四边形COBD是平行四边形．

又∵OC＝OB，

∴四边形COBD是菱形．

1．常考题型：

(1)补充条件型问题．

(2)探索条件型问题．

(3)条件变化型问题．

2．解决方法：从所给的结论出发，设想出合乎要求的条件，利用所学的定理进行逻辑推理，从而确定满足结论的条件．

如图所示，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.

(1)求证：△OEC为等腰三角形；

(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．

【解析】(1)∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB.

∵△ABC平移得到△DEF，

∴AB∥DE，

∴∠B＝∠DEC，

∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC.

即△OEC为等腰三角形；

(2)当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．

理由如下：∵AB＝AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC，BE＝EC.

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE∥AD，BE＝AD，

∴AD∥EC，AD＝EC，

∴四边形AECD是平行四边形．

∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．

题型二　结论开放探索

【典例2】【问题情境】在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.

【特例探究】如图1，当DM＝DN时，

(1)∠MDB＝______度；

(2)MN与BM，NC之间的数量关系为______；

【归纳证明】如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．

【拓展应用】△AMN的周长与△ABC的周长的比为______．

【思路点拨】【特例探究】(1)先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，得∠BDM＝∠CDN＝30°；

(2)由(1)得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM＋NC；

【归纳证明】先证△DBM≌△DCE(HL)，得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN(SAS)，得MN＝NE，可得结论MN＝BM＋CN；

【拓展应用】由(1)(2)得：MN＝BM＋NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．

【自主解答】【特例探究】(1)∵DM＝DN，∠MDN＝60°，

∴△MDN是等边三角形，

∴MN＝DM＝DN.

∵∠BDC＝120°，BD＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠DBM＝∠DCN＝90°.

∵BD＝CD，DM＝DN，

∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，

∴∠MDB＝∠NDC＝30°.

答案：30

(2)由(1)得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，

∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM＋NC，

即MN＝BM＋NC；

【归纳证明】猜想：MN＝BM＋NC，

证明如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵BD＝CD，∠BDC＝120°，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∴∠MBD＝∠NCD＝90°，

∴∠MBD＝∠ECD＝90°.

又∵BD＝CD，BM＝CE，

∴△DBM≌△DCE(SAS)，

∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC.

∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，

∴∠MDB＋∠NDC＝60°，

∴∠EDN＝∠NDC＋∠EDC

＝∠MDB＋∠NDC＝60°，

∴∠EDN＝∠MDN.

又∵DN＝DN，

∴△MDN≌△EDN(SAS)，

∴MN＝EN＝EC＋NC＝BM＋NC；

【拓展应用】由(1)(2)得：MN＝BM＋NC，

∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝2AB.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周长＝3AB，

∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝.

答案：

1．常考题型：

(1)判断结论是否成立．

(2)通过已知条件猜想结论．

2．解决方法：充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论．

1．如图所示，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D(不与点A，C重合)处，折痕是EF.

如图1，当CD＝AC时，tan α1＝；

如图2，当CD＝AC时，tan α2＝；

如图3，当CD＝AC时，tan α3＝；

……

依此类推，当CD＝AC(n为正整数)时，tan αn＝____．

2.如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，以OA的长为半径作⊙O，交AB于点D，交OB于点E，过点B和点O分别作OA，AB的平行线，交于点C，连接CD.

(1)若∠OAB＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积；

(2)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

【解析】(1)在Rt△OAB中，连接OD，

∵∠AOB＝90°，∠OAB＝60°，OA＝2，

∴AB＝4，∠ABO＝30°，

∴OB＝＝＝2，

∴S△OAB＝×2×2＝2.

∵OA＝OD，∠OAB＝60°，∴△OAD是等边三角形，

∴∠AOD＝60°，DO＝DA，

∴∠DOE＝30°，∴∠ABO＝∠DOE，∴DB＝DO＝DA，

∴S△ODB＝S△OAB＝，

∴S扇形ODE＝＝，

∴阴影部分面积为S△ODB－S扇形ODE＝－；

(2)CD与⊙O相切．

理由如下：∵AB∥OC，AO∥BC，

∴四边形OABC是平行四边形，且∠COB＝∠ABO，

∴AB＝OC.

∵∠ADO＝∠ABO＋∠BOD，∠COD＝∠COB＋∠BOD，

∴∠ADO＝∠COD.

∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，

∴∠A＝∠COD.

在△ABO和△OCD中，

∴△ABO≌△OCD(SAS)，

∴∠ODC＝∠AOB＝90°，

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

题型三　条件和结论双重开放

【典例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E.

(1)当∠BDA＝120°时，∠EDC＝______；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变____(填“大”或“小”)；

(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．

【思路点拨】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；

(2)当DC＝4时，利用∠DEC＋∠EDC＝130°，∠ADB＋∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝4，即可得出△ABD≌△DCE；

(3)当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE是等腰三角形．

【自主解答】(1)∵在△BAD中，∠B＝∠C＝50°，∠BDA＝120°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝180°－120°－50°＝10°.

答案：10°　小

(2)当DC＝4时，△ABD≌△DCE，

理由：∵∠C＝50°，

∴∠DEC＋∠EDC＝130°，

又∵∠ADE＝50°，

∴∠ADB＋∠EDC＝130°，

∴∠ADB＝∠DEC，

又∵AB＝DC＝4，

在△ABD和△DCE中，∠ADB＝∠DEC，∠B＝∠C，AB＝DC，

∴△ABD≌△DCE(AAS)，

即当DC＝4时，△ABD≌△DCE.

(3)当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，

∵∠BDA＝100°时，∴∠ADC＝80°，

∵∠C＝50°，∴∠DAC＝50°，

∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形；

∵当∠BDA＝115°时，

∴∠ADC＝65°，

∵∠C＝50°，

∴∠DAC＝65°，

∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝65°，

∴∠DAC＝∠AED，

∴△ADE的形状是等腰三角形．

1．常考题型：通过设置条件不完整和结论不确定的问题，考查推理能力和探究能力．

2．解决方法：依据题目要求，通过观察、比较、分析、综合、抽象，结合所学定理探索需要添加的条件或得到的结论．

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF∥CE交DE的延长线于点F.

(1)判断四边形BCEF的形状；

(2)当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．

【解析】(1)∵DF垂直平分AC，∠ACB＝90°，

∴DF∥BC，又∵BF∥CE，

∴四边形BCEF是平行四边形；

(2)当∠A＝30°时，四边形BCEF是菱形．

理由：

∵DF垂直平分AC，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴EA＝EC，∠ABC＝90°－30°＝60°，

∴∠ACE＝∠A＝30°，

即∠BCE＝90°－30°＝60°，

∴△BCE是等边三角形，∴BC＝EC，

由(1)得四边形BCEF是平行四边形，

∴四边形BCEF是菱形．

2．如图所示，已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0).设点M的坐标为(0，m)，其中m＜6，以M为圆心，MC为半径作圆．

(1)当m＝0时，⊙M与直线AB的位置关系是____；

当m＝3时，⊙M与直线AB的位置关系是____；

(2)当⊙M与直线AB相切时，m的值为____；

(3)直接写出m在什么范围内取值时，⊙M与直线AB相交、相离．

【解析】(1)当m＝0时，⊙M与直线AB的位置关系是相离；

当m＝3时，⊙M与直线AB的位置关系是相交；

(2)设⊙M与AB相切于点N，连接MN，MB，MC，则MN⊥AB，

在Rt△ABO中，AB2＝OA2＋OB2，

AB＝＝3.

在△AMB中，S△AMB＝AB·MN＝AM·OB，

∴MN＝＝＝.

在Rt△OMC中，MC2＝OM2＋OC2，MC2＝m2＋4，

∵MN，MC均为⊙M的半径，

∴MN＝MC，即＝m2＋4，

解得m＝1或－4.

经检验m＝1或－4均符合题意．

答案：1或－4

(3)当1<m<6或m＜－4时相交；

当－4＜m＜1时相离．